Научный метод и критерии истинности научного знания

[alex_semenov]

Это термин из ПРОТИВОРЕЧИВОГО анализа. Этой мистической бесконечно малой (именно как числом не 0, но меньше чем любое сколь угодно малое но реальное число) пользовались отцы-оснватили стороя анализ.

Зря Вы так.

Конечно зря. Я тут как водится перегнул палку.
Но с самого начала меня эта бесконечно малая сильно раздражала. Есть числа. Я могу представить бесконечность. Но еще и третья сущность?...

Так называемый нестандартный анализ возродил эти величины и оказался весьма и весьма плодотворным. Возможно даже, если бы он был изобретён раньше классического подхода "эпсилон-дельта", то сейчас бы массово изучали его.

Да, я немного в курсе. То есть получается, что введение этой третьей сущности НИГДЕ НЕ ПРОТИВОРЕЧИТ на самом деле уже известному. То есть ее можно ввести как новую аксиому. И епископ Беркли зря так лютовал.
Хотя во времена Беркли и отношение к математической истине было не то.
Сейчас ведь плюрализм. Что не противоречит - допустимо.
Вот именно здесь, в этих бесконечно-малых мы видим совершенно отчетливо что математика по Кантору абсолютно совободна и в этом ее сущность.
Есть ли в физической реальности ИНТЕРПРЕТАЦИЯ или нет - это не важно.

Весьма заментая часть нестандартного анализа делает вычисления и доказательства куда менее громоздкими, чем в стандартном подходе.

Разумеется. Поэтому всякие там физики (грязные математики) продолжают всем этим пользоваться!

Так что "нестандартный" не значит плохой, а может стать со временем и "стандартным" в традиционном смысле.

То есть все не так однозначно как я выкрикнул. Согласен. Посыпаю голову пеплом.
Но в итоге к чему мы пришли?

[alex_semenov]

Блин... написал ответ СТОкрат-у и осталость вставить ссылку на теорему о бесконечных обезьянах.
Прикол знаете в чем?
Ворд (вернее модуль проверки орфографии), получив вот этот текст:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B7%D1%8C%D1%8F%D0%BD%D0%B0%D1%85

уходит в аут (можете проверить если у вас XP офисс или 2003).
Сразу возникает шутливая мысль: пытается напечатать все строки и по многу раз? Не согласен с теоремой?
Конечно случайность. Но забавная.
 
Текст ответа я потерял нафик, блин...
 

[alex_semenov]

http://www.vixri.ru/d/Ajur%20Kiruss%20_Nestandartnyj%20analiz.pdf

Спасибо. Почитаю обязательно по оказии.

[alex_semenov]

В ходе построения док-ва при поразрядном сравнении показывается, что вероятность совпадения случайного числа, генерируемого монетой, с каким-либо элементом мн-ва вычислимых чисел стремится к нулю. Из этого делается вывод, что "монетное число не принадлежит мн-ву вычислимых" есть событие достоверное. Вот этот переход и смущает.

Мне тоже этот переход кажется самым слабым местом. Или сильным…
Я потому так и спорю, что сам очень сильно боюсь что тут не прав.

Вероятность попасть точкой в бесконечное счётное мн-во рациональных, например, тоже стремится к нулю, потому что мера этого мн-ва равна нулю. Из этого правомерно делать вывод, что "случайная точка не будет рациональным числом" есть достоверное событие? То есть, никогда мы случайно не наткнёмся на рациональное.

Да именно так.

Так, может быть, их и нет вообще, этих счётных множеств, раз мы не можем в них попасть ?

 
А вот этот пассаж я не понял. Как вы от предыдущего перешли к этому?
Я понимаю что вся тонкость - именно здесь.

Грубо говоря, мысля такая. Пока мы стягиваем dS к точке, мы ещё можем говорить о вероятности как мере этого континуума dS. Вернее, как отношении меры его к мере всего пр-ва элементарных событий (это тоже континуум S, но его мера просто принимается равной единице). Как только мы вырождаем окрестность точки в саму точку, совершая этот предельный переход, тут же обнаруживаем несчастную вероятность на полу с ножом в сердце (на рукоятке, известно, чьи пальчики).

Стоп. Почему тут же? Нет никакого"тут же". Мы переходим к обобщению на бесконечность. dS, если ее сжимать сжимать, сжимать, будет сжиматься ВЕЧНО. Но мы обобщаем. Скачек происходит. Но не в процессе построения предела, а в процессе рассуждения над ним. Предел показывает что будет после скачка.
Точно так же Кантор строит свои рассуждения по поводу диагонали. Он строит, строит, строит… потом делает обобщающий скачек. Нет?
Он актуализирует бесконечность. То же делаю и я. Я ведь не говорю что вероятность выродится на каком-то там n (тогда да, нож в сердце).  На любом n вероятность будет отличаться от 0. Это - бесспорно.

Мы заставляем вероятность взять отношение меры уже счётного мн-ва (точки) к мере континуума S, а это, ИМХО, нельзя. Но там же у Колмогорова, вроде бы, не мера Жордана, и не Лебега, а именно какая-то особая вероятностная мера? Вообще, точка или счётное мн-во как подмножества континуума являются в аксиоматике Колмогорова измеримыми подмножествами ? Может быть, и правомерно говорить о равной нулю вероятности попасть в точку, но тогда в рамках этой аксиоматики, возможно, такую нулевую вероятность следует понимать именно как бесконечно малую?

Если так, то объясните - зачем? Если бы мой смелый ход (приравнять к 0 или к 1) приводил к какому-нибудь противоречию с уже известным, то следовало бы задуматься.
Например, в том софизме мы смело поделили на 0 и … получили бред 3=2.
Но где здесь противоречие?
Мы берем аксиоматику Евклида и смело заменяем пятую аксиому на противоположную. И… получаем бред? Нет. Мы получаем другую аксиоматику.
То что эта новая геометрия "противно нашему естеству" - простите ваши личные убеждения. Это не аргумент. Так должно быть и здесь. Если переход противоречит - требование разделить достоверное событие и бесконечно малое  обосновано.
А если нет?
Если вы хотите показать что сделанный ход неверен - надо показать что он ведет к математическому абсурду. К противоречию.
Пока мы видим необычность. Непривычность. Но по сути это демонстрация различия мощностей континуума и алеф ноль.

Иначе невозможность случайно обнаружить рациональное число становится достоверным событием. Я не математик и не помню уже эти меры, инфимумы, супремумы, алгебры, кольца. Вот я и хочу прояснить эти моменты.

Понимаете, мы тут на краю математики. Хорошо было бы если бы явился математик и сказал: это все не верно потому что… Но может случится что никто не явится и не возьмет на себя смелость. Потому что никаких явных противоречий тут нет.

Чисто технически, предельный переход от вероятности к достоверности через предел  - достоверно известен в математике.
Например лемма Бореля — Кантелли

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F_%E2%80%94_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8

Именно из нее вытекает знаменитая теорема о бесконечной обезьяне. Если обезьяна будет бесконечно печатать случайный текст, то в этой цепочке с вероятностью 1 встретится ЛЮБОЙ текст конечной длины. ДОСТОВЕРНО встретится.  При том (пристегнитесь) бесконечное число раз.
Вас это не смущает?
Почему вас смущает достоверность непопадания случайной цепочки, вырванной из континуума таких цепочек в какое-нибудь счетное подмножество этих цепочек.
Ведь речь идет не только о вычислимых числах. Речь идет о любых счетных подмножествах, выделенных в  континууме. 

Когда мы говорим о бесконечностях, мы должны быть готовы к самым неожыданным выводам. Идея кантора о существование разных бесконечностей его современниками изначально была принята в штыки. И это понятно. Это необычно! Но со временем, когда выяснилось, что ничему из уже известному в математике это не противоречит, а даже наборот, открывает новые возможности, идея была принята.

Я не утверждаю что здесь та же ситуация. Я не знаю. Может у меня тут элементарная ошибка. Но нельзя исключать и случай непротиворечивости вывода. Тогда никакой математик нам не поможет восстановить истину.
Это полуразрешимая (так сказать) задача.
Ошибку найти можно, если она есть. Если нет - мы уходим в бесконечный цикл…
Увы! Я могу оказаться в очень невыгодном положении.
То есть сделанный мною переход может так и остаться шатким, если эти рассуждения не приведут к появлению новых интересных непротиворечивых результатов.

[PathFinder]

Текст ответа я потерял нафик, блин...
 

Так на форуме появилась новая возможность - "сохранить черновик". Причём, насколько я понял, сохранение происходит автоматически. Посмотрите в черновике. Может что-нибудь сохранилось?

[alex_semenov]

Текст ответа я потерял нафик, блин...
 

Так на форуме появилась новая возможность - "сохранить черновик". Причём, насколько я понял, сохранение происходит автоматически. Посмотрите в черновике. Может что-нибудь сохранилось?

Я не набирал в окне (как этот ответ сейчая). Я взял цитату и скопировал ее в ворд. Там с ней работаю. Так удобней (я могу убежать по делам, вернуться дописать, поэтому я стараюсь сохранять то что уже набрал). Потом копирую в окно. То есть глюкнул не браузер. Глюкнул текстовый процессор. Ну и фиг с ним. Я вороде повторил мысль еще раз.

Я вот что хочу сказать. Взять некоторую бесконечную строчку из континуума это не одно и то же что взять конкретную строчку из континууму строчек.
Вторая задача - несомненно более сложная. И если бы мы  могли выполнить и ее, мы пришли к противоречию. Я беру сторчку А. Теперь я неким супер-случайным способом беру строчку А и ... эта строчка не совпадает с А (согласно пределу). Но случайный метод  не может взять указанную строчку. Он берет какую-то сторчку но не конкретную. То есть логических проблем тут не должно быть.

[СТОкрат]

 Хорошо было бы если бы явился математик 

Математики с полным бокалом вина заходят сюда в качестве гостей и ржут, получая удовольствие. У меня уже шизофрения начинается. То меня кидает на вашу точку зрения и я вижу несостоятельность моих доводов, то меня опять мучает недоверие к вашим построениям. Всё это или невежественная ахинея или что-то потустороннее. Вот это монетное число, эта процедура бесконечного ухода от любого алгоритма, т.е любого вычислимого числа представляется мне антиобезьяной, которая бесконечно избегает написания любого вычислимого текста. А Шекспир как и любой осмысленный текст в некотором роде вычислим. Что там у нас в очередном разряде ? Быть или не быть - вот в чём вопрос. Обезьяна случайно напечатает : "пить или побить - не вопрос". Никогда ей Шекспира не напечатать.

[alex_semenov]

Математики с полным бокалом вина заходят сюда в качестве гостей и ржут, получая удовольствие.

Везет вам… А я даже пива себе не могу позволить… на диету садиться надо... курс лечения...

Быть или не быть - вот в чём вопрос. Обезьяна случайно напечатает : "пить или побить - не вопрос". Никогда ей Шекспира не напечатать.

Я не понял, это шутка такая?
Или  вы  действительно сомневаетесь в выводах теоремы о бесконечной обезьяне?
А что те ваши математики c бокалом вина?
Тоже смеются?

Вина ни вина, а пива бы с хребтом лосося…

[СТОкрат]

Везет вам…
 

Кому - нам ? Я-то тут при чём? Это я так, о гипотетических математиках.

Я не понял, это шутка такая?
Или  вы  действительно сомневаетесь в выводах теоремы о бесконечной обезьяне?

Я уже во всём сомневаюсь. Пронумеруем: а-00001, б-00010, и т.д. Обезьяна подбрасывает монету. Рано или поздно она "напишет" что-нибудь из Шекспира ?

[СТОкрат]

А ведь если очень долго ждать, то после всего Шекспира обезьяна возьмётся за Толстого, да так и будет "печатать" всю мировую литературу. Вероятность, конечно, ничтожна, но рано или поздно это произойдёт. Только успевай кодировать новые поступления и подклеивать к строке нулей и единиц.

[незлой]

А ведь если очень долго ждать, то после всего Шекспира обезьяна возьмётся за Толстого, да так и будет "печатать" всю мировую литературу. Вероятность, конечно, ничтожна, но рано или поздно это произойдёт. Только успевай кодировать новые поступления и подклеивать к строке нулей и единиц.

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.
не лопатить же бесконечные количества страниц, пока не наткнёшся на нужное...

см борхес, "вавилонская библиотека", например.

[СТОкрат]

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.

Да насчёт того, чтобы поймать начало этого чуда - не очень ясно. Но если поймать, то при бесконечном наблюдении обезьяна  в конце концов  с какого-то момента попадёт своим случайным "монетным тексточислом" в данное тексточисло, выстраиваемое из литературных произведений. А как же тогда нулевая в пределе вероятность попасть в это число ? Нет, я понимаю, придёт А. Семёнов, и будет мне втык. Но шо ж не так в этом рассуждении ?

[Diivanych]

Эта иллюстрация с элементами плагиата была написана в ночь с воскресенья на понедельник, но, помня о том, что мысли чужими не бывают, ( http://alex-semenov.livejournal.com/5733.html ) я всё же её выложу.

Тёмной, тёмной ночью, когда все честные люди спят, прогуляйтесь на ближайший стадион с лопатой. Срежьте один квадратный метр газона и, свернув его в рулон, принесите под покровом тьмы домой. Можете пересчитать и записать координаты каждой травинки. Закрепите дёрн в рамке и повесьте на стене. Отойдя на расстояние в три, четыре метра, возьмите стрелу дартса и, прицелившись точно в центр квадрата, бросьте в ваш газон. Пока стрела летит, мы ещё не знаем, куда она попадёт, но всё, что мы могли сделать, мы уже сделали. Уже масса, обладающая скоростью, перемещается к цели, уже силы, действующие на стрелу, вычисляют её траекторию.

Пройдя часть пути, траектория стрелы неизбежно отклонится под действием силы тяжести и до какой-то меры от случайного воздействия атмосферы и особенностей геометрии самой стрелы.

Пока стрела летит, как Нео в «Матрице», мы ещё можем носиться вокруг неё с линейкой и секундомером, и на каждом участке траектории измерять скорость, направление и отклонение нашего снаряда не касаясь его. С каждым шагом (1/2+1/4+1/8+…) отрезок до цели всё короче, а влияние среды всё меньше. Область возможного попадания стягивается в точку.

В момент остановки снаряда вычисления окончены!

Раздвинув траву, не поранив ни одного листочка, на конечном отрезке времени, за бесконечное количество вычислений, тонкая стрела вычислила нам невычислимое число.

Можете бесконечное количество раз бросать вашу стрелу, но ваша Машина Зенона, будет вновь и вновь засевать ваш газон всё более новыми невычислимыми числами, не попав в одно место дважды.

[Дед Моррозоу]

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.

Вопрос смыкается с другим аспектом проблемы. Языковым. Информация может быть каким-то образом закодирована, что отразится на последовательности чисел. Чтоб её прочесть читаещему нужен раскодировщик. А посему... начало чуда может быть где угодно, важно уметь его прочесть. 

[alex_semenov]

Можете бесконечное количество раз бросать вашу стрелу, но ваша Машина Зенона, будет вновь и вновь засевать ваш газон всё более новыми невычислимыми числами, не попав в одно место дважды.

Коль скоро тут столько подробностей (дерн со стадиона вырытый под полной луной) то надо вот на что СПЕЦИАЛЬНО обратить внимание.

МЫСЛЕННЫЙ опыт с бросанием точки в мишень площадью S где поставлена точка T и в которую нет никакого шанса у вас попасть (вероятность =0, невозможное событие) - это умозрительная матмодель.
В реальности вы ее воспроизвести никогда не сможете. Если c S вы можете как-то определиться то точку T (площадью 0) вы поставить не сможете. В физической реальности вы всегда будете иметь дырочку или кляксочку площадью dS. Еще худе с  бросаемой точкой.
То есть. Простота опыта - МНИМАЯ. Наглядность - обманчива.
Это тот самый случай когда простая идея  содежтит бесконечную глубину.
Некоторые ведь до сих пор не могут понять как Ахилл догнал Черепаху.
Хотя там все очень просто. Но в этих бесконечных отрезках скрыт почти весь анализ. И еще что-то осталось…

[alex_semenov]

Везет вам…

Кому - нам ? Я-то тут при чём? Это я так, о гипотетических математиках.

А я о вполне реальной диете, стол номер 5. На две недели. А потом всю жизнь уксус ведрами пить нельзя. Как я люблю…

Ваше вино просто попало так по времени. Под настроение…

Я не понял, это шутка такая?
Или  вы  действительно сомневаетесь в выводах теоремы о бесконечной обезьяне?

Я уже во всём сомневаюсь.

Это вообще то нормальная ситуация для думающего человека.

Пронумеруем: а-00001, б-00010, и т.д. Обезьяна подбрасывает монету. Рано или поздно она "напишет" что-нибудь из Шекспира ?

Конечно! БЕСКОНЕЧНАЯ обезьяна найдет АБСОЛЮТНО любой текст конечной длинны и напечатает его бесконечное число раз.
Если вас в этом мучают сомнении - все они от вашей НЕДАЛЕКОСТИ. Это все ваши стереотипы. Душите всех как блох. Поймали? Душите!
Если не станните - вам же хуже.
Тут я могу над вами издеваться сколько угодно. Строить вам рожы и бить по башке алгеброй (но я обещал и больше не буду).
Потому что теорема совершенно однозначно ВПАЯНА в известную матаксиоматику.
Можно сказать так. Все математики с ней согласны (считают ее верной). То есть  все матеамтик, которые входили с бокалом вина и без грубой ошибки в ней не нашли. В отличии от ситуации с аксиомой выбора тут нет ни капли разногласий.
Кстати, вопросы достаточно близкие?…
 

По сути я специально ее сюда вбросил посмотреть как вы на нее отреагируете. Если вы в ней усомнитесь ТОЖЕ, как и в моем пределе - значит вы в основном опираетесь на обыденное мышление, которое у всех очень убогое.
Вы число всегда проверяете музыкой… 
Значит вы вообще не способны принять трансфинитные рассуждения.

Теорема о бесконечных обезьянах куда проще чем мой предел. Там речь идет о конечностях на бесконечности (счетной). А в моем пределе о  счетной бесконечности внутри бесконечности большей мощности.
Осознайте совсем другой уровень!

Простота предела и моделей тут очень обманчивы.

[незлой]

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.

Вопрос смыкается с другим аспектом проблемы. Языковым. Информация может быть каким-то образом закодирована, что отразится на последовательности чисел. Чтоб её прочесть читаещему нужен раскодировщик. А посему... начало чуда может быть где угодно, важно уметь его прочесть. 

факт

Какое  бы  сочетание  букв,  например:  дхцмрлчдй  -  я  ни  написал, в
божественной  Библиотеке  на  одном  из  ее  таинственных языков  они  будут
содержать  некий грозный  смысл.  А любой произнесенный  слог будет исполнен
сладости  и трепета  и  на одном из  этих языков означать могущественное имя
Бога.  Говорить  -  это  погрязнуть  в  тавтологиях.  Это  мое  сочинение  -
многословное и бесполезное  - уже существует в одном из тридцати томов одной
из пяти полок  одного из  бесчисленных шестигранников - так  же,  как и  его
опровержение. (Число n возможных языков использует один и тот же запас слов,
в некоторых слово "библиотека" допускает  верное определение: "всеобъемлющая
и  постоянная  система  шестигранных  галерей",  но  при  этом  "библиотека"
обозначает "хлеб", или "пирамиду", или какой-нибудь другой  предмет, и шесть
слов,  определяющих  ее, имеют  другое значение. Ты,  читающий эти  строчки,
уверен ли ты, что понимаешь мой язык?)

[alex_semenov]

Но если поймать, то при бесконечном наблюдении обезьяна  в конце концов  с какого-то момента попадёт своим случайным "монетным тексточислом" в данное тексточисло, выстраиваемое из литературных произведений. А как же тогда нулевая в пределе вероятность попасть в это число ? Нет, я понимаю, придёт А. Семёнов, и будет мне втык. Но шо ж не так в этом рассуждении ?

Не будет. Я добрая сволочь, когда сильный. Тут нет никаких проблем. Любое "тексточисло" которое вы назвали и которое печатает бесконечная обезьяна это КОНЕЧНАЯ цепочка символов.

1010100001001…10001

Сколько тут знаков? Не важно. n. Конечная последовательность. То есть РАЦИОНАЛЬНОЕ число. Я же вычисляю ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ (или вещественное число).
Это бесконечная цепочка из 1 и 0.

1010101000001010001010101010 … и так бесконечно.

Разница существенная. В любой такой бесконечной цепочке (это ведь то, что печатает бесконечная обезьяна) любая конечная подцепочка (и та что я "выписал" выше) встречается бесконечное число раз. Если мое число случайное, то это - бесспорный факт.
Если же число ПЕРЕЧИСЛИМОЕ, то есть неслучайное, регулярное. То же число пи в двоичной записи:

11,00100100001111110110. . . и так до бесконечности…

…то вопрос о том встречаются тут любые последовательности бесконечное число раз является одной из давно поставленной математических проблем. Тот же Борель с этого и начинал, если не ошибаюсь.

[незлой]

вопрос про бесконечность (и её репрезентации): существует ли на прямой действительных чисел точка, соответствующая пи?
кажется, вопрос чуть сложнее, чем кажется...

[alex_semenov]

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.

Да насчёт того, чтобы поймать начало этого чуда - не очень ясно.

В некоторых случаях мудрость состоит не столько в том чтобы найти ответ на каверзный вопрос. Иногда куда важней не мешать своей голове мыслить, отвлекаясь на  явно дурные и неуместные вопросами.
В данном случае - такой случай.

Ловить это вы будете дольше, чем испарятся все черные дыры в одряхлевшей вселенной.
И ничего ловить не надо.
Причем тут ловля?
Надо просто знать что ситуация именно такая. Это еще одно невообразимое свойство бесконечности.
Если бы у вас была бесконечная обезьяна и бесконечное время, вы бы однажды дождались бы на выходе ее печатающей машинки АБСОЛЮТНО любой текст, если он конечной длинные. Дождаться когда-нибудь (за некое конечное число шагов) -  это абсолютно достоверное событие. При этом вы не можете ждать это с достоверность на m-том шаге.
Вы можете найти только вероятность этого (и она, разумеется меньше 1).
Какова вероятность дождаться этого на m-том шаге?
Это уже другой вопрос и он, кстати, легко решается. Почитайте вики. Там есть пример.
Но на бесконечности у любой цепочки вероятность =1.
И к гадалке не ходи!