Научный метод и критерии истинности научного знания

[alex_semenov]

вопрос про бесконечность (и её репрезентации): существует ли на прямой действительных чисел точка, соответствующая пи?
кажется, вопрос чуть сложнее, чем кажется...

Разумеется. А в чем подвох?
(Сдается что я тем самым вляпаюсь сейчас в "конструктивистское болото"... На самом делее любой "детский вопрос" в математики можно дискутировать бесконечно.)

[незлой]

И к гадалке не ходи!

т.е. вы хотите сказать, что данные рассуждения в принципе неверифицируемы?

[незлой]

Разумеется. А в чем подвох?

в её нахождении.
если её в принципе можно найти только за бесконечное число шагов (циркулем и линейкой она не строится), то существует ли она?

[alex_semenov]

ещё один вопрос -- как поймать _начало_ этого чуда.

Вопрос смыкается с другим аспектом проблемы. Языковым. Информация может быть каким-то образом закодирована, что отразится на последовательности чисел. Чтоб её прочесть читаещему нужен раскодировщик. А посему... начало чуда может быть где угодно, важно уметь его прочесть. 

факт

Какое  бы  сочетание  букв,  например:  дхцмрлчдй  -  я  ни  написал, в
божественной  Библиотеке  на  одном  из  ее  таинственных языков  они  будут
содержать  некий грозный  смысл.  А любой произнесенный  слог будет исполнен
сладости  и трепета  и  на одном из  этих языков означать могущественное имя
Бога.  Говорить  -  это  погрязнуть  в  тавтологиях.  Это  мое  сочинение  -
многословное и бесполезное  - уже существует в одном из тридцати томов одной
из пяти полок  одного из  бесчисленных шестигранников - так  же,  как и  его
опровержение. (Число n возможных языков использует один и тот же запас слов,
в некоторых слово "библиотека" допускает  верное определение: "всеобъемлющая
и  постоянная  система  шестигранных  галерей",  но  при  этом  "библиотека"
обозначает "хлеб", или "пирамиду", или какой-нибудь другой  предмет, и шесть
слов,  определяющих  ее, имеют  другое значение. Ты,  читающий эти  строчки,
уверен ли ты, что понимаешь мой язык?)

И тут мы теперь должны совершить экскурс в теорию моделей?
Там, кстати, становится вcе чудесней и чудесней.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9

Я сам там - удивленная Алиса пока…

Господа, вы басню Крылова про обезьяну (кстати!) и горох знаете?
Вы все унесете?

А есть еще про обезьяну и очки! Вам не много будет обезьян? Давайте разберемся с одной для начала. Зато бесконечной!

[alex_semenov]

т.е. вы хотите сказать, что данные рассуждения в принципе неверифицируемы?

Что значит неверефицируемы? Эксперементально непроверяемы? Недоказуемы?
В первом случае - да, неверифицируемы. Во втором - нет, верефицируемы.

Множество простых чисел бесконечно.
Поди проверь! Верефицируй! Умаешся же!
Но доказательство - элементарно.

[незлой]

И тут мы теперь должны совершить экскурс в теорию моделей?

или вспомнить хомского.

А есть еще про обезьяну и очки! Вам не много будет обезьян?

нет. много обезъян == общий план. )

Множество простых чисел бесконечно.
Поди проверь! Верефицируй!

тут элементарно как раз: мы всегда можем взять число заведомо большее последнего взятого. нам не нужна бесконечность для доказательства.
а как быть с вероятностями?

[alex_semenov]

Разумеется. А в чем подвох?

в её нахождении.
если её в принципе можно найти только за бесконечное число шагов (циркулем и линейкой она не строится), то существует ли она?

То есть, моя догадка была верна?
Вы конструктивист?
Вы не знаете что это такое? Конструктивизм  в математике?
Даже если это так, вы можете быть "стихийным" конструктивистом.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BC_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

Суть в том, что от основной ветви математиков в начале века (не помню уже точно) отделился "блудный сын" - конструктивная математика (а есть еще более блудный - интуитивизм). Так вот все ортодоксальные математики, если среди них затесался конструктивист, начинают его клевать как белую ворону. Только держись!
Я сам сразу признаюсь. Я обычная, ортодоксальная!

В чем суть (если без понтов, хотя такие упрощения, разумеется чреваты…)
Конструктивисты не признают СУЩЕСТВОВАНИЕ массы объектов, которые ортодоксальная математика объявляет (называет) легко и просто.

Вот, например, функция Дирихле.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5
 
Попробуйте построить ее график или алгоритм для ее вычисления…
Окосеете.
Верно?
Конструктивисты таким вещам просто отказывают в существовании. Назвать какой-то матобъект - мало. Надо конструктивно задать. Поэтому и действительные числа у них существуют (если не ошибаюсь, не силен в идеях конструктивизма) только в виде тех самых вычислимых чисел. То есть чисел для которых существует программа их вечно вычисляющая. То есть тех чисел, что я пытаюсь вычислить (невычислимых) у них вообще нет.
Но ваши сомнения еще глубже. Вы если конструктивист, то стихийный, дикий, неумытый и непричесанный…
У конструктивистов число пи существует, ибо существует для него алгоритм. Пускай бесконечно вычисляющий пи, но все же вычисляющий его.
А вам нужно за конечное число шагов?
С циркулем и линейкой говорите?...
Да, уж…


Кстати, я ведь догадываюсь, что здесь таких как вы - как в Бразилии диких обезьян! Только дай повод!...
Набегут с массой затаенных вопросов, обрадовавшись что есть кому задать!
Поэтому только такие самонадеянные придурки как я берутся (и то не всегда) затрагивать такие глубокие вопросы на таких вот форумах.
Или полные придурки (фрики) что куда чаще и бессмысленней.
В любом случае надо быть либо очень наивным, либо очень самоуверенным, что всегда ситуация будет под твоим контролем и сможешь из лавины дурных вопросов все же выловить ценные (если они вообще будут)...

[alex_semenov]

Главное тут - новые аксиомы не должны противоречить старым. Иначе мы получим 2=3.

Еще хорошо бы (хотя не обязательно) иметь интерпретацию новой теории на какую-то из реальностей… математических, а лучше физических.
Так вот. У нас тут есть и это. Чистая случайность не просто математическая абстракция (из аксиоматики Колмогорова).  Квантовая механика говорит нам - это и ФАКТ физической реальности. То есть существует интерпретация.
Люди обычно считают такие вещи само собой разумеющимся.
Но это потому что они глупцы и не видят истинной ценности "самого собой разумеющегося".

[незлой]

То есть, моя догадка была верна?
Вы конструктивист?
Вы не знаете что это такое? Конструктивизм  в математике?
Даже если это так, вы можете быть "стихийным" конструктивистом.

"- мама, он меня сосчитал!!" (с) 
наверное он и есть, да. мир архетипов конечно интересен и загадочен, но важен он лишь настолько, насколько коррелирует с миром вокруг нас.

Кстати, я ведь догадываюсь, что здесь таких как вы - как в Бразилии диких обезьян! Только дай повод!...
Набегут с массой затаенных вопросов, обрадовавшись что есть кому задать!

разумеется, это же форум. для того и выстроен, собственно.

[незлой]

Кто вам это сказал?
Вернее РАЗРЕШИЛ?!!!

никто, это я поторопился, вы правы.

[LUKA]

Пускай бесконечно вычисляющий пи

Уточнение. Из Успенского: "Действительное число, записанное в какой-то системе счисления, называют вычислимым, если любая его значащая цифра на каком-то месте вычислима за КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ШАГОВ".
Никаких бесконечностей в этом смысле.
Вычисление монетой не удовлетворяет КАНОНИЧЕСКОМУ понятию вычисления как процесса, всегда на выходе дающем один и тот же результат. Это не означает, что такого рода процесс не может быть расширен за рамки принятых договорённостей.
Мало того, если мы методом Монте-Карло вычислим вполне определённое невычислимое число, то мы не будем знать, на каком именно шаге мы его вычислим, мы лишь оценим вероятность того, что значащая цифра совпадает с найденной. Тонкость такая. Потому-то даже методом Монте-Карло мы можем оценить невычислимое число, но не вычислить его.

[незлой]

Уточнение. Из Успенского: "Действительное число, записанное в какой-то системе счисления, называют вычислимым, если любая его значащая цифра на каком-то месте вычислима за КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ШАГОВ.
Никаких бесконечностей.

т.е. число вычислимо с произвольной точностью за конечное число шагов.
но вопрос был именно о точке, те об абсолютно точном приближении.

[незлой]

кстати, очень в тему:

[LUKA]

А  вообще выйти за рамки вычислимости полезно тогда, когда это позволило бы открыть или доказать  что-то новое.
Например, в дедуктике мы должны иметь вычислительную процедуру, позволяющую нам определить, является ли данный текст доказательством и что он доказывает. Но те разговоры о "монетных" числах не дают такой однозначной возможности. По крайней мере мне сейчас видится картина именно такой. Так в чём же ценность такого подхода?
Называйте свои числа как хотите, но вычислимость в классическом смысле позволяет определяться с дедуктикой и формальными системами. Метод Монте-Карло - оценить с определённой вероятностью и точностью решение какого-то уравнения.
А что же здесь нового?

[alex_semenov]

Кто вам это сказал?
Вернее РАЗРЕШИЛ?!!!

никто, это я поторопился, вы правы.

Шутки шутками... но вопрос серьезный на самом деле. Об актуализации бесконечности. Какая бесконечность допустима в рассуждениях, а какая нет?

Потенциальная бесконечность - это та самая, которой больше всего доверия. У вас есть зацикленный навеки алгоритм, которые перечисляет все разряды числа пи. Никто их не будет перечислять, разумеется. Но можно ведь В ПРИНЦИПЕ!
В принципе - можно.
У вас есть строчка из конечного числа символов в которую СЖАТА бесконечность. Как пружина с потенциално бесконечной энергией.  Вот это и есть  потенциальная бесконечность. Которой нет, но вы всегда можете добавить. И никогда не наступит, что нельзя.
Вы именно эту и имели в виду.
Верно?
В такую потенциальную (конструктивную) бесконечность поверить проще всего.
Но вот завершенная, выстроенная, актуальная… Которая вот перед вами вся уже.
Можно?...
Гм…
Например?
Для всякого числа x существует P(x). Не важно, что такое P(x). Одноместный предикат.
Это что?
Это актуальная бесконечность. Это АКТУАЛЬНО (уже) существующий бесконечная строка:

1=P(1)/\ P(2) /\ P(3) /\ P(4) /\ P(5) /\ P(6) /\  . . .  /\P(i) /\ P(i+1) . . .

Нет?
Если копнуть, то выясняется, что очень многие финитные конструкции как бы ненароком содержат актуальную бесконечность. И (это мое мнение!) потуги конструктивистов отделить правильную от неправильной бесконечности просто глупы.
Но опять же.
Вопрос дискуссионный.
Поэтому математики как черт ладана боятся фриков от математики. Это как правило тот самый дурак, который задает те самые сто вопросов, на которые и сто умных математиков не ответят.
По сути, надо признать что  "король действительно голый". И все математики это на самом деле знают. Но зачем кричать?
Что бы сказать что все вокруг - дураки?
Они (математики) в отличии от нематематиков и так это прекрасно знают.
Дисциплина у них такая, что сомнений в собственной тупости не оставляет.
А то что король голый…
Ну и что?
Работает? Еще как! Вот и хорошо!...
Может голому сподручней?
Мало ли?

[LUKA]

т.е. число вычислимо с произвольной точностью за конечное число шагов.
но вопрос был именно о точке, те об абсолютно точном приближении.

Ответ - для вычислимых чисел это непринципиально. Их можно вычислять бесконечно долго. Главное требование в другом - в том, чтобы ОДНОЗНАЧНО (а не с определённой вероятностью) мы определённую значащую цифру могли вычислить за КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ШАГОВ. Для монетных чисел такое возможно, но сам метод не даёт однозначного выхода при повторении процедуры. А метод Монте-Карло не обязательно даст за конечное число шагов однозначный ответ. Опасно путать с числами, точность которых может быть оценена лишь вероятностно - такие числа не обязательно будут вычислимыми - факт.

Мы можем ОЧЕНЬ БЫСТРО методом Монте-Карло оценить невычислимое число. Но оно останется невычислимым по одной простой причине - может сущетсвовать АСТРОНОМИЧЕСКИ НИЗКАЯ вероятность, что в каком-то знаке мы пусть даже чуть-чуть ошиблись.

У вычислимости главное - однозначный ответ за конечное число шагов.

У вероятностного подхода - другой - ответ может быть очень обоснованным, не вызывающим сомнения, но при этом число окажется невычислимым, но он окажется НЕОДНОЗНАЧНЫМ (пускай даже совсем чуть-чуть неоднозначным) за любое конечное количество шагов. А значит - невычислимость гарантирована.

Наверно вероятностным подходом уместно искать математические истины, но это - другой путь, лежащий не в плоскости дедуктики, которая основана на процедурах, дающих однозначный ответ.
Мы почти уверены в истинности гипотезы Гольдбаха - наш опыт об этом говорит, но мы не можем доказать. Кто знает, какие ещё критерии убедительности будут развиты. Математической логике в современном её варианте - около 100 лет. Главное, что удалось - ввести критерии и уточнить понятие "строгое доказательство". Что дальше? Статистическое доказательство? Или расширится область строгих доказательств? Это большой вопрос.

Итак, мы можем НЕИМОВЕРНО ТОЧНО даже за малое число шагов оценить число, но при этом не вычислим его.
А мы можем ОЧЕНЬ НЕТОЧНО оценить число за довольно большое число шагов, но оно будет вычислимым и только потому, что любая ОДНОЗНАЧНАЯ, а не вероятностная точность оценивается за конечное число шагов.
К первому случаю мы будем иметь сходимость по вероятности (кто учил тервер, помнит что это за зверь), а во втором - классическая сходимость.

[LUKA]

Вычислимость требует однозначность ответа (на одинаковые входы одинаковые выходы). Этому критерию не удовлетворяют "монетные числа".
Вычислимость требует также однозначности любой степени точности за конечное число шагов - этому не удовлетворяют числа, оцененные методом Монте-Карло.
Вот если бы Вы смогли расширить однозначно вычислимые процедуры, то тогда Вы бы расширили и возможности дедуктики. Но тезис Чёрча пока никому не удалось опровергнуть.

Возможно, что есть смысл развивать статистический подход к поиску математических истин и, кто знает, сколько таких новых истин будет открыто. Но лишите понятие вычислимости этих двух свойств - и Вы потеряете то, что математики назвали формальным доказательством. Это будет что-то другое НЕОДНОЗНАЧНОЕ. И конечно эти подходы имеют право на применимость - и в этом кстати не нужно убеждать шахматиста.

[СТОкрат]

 Любое "тексточисло" которое вы назвали и которое печатает бесконечная обезьяна это КОНЕЧНАЯ цепочка символов.

1010100001001…10001

Сколько тут знаков? Не важно. n. Конечная последовательность. То есть РАЦИОНАЛЬНОЕ число.

Я потому и стал в следующем ответе "подклеивать" литературу, чтоб не было конечной цепочки. Суть в том, что мы можем взять число, кодирующее всю русскую классику, и дождёмся когда-нибудь повторения этого числа обезьяной, после чего она собъётся. Можем взять число, кодирующее русскую классику и затем английскую, а затем всю фантастику. И это тоже обезьяна повторит в конце концов. Но вот так, чтобы бесконечно непрерывно подклеивать к числу новый текст, а обезьяна бы, не сбиваясь, его повторяла - это невозможно. За счёт случайности она непременно избежит этого числа, и пусть в прекрасном далёко она повторит в два раза более длинное последовательное изложение лит. произведений, но и тогда она неизбежно собъётся. Я склоняюсь к тому, что всё это математическая тавтология. Это бросание монеты даже не есть вычисление. Я уже гдe-то назвал это процедурой бесконечного избегания любого вычислимого числа. Какое бы мы ни взяли число из таблицы вычислимых, мы, подбросив монету, всегда можем уйти от него в сторону - перед нами бездонное море действительных чисел. Мы можем новые сгенерированные монетой числа пронумеровать и дополнить ими счётное мн-во вычислимых и, бросив монету, опять проскользнуть сквозь частокол этих вычислимых. Вся эта процедура бесконечного избегания любого заданного числа есть тавтология, иллюстрация того, что счётное мн-во и континуум имеют разную мощность.
 А теперь метафизика. Это континуумная природа вселенной порождает истинную случайность при бросании монеты, что уже нам даёт возможность бесконечно избегать бесконечно пополняемого мн-ва вычислимых, уходя вглубь действительных, т.е. позволяет актуализировать континуум в абстрактных, казалось бы, математических построениях ? Где тут курица и где яйцо ?

[Дед Моррозоу]

Если копнуть, то выясняется, что очень многие финитные конструкции как бы ненароком содержат актуальную бесконечность.

Как говорил  Хофштадтер ( "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда")
"Вы не замечаете бесконечности, так как она скрыта внутри образов, возникающих в вашем сознании."

[LUKA]

Если копнуть, то выясняется, что очень многие финитные конструкции

Цитата: LUKA от Вчера в 13:06:37

    Если копнуть, то выясняется, что очень многие финитные конструкции как бы ненароком содержат актуальную бесконечность.

Как говорил  Хофштадтер ( "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда")
"Вы не замечаете бесконечности, так как она скрыта внутри образов, возникающих в вашем сознании."

Это говорил не LUKA. Век воли не видать. Это говорил Alex Semenov.