Научный метод и критерии истинности научного знания

[PathFinder]

Я требую признания того, что идея со сведением моей задачи к абсурду не сработала!
Абсурдно считать вероятности там где все детерминировано.
По крайней мене нет ни малейшего смысла лезть в пределы и какие-то там бесконечности до того как мы развяжем этот самый первый и принципиальный узел противоречий.
Согласны?

Пока ещё рановато этого требовать...

Да, действительно, уже после того, как я выложил своё "доказательство" того, что любое число с бесконечным количеством разрядов является невычислимым, мне пришло в голову, что использовать понятие "вероятность" и всего, что с ним связано я "не имею права". Постольку-поскольку у меня там полностью отсутствуют любые случайные процессы. (Вроде бы "глупость" сделал. Но это вроде-бы единственная "глупость", которую я сделал. А вовсе не множество глупостей, как вы выразились ранее. Так же, в свою очередь, требую это признать.)
"Доказательство" находится тут (чтобы не блуждать лишний раз):

Александр, в качестве основы для доказательства беру ваши выкладки. Места где я добавляю что-то своё или корректирую ваше выделены подчёркиванием.


Итак...

Я ещё тогда подумал, обратите ли вы на это внимание или нет. Обратили. Очень хорошо. Значит мыслим параллельно.

Вроде всё действительно так. И вы правы - формально. Терминологически. Но именно, что "вроде" и "на первый взгляд".
Теперь нужно доказать, что и в вашем доказательстве можно опираться на понятие "вероятность".

Давайте теперь взглянем на ваше доказательство. Самое начало.

Это утверждение легко доказывается.
Смотрите.
Для начала возьмем первую строчку из таблицы вычислимых чисел. И побитно сравним ее со случайно полученной строчкой.
Какой шанс что первый (после запятой) разряд первой строчки в таблице Тьюринга  совпадает с вашей случайной строчкой? 1/2. Что совпадает и первый и второй? 1/2*1/2. Что совпадают все первые n разрядов?



До конца строчки (на бесконечности) вероятность совпадении выродится в 0:



То есть с первой строчкой "вычисляемое" нами число гарантировано не совпадет.
Это - тривиальный результат.

То есть, Александр, в вашем доказательстве уже при трёхразрядном двоичном числе мы имеем дело с вероятностью, равной 1/8!!! ([1/2]^3). (При том, что в случае моего "доказательства" вы сочли эту вероятность, равной 1.)

Хотя на самом деле (в вашем доказательстве) имеем дело с совершенно конкретными тремя разрядами, которые обязательно находятся в нашей бесконечной таблице вычислимых чисел. И даже не то что в бесконечной, но и в любой полной конечной таблице двоичных чисел с разрядностью большей или равной трём.
И что же делает эту тройку разрядов такой редкой? (1/8). Только то, что мы производим некое действие, обладающее, как нам кажется, некими "волшебными" свойствами и затем связываем результат этого действия со значениями разрядов нашего числа? Надо бы камлание с бубном устроить, тогда, возможно, вероятность уменьшится ещё сильнее. 

Там, где я выделил красным в вашей цитате, можно ведь рассуждать и по-другому.
Можно двигаться в таблице не вправо, как это делаете вы, а вниз. Ведь эти направления движения у нас равноправны.
Тем более, что вниз таблица "растёт" значительно быстрее, чем вправо. Экспоненциально быстрее.
И мы можем рассуждать так.

Какой шанс, что наш полученный с помощью монетки разряд найдётся в вертикальной колонке цифр, составленной из первых (после запятой) разрядов чисел из таблицы Тьюринга. Очевидно - шанс этого 100% или вероятность равна 1. Хоть кидай монетку, хоть не кидай, единицы и нули в этом столбце присутствуют многократно, а других вариантов и нет. (Вероятности ни при чём, как я и говорил выше.)

Какой шанс, что два полученный с помощью монетки разряда найдутся в вертикальной колонке чисел, составленной из первого и второго (после запятой) разрядов чисел из таблицы Тьюринга. Очевидно - шанс этого 100% или вероятность равна 1.

Какой шанс, что три полученный с помощью монетки разряда найдутся в вертикальной колонке чисел, составленной из первого, второго и третьего (после запятой) разрядов чисел из таблицы Тьюринга. Очевидно - шанс этого 100% или вероятность равна 1.

И так можно рассуждать до бесконечности, так как порядок бесконечности количества элементов в столбце таблицы Тьюринга значительно больше (экспоненциально) порядка бесконечности количества элементов в строке.
Таким образом, вероятность встретить любое число в таблице Тьюринга равна 1. (Даже не неопределённость вида , а строгая единица.) И, следовательно, невычислимых чисел не существует.
Что и требовалось доказать.

(В качестве иллюстрации - две полных таблицы двоичных чисел. Сравните ширину с высотой и оцените прирост по высоте при увеличении ширины на один разряд.)
__________________________________________
000                        0000
001                        0001
010                        0010
011                        0011
100                        0100
101                        0101
110                        0110
111                        0111
                              1000
                              1001
                              1010
                              1011
                              1100
                              1101
                              1110
                              1111
____________________________________________


Что же у нас в итоге получается? То невычислимыми являются любые числа с бесконечным количеством разрядов (читай - любые числа, так как любое число с ограниченным количеством разрядов можно дополнить справа бесконечным количеством нулей). То невычислимых чисел вообще не существует. Все числа получаются одинаковыми по свойствам. Множество вычислимых от множества невычислимых никак не отделяется.
Вобщем, получается философский вопрос какой-то.

 

[PathFinder]

Александр, и ещё одну фразу - вдогонку.
Вы ведь обсуждаемые тут инфинитные задачи увязываете с проблемой ИИ.
Я правильно понимаю?
Вы эти проблемы считаете "главными" для решения проблемы ИИ.
Всё остальное - финитное можно решить за ограниченное время тупым перебором вариантов.
Я вот о проблеме ИИ рассуждаю в совершенно иных категориях.
Мне, например, интересно, что должен знать и делать ИИ для решения, например, квадратного уравнения. Не умея его решать изначально.
(Не поиска корней конкретного уравнения, а для решения "в общем виде".)
Отсюда - вопрос.
Внимание!
Какие варианты должен перебирать ИИ, чтобы найти решение квадратного уравнения "в общем виде"?
Этот вопрос задаю вполне всерьёз и жду ваш ответ на него.

[Diivanych]

Александр, ваш метод получения невычислимого числа противоречит некоторым научным концепциям. Я имею ввиду ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ. Большей частью этот принцип относятся к экспериментальной науке, да и там не всё гладко. Тот же Фейнман, рассказывая о квантовой электродинамике гуманитариям, говорил не о 100% воспроизводимости эксперимента, а о предсказуемости попадания в заданный диапазон значений. В вашем случае, даже о диапазоне не может быть и речи. Всякое случайное число на множестве n членов при n стремящемся к бесконечности на все сто % невоспроизводимо, хотя алгоритм понятен на те же 100%. С одной стороны – это залог его невычислимости, а с другой – вы никогда не сможете его повторить. То есть ваш метод – либо новое слово в математике, либо шарлатанство в чистом виде (последнее слово за компетентными органами  )

P.S. теперь по башке девятью томами Фейнмана + два задачника?!.

[alex_semenov]

Послушайте.
Вы все говорите о ерунде.
(на эту ерунду отвечу чуть позже).
У меня все уже поменялось.

ГЛАВНЫЙ ДЛЯ МЕНЯ на текущий момент вопрос:

Что вычисляет данное  выражение в терминах теории вероятностей?



Предел пока - забыли о нем.
Оставим пределы в покое. Мы до них не доросли еще!
Элементарная теория вероятностей!
Давайте разберемся НА ПАЛЬЦАХ что же это за вероятность мы тут так вычисляем?
Напомню, что если у нас 1/2, то речь идет от  таблицах состоящих из бинарных рядов (пока что этого хватит).  Я, для примера беру случай n=2 (меньше не наглядно больше - уже становится слишком много вариантов).

И так. У вас уже  есть КОНКРЕТНАЯ таблица бинарных чисел из 2 строк по 2 разряда (пока не важно какая).
При бросании честной монеты два раза  возможно 2^n  РАВНОВЕРОЯТНЫХ исхода:

0- 00
1- 01
2- 10
3- 11

Вероятность выпадения для любого варианта 1/4
Что с таблицей? Таблица так же может оказаться представлена  одним из 2^2^2=16 вариантов. Я выше пронумеровал  все ВОЗМОЖНЫЕ строки чтобы было проще записать все версии таблиц  как пары четверичных чисел.
Для большей понятности следовало бы записывать каждый вариант таблицы в столбик. Например:

2   (10)
0   (00)

0   (00)
3   (11)

Но я думаю это излишне. Все 16  вариантов таблицы из двух строк:

00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33

Теперь подсчитайте в скольких  вариантах  таблиц встречается строка 0, сколько 1, сколько 2, и сколько 3? Если встречается более одного раза - считаем это как один вариант (нам ведь достаточно что бы строка совпала один раз).
Я для подсчета взял строку 0 (00), выделил те варианты таблицы, где такая строка есть красным. Синим - где ее нет.
Получилось что все варианты встречаются по 7 раз. То же самое и для 1 и для  2 и для  3.
Противное было бы удивительно.
Тогда число таблиц в которых не встречается конкретная строка которая у нас выпадет (мы еще ведь ничего не бросали!) 16-7 =9  (не важно какая это строка).
То есть, вероятность того что ЛЮБАЯ выпавшая строка НЕ  находится в таблице (какой бы вариант  таблицы из 16-и возможных не был представлен)  - это отношение общего возможного  числа таблиц  в которых НЕ встречается наша строка (9) к общему числу таблиц (16):

(16 -7)/16 = 0,5625

То же дает и наш предел.


 
(проверьте)

Что тут может нас (меня) смущать?

Перовое.
То что строки в таблице могут ПОВТОРЯТЬСЯ.  Хотя это не критично. Наоборот.  В таблицы вычислимых чисел чисто технически строки тоже могут повторяться БЕСКОНЕЧНОЕ число раз (се ля ви!).

Второе.
То что все строки в таблице должны появляться НЕЗАВИСИМО друг от друга. А вот это уже - НЕ ФАКТ. По сути, хотя мы еще не бросали монету, но мы уже случайно перемешали варианты таблиц. Вот это и вызвало  у меня огромные сомнения в том, правильно ли я ИНТЕРПРЕТИРУЮ данный предел?!

[alex_semenov]

Другой вариант рассуждений. Проще и надежней.

Куда лучший ход - предположить что каждый вариант строки встречается по ОДНОМУ и только одному разу.
Даже если "в реале" это не так, нас это уже не будет волноватьт. Если мы докажем, что на бесконечности  случайность не попадает даже в такую вот "компактную" таблицу (и тут не важно вычислимых чисел или еще чего-нибудь), то этого нам и достаточно. Значит она не попадает и в более хаотичные таблицы с повторяющимися строками...

И так.
ДЛЯ НАЧАЛА ОПЯТЬ НА ПАЛЬЦАХ

Конечный пример.
Мы кидаем монету n раз, получаем наше n-разрядное число и сравниваем с тем что у нас в таблице. Для того чтобы увидеть все нюансы давайте будем использовать не квадратную (n на n) таблицу, а прямоугольную. n - длина строки. m - количество строк.

Пускай n =3

Это значит что с одинаковой вероятностью наш случайный автомат вычисляет  одну из 2^3 =8 строчек:

0 - 000
1 - 001
2 - 010
3 - 011
4 - 100
5 - 101
6 - 110
7 - 111

И вот теперь давайте  будем заполнять таблицу РЕГУЛЯРНЫМ образом (по порядку). Никаких случайностей! Что бы случайность у нас существовали только в одном месте - при подбрасывании монеты (при генерации случайной строки).

000

Если m =1 (таблица состоит из одной строки), то вероятность совпадения будет 1/8

000
001

Если m =2 (таблица состоит из двух уникальных строки), то вероятность совпадения 2/8=1/4

000
001
010

Если m =3 (таблица состоит из трех уникальных строки), то вероятность совпадения 3/8

...

При m <=2^n  (таблица состоит из m уникальных строк), вероятность того что наша строка находится в таблице m/2^n

Вероятность того что не находится: 1 - m/2^n
Если m = 2^n вероятность того что строка не находится в таблице =0. То есть строка обязательно находится в таблице. Как бы мы не бросали монету,  то что полученная нами случайным образом строка в нашей таблице - достоверное событие.

условие m<=2^n - очевидно. Если m будет больше, то нам ничего не останется как начать циклически записывать уже записанный ряд. И это на вероятность события несовпадения (которое и так уже =0) никак не повлияет. Наша строка поймана в таблицу. Достоверно там есть.

ВСЕ СОГЛАСНЫ?!

(согласитесь и пристегнитесь. дальше будет самое интересное)

Переходим к пределу.



Аж обидно что правильный предел такой легкий.
Вероятность несовпадения (после бесконечного числа опытов) тут все равно оказывается 1. То есть, как и было сказано, не мытьем так катаньем достоверное событие.
Экспонента обгоняет полиному.
Я знаю что вы скажете. А почему бы не записать так!



Логично?
Очень даже.
Но надо помнить что у нас ТАБЛИЦА вычислимых чисел (счетное множество!). То есть пронумерованный нарутаьными числами бесконечный столбец из бесконечных строк:

1 ........
2 .......
3 .......

и .д.

То есть мощность бесконечности к которой стремимся как n так и m  будет не мощнее алеф 0. Счетная бесконечность.
Поэтому мы не можем устремить число строк к 2 в степени бесконечности. Потому что это уже континуум.
Кто знает как строится канторова диагональ понимает о чем я говорю.



Для тех кто смотрит на эти значки как баран на новые ворота - предупреждаю. Это и есть лик бога.
И не только еврейского...

В некотором роде я предлагаю предложить еще один метод построить канторову диагональ.
Вероятностный.

Кантор использовал регулярный процесс. И этот же регулярный процесс мог бы использовать Тьюринг для вычисления невычислимого, если бы не Проблема Остановки.
Но подбрасывая монету мы ни о како Проблеме Остановки не должны беспокоится.

Особо хочу заметить.
Бесконечность которая используется как у Кантора, как у Тьюринга - потенциальная.
Они не говорят: берем бесконечное число...
Они говорят. Если мы начнем строить... то даже если наступит бесконечность (которая никогда не наступит на самом деле), то мы получаем что все равно у нас того что мы хотим не получится...
У Кантора не получилось выстроить все вещественные числа в один столбец с натуральным числом строк. У Тьюринга ВСЕ РАВНО НЕ ПОЛУЧИТСЯ вычислить невычислимое число (на детерминированной машине), хотя эти вычисления продляться вечность.
Но начинать их безнадежно.

Что у Семенова?

То же самое! Вероятность вычисляется ДО ТОГО как событие произойдет. Когда событие уже случилось - вероятность ИСЧЕЗЛА. В моем случае "событие произошло" - это бесконечное число бросаний. Этого никогда не произойдет. Но мне это и не надо.
Я стою в начале пути с ни разу не подброшенной монетой и подсчитываю через предел вероятность. Затея обречена на успех!
Я еще не начиная генерировать число уже знаю что оно не попадает в таблицу, которую я тоже еще не начинал строить и даже не знаю как она будет строится (я только знаю что в ней счетное число строк. Этого достаточно!).
Если легитимны рассуждения Кантора, значит легитимны и рассуждения Семенова.


Кстати есть еще одно доказательство геометрическое и через утверждение Кантора, что количество точек у континуальных фигур равномощно независимо то размеров (количество точек на интервале [1; 0] равномощно количеству точек на интервале [0; бесконечность])
.
Напомню.  Почти очевидно что бросая с равной вероятностью на поверхность площадью S точку, мы никогда не сможем попасть точкой в заранее выбранную нами точку.



Но почему мы не можем попасть точкой в бесконечное (хотя и  счетное) множество некоторых точек расположенных в пределах площади S?
(с таким же успехом можно рассуждать и об отрезке прямой или объеме).
Для того чтобы показать что вероятность попадание и в хотя бы одну точку из счетной бесконечность точек  -невозможное событие нам надо доказать, что  любое СЧЕТНОЕ множество точек на плоскости имеет площадь 0. И это доказывается от противного.
Предположим что у счетного множества суммарная площадь точек составит некатору dS >0. Но это абсурдно, ибо мы знаем что у разных по площади плоских фигур (не зависимо от их площади) количество точек РАВНОМОЩНО и равно континууму.
Противоречие.
теорема доказана!

[незлой]

вопрос: а может ли машина тьюринга выдать случайное (не псевдо- !!) число за конечное число шагов?

[alex_semenov]

При чем тут самолюбие - вне инета я был:

Да проехали уже. Не берите близко к сердцу. Это не математика. Не интересно!

если  0<z<1 - будет 1,
если z>1 будет 0

Давайте посмотрим что происходит при 0<z<1  Вот смотрите, наш же предел но 1/z я заменил на a



Смотрим случай когда a>1 (случай которого у нас быть не может). Тогда -a^n при n стремящемся к бесконечности стремится не к нулю а к бесконечности. Вторая квадратная скобка  при таком a в пределе на бесконечности уже не представляет из себя следствие из второго замечательного предела: lim_{x->0}[Ln(1+x)/x]=1  (мы получаем новую неопределенность) а первая скобка равна минус бесконечности. В общем пошла совсем другая песня.
Поэтому проще, наверное, вернуться в самое начало. Если a>1, то a в степени бесконечность равна бесконечности.



Получается очень прикольная неопределенность. Здесь возможно вообще нет предела?
 
Но данный случай вообще на случай теории вероятности не распространяется.
Все эти  рассуждения "из любви к прекрасному".
Мы уже разобрались и с этим пределом (как он решается в допустимой области определения z) и что он вычисляет (хаотически заполненную таблицу вычислимых чисел). И поняли что этот красивый сам по себе предел мало чем нам поможет.
Что называется "покрасили и выбросили"

[alex_semenov]

вопрос: а может ли машина тьюринга выдать случайное (не псевдо- !!) число за конечное число шагов?

Нет. По сути вот то что я доказал это и есть версия ответа на ваш вопрос.  Все что она может выдать - псевдослучайность. То есть закономерность, которая очень похожа на случайность. Но это только иллюзия.
Чисто случайна строка по Колмогорову-Хайтину должна НЕСЖИМАТЬСЯ. Длина программы, которая генерирует эту строку должна быть НЕ МЕНЬШЕ чем длина самой этой строки.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

Так как строка у нас бесконечная, то и программа для генерации чистой случайности тоже должна иметь бесконечную длину (не меньше). Но таких программ не существует. Любая программа - это КОНЕЧНАЯ последовательность символов. ВСЕГДА.

Я кстати тут теоремы доказываю пачками. Заметили? В нойой области так и бывает. Куда не плюнь - теорему докажешь! Клондайк!

[alex_semenov]

имхо, в таком деле вообще не фонтан на вероятность опираться, которая сама предел при стремлении числа испытаний к бесконечности. Как бы при глубоком копании понятия вероятности не уткнуться в ту же вычислимость/невычислимость.

"Все украдено до вас" (с) Я, по сути, имено об этом и говорю.

Ещё раз.
Вероятность вытянуть 1 из ста первых натуральных чисел равна 1/100. Будем бесконечно увеличивать множество элементарных исходов, устремив N к бесконечности. Тогда вероятность вытянуть 1 ,равная 1/N, стремится в пределе к нулю. Единицы не существует. Дело в том, что вероятность понятие убогое, вторичное и эвристичное.

Да вы батенька рассуждаете как смотритель (блин, не помню как звалась должность) монетного двора Республики Франция… месье Пьер-Симон Лаплас..



Лаплас известен всем рядом громких вещей. В первую очередь, своим заявлением первому вице консулу Республики (маленькому толстеньком в прошлом лейтенанту артиллерии родом с Корсики…) что в гипотезе бога он не нуждается, когда тот удивился что в его последней монографии нигде (в отличии от Ньютона) не упоминается бог.
Многим Лаплас запомнился своим "лапласовским детерминизмом"
И мало кто знает, что ИМЕННО Лаплас сделал очень большой вклад в развитие теории вероятностей. Он один из основателей этой теории.
Замечательно что он сам считал эту теорию  уступкой несовершенного разума перед реальной сложностью мира. Что учитывая его философию детерминизма не удивительно.  То есть  его "всезнающее существо которое может видеть…" (демон Лапласа) не только не нуждалось в боге но и в теории  вероятностей тоже.
Она нужна только несовершенным людям...
 

Почему же вероятность понятие убогое? Вторичное? Эвристическое?
Теория вероятностей в математике вводится как аксиоматическая теория. Колмогоров, кажется как раз этим занимался по молодости. Формализацией этой теории.
Окончательным устрожением.
То есть. Вероятность ПОСТУЛИРУЕТСЯ. Как факт математической реальности.
Как постулируется все в любой теории. Берется "с потолка"…
И все выше сказанное мной есть прямое следствие этого постулирования. Это следствия ТЕОРИИ вероятностей. Математической теории. Той самой, которую Лаплас создавал как чистую игру ума (чистую математику). В физической реальности он ей места не отводил.
Но с появлением идей квантовой механики, чистая, математическая вероятность ПОТРЕБОВАЛА от физиков признания этой умозрительной идеи в качестве объяснения физической картины мира. То есть квантовая механика заявила - чистая случайность ФАКТ физической реальности.
Лапласу припомнили его заносчивый детерминизм, а многие попытались лягнуть из за бога в котором "не нуждаюсь"…

Меня всегда веселит то как люди НЕ ЛЮБЯТЬ вероятность. Считаю ее чем-то неприятно-временным. Еще одно знаменитое недоумение "Зачем бог бросает кости?" от создателя теории, которую сам создатель терпеть не мог.
Я же предлагаю не бороться с ней, а на нее опираться. Случайность надо рассматривать как ультравычислетельную операцию.
Она, разумеется, не позволит нам вычислить все, что мы хотели бы вычислить. Но нам все и не надо на самом деле. Спасибо господи, что нужное делаешь легким, а сложное - ненужным!
Ультравычислительных способностей случайности (на бесконечности и только на ней) должно хватить ровно настолько, что бы объяснить феномен разума и жизни.
Вы считаете, этого мало?

[Diivanych]

…после тяжелой и продолжительной болезни, не приходя в сознание, приступил к исполнению своих обязанностей Генеральный секретарь ЦК КПСС…

Продолжая недопонимать некоторые моменты ваших, пардон… твоих рассуждений, я особо не понимаю вот этот переход.

То есть мощность бесконечности к которой стремимся как n так и m  будет не мощнее алеф 0. Счетная бесконечность.Поэтому мы не можем устремить число строк к 2 в степени бесконечности. Потому что это уже континуум.Кто знает как строится канторова диагональ понимает о чем я говорю.

Для тех кто смотрит на эти значки как баран на новые ворота - предупреждаю. Это и есть лик бога.И не только еврейского...

как ты перешёл от 2^∞ к 2^ א   
То есть ты уже получил декартово произведение и теперь говоришь о таблице мощности 2^א 

[alex_semenov]

…после тяжелой и продолжительной болезни, не приходя в сознание, приступил к исполнению своих обязанностей Генеральный секретарь ЦК КПСС…

Блин шутки у вас, Дмитрий Иванович, последнее время какие-то тяжеловесные.
Я про коротышек, про солнечный город. А у вас пьян в вытрезвители да генсеки...
Весна же на улице!
 

Продолжая недопонимать некоторые моменты ваших, пардон… твоих рассуждений, я особо не понимаю вот этот переход.

Да я знаю что ты, то есть вы (безобразно, зато единообразно) давно тормозите как лыжи по асфальту по поводу исчисления бесконечностей.
Не вы один такой тормоз. Я встречал немало фриков которые пытаются доказать что канторова диагональ - надувательство.
"Дети Кронекера", так сказать. (Кронекер был достойный математик, но остался широко известным как самый ярый противник идей Кантора)
Но я все что можно было сделать - сделал. Дальше, батенька - сами.
С падающей на поверхность S точка - самое наглядное что можно представить. Я думаю.

как ты перешёл от 2^∞ к 2^ א   
То есть ты уже получил декартово произведение и теперь говоришь о таблице мощности 2^א 

Да эта первая буква еврейского алфавита "алеф" и означает КАРДИНАЛЬНОЕ число.
Алеф-ноль кардинальное число, являющееся мощностью счетного множества.
(погуглите если не верите)
Значок "бесконечность", который мы используем по школьной привычке это общее обозначение для бесконечностей. Вообще всех.
Но после того как Кантор создал теорию множеств, и выяснилось что бесконечности разные и что есть проблема их исчисления (связанная с континуум-гипотезой).

[Paracelsus]

Почему же вероятность понятие убогое? Вторичное? Эвристическое?
Теория вероятностей в математике вводится как аксиоматическая теория. Колмогоров, кажется как раз этим занимался по молодости. Формализацией этой теории.
Окончательным устрожением.
То есть. Вероятность ПОСТУЛИРУЕТСЯ. Как факт математической реальности.
Как постулируется все в любой теории. Берется "с потолка"…
И все выше сказанное мной есть прямое следствие этого постулирования. Это следствия ТЕОРИИ вероятностей. Математической теории. Той самой, которую Лаплас создавал как чистую игру ума (чистую математику). В физической реальности он ей места не отводил.
Но с появлением идей квантовой механики, чистая, математическая вероятность ПОТРЕБОВАЛА от физиков признания этой умозрительной идеи в качестве объяснения физической картины мира. То есть квантовая механика заявила - чистая случайность ФАКТ физической реальности.
Лапласу припомнили его заносчивый детерминизм, а многие попытались лягнуть из за бога в котором "не нуждаюсь"…

Меня всегда веселит то как люди НЕ ЛЮБЯТЬ вероятность. Считаю ее чем-то неприятно-временным. Еще одно знаменитое недоумение "Зачем бог бросает кости?" от создателя теории, которую сам создатель терпеть не мог.
Я же предлагаю не бороться с ней, а на нее опираться. Случайность надо рассматривать как ультравычислетельную операцию.
Она, разумеется, не позволит нам вычислить все, что мы хотели бы вычислить. Но нам все и не надо на самом деле. Спасибо господи, что нужное делаешь легким, а сложное - ненужным!
Ультравычислительных способностей случайности (на бесконечности и только на ней) должно хватить ровно настолько, что бы объяснить феномен разума и жизни.
Вы считаете, этого мало?

Ну с Вашего позволения:
1. Симон Лаплас опирался на работы Христиана Гюйгенса, Пьера Ферма и Якоба Бернулли его нельзя считать основателем Тер.Вера в отрыве от работ Блеза Паскаля.
2. Это не было "чистой игрой чистого разума" - цель преследовалась совершенно "шкурная" - выявить скрытые закономерности в азартных играх с целью личного обогащения с их (закономерностями) помощью.
3. "Физическую реальность" Тер.Вер. обрел задолго до квантовой физики (20 век). К примеру: кинетическая теория газов (Максвелл), учение о теплоте (термодинамика, Больцман), Энтропия, Черное Тело  и пр. Всё это середина - вторая половина 19 века.
4. Относительно "Я же предлагаю не бороться с ней, а на нее опираться" - согласитесь, это вопрос сугубо мировоззренческий. Учение о научном детерминизме принадлежит перу Анри Пуанкаре, который (в числе прочих) задался вопросом. Те процессы (законы) которые мы (по умолчанию) считаем полностью детерминированными, то есть при одних и тех же начальных условиях - за одно и тоже время, получается один и тот же результат. На самом деле строго детерминированы? Или есть иной исход, но со столь малой вероятностью, что никто до сих пор ее еще "не поймал"? Иными словами: Законы Мироздания бывают и "случайными" и "детерминированными"? Или только "случайными"?

[alex_semenov]

Александр, ваш метод получения невычислимого числа противоречит некоторым научным концепциям. Я имею ввиду ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ.

Мы говорим о математике. Там нет экспериментов и нет воспроизводимости. Там есть доказательство.

Большей частью этот принцип относятся к экспериментальной науке, да и там не всё гладко. Тот же Фейнман, рассказывая о квантовой электродинамике гуманитариям, говорил не о 100% воспроизводимости эксперимента, а о предсказуемости попадания в заданный диапазон значений. В вашем случае, даже о диапазоне не может быть и речи.

Вот-вот. Даже в физике (икона для всех остальных естественных наук) идеалы "наших отцов" размываются.

Всякое случайное число на множестве n членов при n стремящемся к бесконечности на все сто % невоспроизводимо, хотя алгоритм понятен на те же 100%. С одной стороны – это залог его невычислимости, а с другой – вы никогда не сможете его повторить.

Что повторить? Вычислить невычислимое число?
Почему же! Дайте мне актуальную бесконечность (машину Зенона) и я вам это сделаю бесконечное число раз у вас на глазах!
Первый раз - невычислимое? Вжи-и-и-и-к…  Невычислимое.
Второй раз - невычислимое? Вжи-и-и-и-к…  Невычислимое…
Третий…
И так далее.

Воспроизводимый будет эксперимент? Вполне!
Всякий раз будет невычислимое число.
А то, что всякий раз на бесконечности у меня получился ДРУГОЕ невычислимое число - это уже никто не оговаривает. Никто не говорить что надо получить какое-то конкретное невычислимое число.
Вы вообще не можете это число никак указать. Никакое невычислимое число даже нельзя назвать. В него ткнуть и сказать - вот. В число пи- можно. В е можно. Поэтому это и называется вычислимым. Вычислить - ткнуть.
Вот я показал что можно ткнуть и в какое-то невычислимое тоже.
У любого невычислимого числа нет имени. Потому что имя числа - вычисляющая его программа.

Люди потому и тупят на задачах на сообразительность, потому что ограничивают ход мысли там, где этого совершенно не обязательно делать.
Вы тоже никак не поймете диагональ Кантора, потому что в случае с бесконечностями набор идей ОЧЕВИДНЫЙ в случае конечных множеств вас сковывает по рукам и ногам, там где привычиные базовые идеи частично отпадают.
Вот поэтому "лыжи и не едут"…

То есть ваш метод – либо новое слово в математике, либо шарлатанство в чистом виде (последнее слово за компетентными органами  )

Либо-бибо. Это очевидно.

P.S. теперь по башке девятью томами Фейнмана + два задачника?!.

Я же сказал, что драться я не стану больше.
А вам, видимо, понравилось?


Кстати. Вчера посмотрел лекцию Успенского о вычислимых действительных числах.

http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=211



Его там задергали в конце концов вопросами. Мне он показался не достаточно внятным. Я многих переходов у него не уловил. И кажется не один я. Но я заметил, что в конце он в запале ляпнул что вычислимых чисел континуум. И никто не поправил.
Вообще подобная лекция - зрелище интересное.
Хороший пример живого математика. Успенский может себе позволить выпучить глаза и сказать "аксиома выбора? Какая аксиома?! Я понятия не имею что такое аксиома выбора!"
И еще. Дядечка крупный, но он 1930-го года рождения, судя по ссылке. Доктор физ-мат 1964. Когда я был еще в проекте. Крайне удивлен. Вы скажете, что этому человеку 88 лет (лекция 2008 г)?!!!
Я знаю. Вам эта ссылка понравится.

Ксати читаю сейчас "Криптономикон"
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BD
Тоже полюбопытствуйте. Очень незаурядкая книга...

[незлой]

вопрос: а может ли машина тьюринга выдать случайное (не псевдо- !!) число за конечное число шагов?

Нет. По сути вот то что я доказал это и есть версия ответа на ваш вопрос. 

угу, именно так и подумал. просто очень уж много букв в вашей версии

[Diivanych]

Да я знаю что ты, то есть вы (безобразно, зато единообразно) давно тормозите как лыжи по асфальту по поводу исчисления бесконечностей. Не вы один такой тормоз. Я встречал немало фриков которые пытаются доказать что канторова диагональ - надувательство."Дети Кронекера", так сказать. (Кронекер был достойный математик, но остался широко известным как самый ярый противник идей Кантора)

А вот тут ты не совсем прав. Лет, эдак, пять назад, я с большим упоением (но не всегда пониманием) разбирался в идеях Кантора для гуманитариев.     По настоящему меня слегка коробило от того, что таблица получалась не квадратная, а прямоугольная. Я даже попытался применить унарную систему счисления. Вот тогда всё стало бы на свои места, но оказалось, что унарная система счисления не совсем «арийская». Изъян заключался в том, что она не позиционная, что разрушало общую гармонию всего построения.
На данный момент основные кирпичи рассуждения понятны, осталось только собрать их в нечто изящное, то есть – мудрецы слона уже пальпировали, осталось вместе покурить кальян, ну и, продолжать следить за дискуссией.

[alex_semenov]

Ну с Вашего позволения:
1. Симон Лаплас опирался на работы Христиана Гюйгенса, Пьера Ферма и Якоба Бернулли его нельзя считать основателем Тер.Вера в отрыве от работ Блеза Паскаля.

Разумеется. Компьютерных игр не было и все играли в азартные.

2. Это не было "чистой игрой чистого разума" - цель преследовалась совершенно "шкурная" - выявить скрытые закономерности в азартных играх с целью личного обогащения с их (закономерностями) помощью.

С целью именно обогащения - это вы уж слишком, наверное.  Но то что страховые компании нуждались в такой теории - это очевидно.

3. "Физическую реальность" Тер.Вер. обрел задолго до квантовой физики (20 век). К примеру: кинетическая теория газов (Максвелл), учение о теплоте (термодинамика, Больцман), Энтропия, Черное Тело  и пр. Всё это середина - вторая половина 19 века.

Можно спорить долго. Но я думаю что то была не настоящая реальность. Да, распределение молекул в газе происходит по законам больших чисел. Но все равно, можно оставаться лапласовским детерминистом, представляя все множество молекул в объеме как скачущие бильярдные шарики двигающиеся по строго ДЕТЕРМИНИРОВАННВМ траекториям и отскакивающие по четким механическим законам.

4. Относительно "Я же предлагаю не бороться с ней, а на нее опираться" - согласитесь, это вопрос сугубо мировоззренческий.

Да по сути все вопросы - сугубо… Все относительно.

Учение о научном детерминизме принадлежит перу Анри Пуанкаре, который (в числе прочих) задался вопросом. Те процессы (законы) которые мы (по умолчанию) считаем полностью детерминированными, то есть при одних и тех же начальных условиях - за одно и тоже время, получается один и тот же результат. На самом деле строго детерминированы? Или есть иной исход, но со столь малой вероятностью, что никто до сих пор ее еще "не поймал"? Иными словами: Законы Мироздания бывают и "случайными" и "детерминированными"? Или только "случайными"?

Ну мы теперь знаем что ТОЛЬКО СЛУЧАЙНЫМИ.
Случайность - это и есть истинный фундамент реальности. Все закономерности тут - статистические следствия.
Кстати. В физической реальности не могут существовать детерминированные машины.
Допустим у вас есть машина печатающая


1111111111…. И так до бесконечности.

Пускай вы эту машину бесконца ремонтируете. Но все равно у нее есть некая надежность. И как бы высока она ни была на бесконечности она сбойнет бесконечное число раз. То есть остановится таки или напечатает вместо 1, 0.
То есть любая вычислимая функция (детерминированная машина Тьюринга) это умственная идеализация. Умозрительность. Не более. Чисто математическая абстракция.
Как точка, линия, окружность, треугольник…
В ФИЗИЧЕСКОЙ реальности любая эта умозрительность невозможна.
В реальности есть только вероятностные машины…

Все с ног на голову? Правда?
Я вам по этому все время и толдычу. Физическая реальность не здесь а там. Мы с вами сами мнимости, математические абстракции. Поэтому часто и не можем отделить математику от физики.

Допишу. То есть мы многие вещи в физической реальноси не можем понять потому что мы не понимаем кто мы такие в этой физической реальности.

[PathFinder]

По настоящему меня слегка коробило от того, что таблица получалась не квадратная, а прямоугольная. Я даже попытался применить унарную систему счисления. Вот тогда всё стало бы на свои места, но оказалось, что унарная система счисления не совсем «арийская». Изъян заключался в том, что она не позиционная, что разрушало общую гармонию всего построения.

Как не позиционная? 
Вполне себе позиционная с основанием системы счисления 1.

[PathFinder]

Напимер (1^2)+(1^1)+(1^0)=111=3.

[Diivanych]

Точнее будет сказать – не совсем позиционная.
111111=6
11111=5
Какой разряд я удалил?
Да и с представлением дробей не всё в порядке. Если у нас нет нуля, то как вы представите дробь? Ну ладно пусть будет просто точка. Как мы представим шесть тысячных
В десятичной 0,006
А в унарной системе?
Да вот посмотрите сами

http://ru.wikipedia.org/wiki/Унарная_система_счисления

[alex_semenov]

Напимер 1^2+1^1+1^0=111=3.

Да вы батенька волюнторист!
 
На вики сказало что унарная система может рассматриваться как частный случай позиционной

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

но сноска (источник не указан 592 дня) заставляет сомневаться.

Суть в том что в любой позиционной системе счистелиня два разных разряда, если они не совпадают при перестановке дают другое число.

Например мы видим два числа записано в каой-то тау-китайской системе (мы даже не знаем основания) но ЗНАЕМ что это позиционная система:


и


Так вто нам увиденного достаточно что бы четко понять что эти две цепочки обозначают РАЗНЫЕ числа.
Это свойство общее для любых ПОЗИЦИОННЫХ систем не зависимо от основания.

Так вот в вашей якобы позиционной унарной такого нет. Переставляйте единицы с места на место хоть все - число останется тем же.
Какая же это ПОЗИЦИОННОСТЬ?