Научный метод и критерии истинности научного знания

[PathFinder]

А вот - для 1/4:



Это неопределенность типа , которую надо разрешить. Выполним тождественное преобразование для этого выражения:



Теперь вычислим предел. Посчитаем отдельно пределы выражений, заключенных в квадратные скобки. Предел выражения в первых квадратных скобках стремиться к нулю:



Так как    стремится к нулю при  ,  а стремится к единице при a, стремящемся к нулю, то предел выражения во вторых квадратных скобках стремиться к 1. 



Коль скоро предел одного сомножителя равен нулю, а предел другого равен единице, то предел произведения существует и равен произведению пределов, т.е. 0•1 = 0.
Так как предел показателя степени равен нулю, а функция exp(n) непрерывна, то предел всего степенного выражения существует и равен значению функции exp(n) в точке 0, т.е.  exp(0) = 1.
В результате вероятность того, что число Z  не совпадает ни с одним числом в бесконечной таблицы вычислимых чисел равна: 



Это абсолютно достоверное событие.

[PathFinder]

Хватит? Или мне продолжить? 

[alex_semenov]

Хватит? Или мне продолжить? 

Нет не надо.
Блин. Это я тупонул на ровном месте. Я вас неправильно понял. Хотя сейчас перечитал. Все верно. Как можно было там увидить какйо-то неясный мне бред?
Вот что значит замозоленый глаз и предубежденность!
Извените. Беру свою реплику назад. Глупость сморозил.

Разумеется! Если вы поднимите самую первую запись где этот предел тут встречается там как раз и идет речь об этом. Для вместо 2, 3, 4... и т. д. плдставляется любое z. Для всех  предел будет 1.
Это само собой разумеется.
Интерпретируется это так. Не важно в какой нотации записаны все вычислимые числа. Процедура дает для всех один результат.

[PathFinder]

Интерпретируется это так. Не важно в какой нотации записаны все вычислимые числа. Процедура дает для всех один результат.

Процедура даст тот же результат даже если вероятности появления цифр неодинаковы. Я вот эту мысль пытаюсь до вас донести.
Кстати, у Эмиля Бореля про нормированные числа говорится что-то большее, чем то, что вероятность появления разных цифр в числе может быть различной?
Я вообще-то эту статью прочитал сразу, как вы на неё сослались. Но так - поверхностно.

[Diivanych]

Так как    стремится к нулю при ,  а стремится к единице при a, стремящемся к нулю, то предел выражения во вторых квадратных скобках стремиться к 1. 

Вы уж извините меня, зануду.
ln((1+a)/a)=ln(1/a+a/a) при a→0 имеем ln(1/0+0/0), тогда ln(∞+1)= ∞

[PathFinder]

Вы уж извините меня, зануду.
ln((1+a)/a)=ln(1/a+a/a) при a→0 имеем ln(1/0+0/0), тогда ln(∞+1)= ∞

Там не ln((1+a)/a), а  ---  [ln(1+a)]/a.

[Diivanych]

Не понимая всей картины в целом, я опять выхватил опечатку в частности.   

[PathFinder]

Знаменатель не под знаком логарифма.

[alex_semenov]

Так как    стремится к нулю при ,  а стремится к единице при a, стремящемся к нулю, то предел выражения во вторых квадратных скобках стремиться к 1. 

Вы уж извините меня, зануду.
ln((1+a)/a)=ln(1/a+a/a) при a→0 имеем ln(1/0+0/0), тогда ln(∞+1)= ∞

Да, спасибо. И  PathFinder-у тоже спасибо. Он правильно сказал. Под логарифмом только числитель. Вы оба - молодцы.
Приятно, что кто-то все-таки ВЧИТЫВАЕТСЯ в мои потуги родить чистую мысль (не обремененную смрадным душком человеческого "понимания").
Это явная очепятка. Самое смешное, что тут то можно было бы ее и не делать. 
Я впервые набираю все эти выкладки в латексе.
В большой формуле с квадратными скобками я чуть не чокнулся в лесе скобок. Но именно там я среди скобок не заблудился. А здесь - расслабился…
Механизм латекса - восхитителен. Но можно сойти с ума  в некоторых особо злостных случаях, где есть нагромождение скобок и дробей. Интерактивный механизм построителя формул в Worde куда в этом случае лучше. Ну и в маткаде, разумеетя…

О пределе.
Да. Смотрите (все-таки "вики" вещь классная!).

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB

Там есть:



Это там третье следствие из второго замечательного предела:



Кстати. Я в самом начале признался, что я только составил предел, а за решением бросился на  фидонетный форум математиков. Разумеется, я потом по предложенному решению прошелся сам и согласился, что все так и есть. Но одно дело решить самому- другое понять уже готовое решение. Второе куда проще.

Сейчас же меня беспокоит прежде всего интерпретация этого выражения. Действительно ли из истинности этого предела (а в этом нет сомнений!) следует невычислимость случайно полученного  числа?
Что на самом деле ВЧИСЛЯЕТ это выражение?
Логика получения этого предела (раньше казавшаяся очевидной) меня сильно смущает. Тут может быть очень серьезная ошибка.
Кстати, конечный результат (число действительно невычислимое!) почти не подлежит сомнению. То есть результат нам все-таки уже известен.  Неясен правильный путь.
Почему?
Не потому что я упертый дебил (хотя конечно и это тоже), а потому что это почти очевидно из того мысленного опыта с попаданием точкой на плоскость в СЧЕТНОЕ множество точек. Просто из соотношения мощностей.
В случае с поиском подходящего пдела, доазывающее это же СМЫСЛ, эвристика вот в чем:

Экспонента y=e^x всегда обгоняет такую жалкую полиному как y=x на бесконечности.

Она обгоняет почти все тенденции, которые в такой таблице могут появится.
То есть таблица вниз и вправо растет ЯВНО медленней чем падает вероятность совпадения (она падает экспонециально).
Тут гонка двух кривых.
Кому это ОЧЕВИДНО кроме меня?
Поэтому  в конечном результате  сомнений мало.
Однако.
Делая такое СЕРЬЕЗНОЕ заявления (Тезис Черча-Тьюринга ОГРАНИЧЕН!) нужно очень строгое, четкое его доказательство. "Почти" тут ни катит ну никак!

[alex_semenov]

Предел то ерундовый!

Верно! вилки зеты разметьте и все....

То есть до профанов не снизойдете?
Намекаете что, таки, нет царской дороги в математику?
Мол, я дал намек, а вы уж сами…

Вы хотя бы как-то намекните тогда, что вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО спец в математике. "Гюльчатай, покажи личико!"
Поймите и меня!
Пока что из имеющейся у меня от вас скудных фраз, я более склонен считать что вы типичная сетевая посредственность.  И лаконичны вы не потому что великомудры, а потому что за подобной лаконичностью очень легко спрятать свою ничтожность.
Так поступают все "аксакалы". 
Почему аксакалы?
В армии советской служили?
Если вы попадаете в такую армию, где "сплавлялись народы СССР", то четко видите, что у народов малоразвитых ("чурбанья") набобученное павлинье поведение очень распространено. У всех распространено. Но у этих- особенно. У них это сама суть.  Порой это так смешно, что  вообще должны изучать этологи- специалисты по поведению животных.
Говорят подобное распространено и "на зонах".
Кстати, среди "крутяков", "пацанов с понятиями", пустая иммитационная лаконичность - тоже типичный стиль. Оттопыренная губа, мелонхоличная непричастность, короткие фразы-намеки -первейшее там умение.
"Мама не горюй" смотрели? Вот там все это очень хорошо показано…
Понты  - это очень удобно. Это просто необходимо. Я одно время в конце 90-х работал среди них. И чуть-чуть поднатаскался… Очень прикольно, познавательно, имитировать этакое загадочно всепонемание, когда нихрена на самом деле не понимаешь (кто, кому, что?...какой косой? что сделал?...) сплошные загадки, жаргонизмы, полунамеки но все равно, проявив смекалку, получается "быть своим", "в деле", "в натуре".
Наверное это и имел в виду Эйнштейн, когда говорил о безграничной человеческой глупости?
Взять людей "на понт" - дело простейшее. Любой сообразительный дебил это осваивает если не в малолетстве то в отрочестве. И на этом заканчивает свой интеллектуальный рост. Больше ведь обезьянину и не надо!
Здесь же, в сети, особенно часто такие понты разводят  злостные сетевые гавнюки. Кстати, среди них РАНЬШЕ было немало таких, которые получили хорошее физико-математическое образование.
В начале нулевых в сети, были только умники. Самые-самые.  И тут постоянно ходили байки о заносчиво-обидчивых духовных калеках "их физтеха". На "лукоморье" наверняка должен остаться след в виде какого-нибудь кащенизма…
Сейчас сеть наполнилась народом попроще, и я как-то давно таких уже и не встречал. Все гораздо проще и неинтересней. Такие как буд-то  растворились вместе с фидошной привычкой обращаться на "ты"…
Я ведь помню в сети ТЕ ВРЕМЕНА, когда "выкать" - было показывать себя  белой вороной. И я упорно "выкал", кстати еще тогда! Это тогда было одним из приколов! Одна из первых правильных моих находок в технологии сетевого общения.

В общем, вы все-таки мне намекните как-нибудь, чтобы я понял, что вы совсем не такой как я выше описал.  Зачем вам, скорей всего хорошему и очень грамотному человеку, прикидываться ЯВНЫМ идиотом?

[alex_semenov]

Я кажется все-таки перегнул, экспериментируя с самолюбием  Paracelsus…

тем более что до этого в запале попытался ударить его учебником агбебры по башке…

Все… буду теперь мучаться все выходные совестью и загадками…

Кто-нибудь может закончить за него его загадочную мысль?
Может кто-то еще видит в данном пределе



"типичное диафатново тождество"?

Почему это не типичный предел? Потому что у меня тут натуральное n?

1, 2, 3, 4 …

А это тут имеет принципиальное значение? Второй замечательный предел (что тут используется в доказательстве) вроде как справедлив и для целых и для вещественных n

Ткните носом  меня, дебила, "де море!"

Ехел - это помощь тому кто хочет понять. А кто не хочеть ничего понимать - толстенным учебником алгебры по башке. Самым тяжелым. Со всей дури. Поможет только это!

Ну зачем Вы меня принуждаете излагать основы арифметики: в том виде, в котором Вы изначально подали формулу - это типичное диофантовое тождество, которое разрешается ТОЛЬКО при определении начальных условий.

Восьмая строка сверху. Для раскрытия неопределённостей видов...
Да и без Ёкселя ясно что будет, какая же это неопределенность? Для каждой вилки Z - своя сходимость (или расходимость)

Предел то ерундовый!

Верно! вилки зеты разметьте и все....

Paracelsus, можете без обид объяснить?

Я с перепугу в Ехеле и график построил. Дальше n=25 он гад уже не берет… Но на первых 25 n график гладкий (на хаотический атрактор не похож) и очень даже плавно и явно стремиться к асимптоте 1….

Ничего не понимаю!
В чем секрет?
А вот такой предел при натуральных n:



тоже не сходится к 1?
Обещаю больше не лезть в душу! Честное слово!
 

[Paracelsus]

Я кажется все-таки перегнул, экспериментируя с самолюбием  Paracelsus…

тем более что до этого в запале попытался ударить его учебником агбебры по башке…

Все… буду теперь мучаться все выходные совестью и загадками…

Кто-нибудь может закончить за него его загадочную мысль?
Может кто-то еще видит в данном пределе



"типичное диафатново тождество"?

Почему это не типичный предел? Потому что у меня тут натуральное n?

1, 2, 3, 4 …

А это тут имеет принципиальное значение? Второй замечательный предел (что тут используется в доказательстве) вроде как справедлив и для целых и для вещественных n

Ткните носом  меня, дебила, "де море!"

Ехел - это помощь тому кто хочет понять. А кто не хочеть ничего понимать - толстенным учебником алгебры по башке. Самым тяжелым. Со всей дури. Поможет только это!

Ну зачем Вы меня принуждаете излагать основы арифметики: в том виде, в котором Вы изначально подали формулу - это типичное диофантовое тождество, которое разрешается ТОЛЬКО при определении начальных условий.

Восьмая строка сверху. Для раскрытия неопределённостей видов...
Да и без Ёкселя ясно что будет, какая же это неопределенность? Для каждой вилки Z - своя сходимость (или расходимость)

Предел то ерундовый!

Верно! вилки зеты разметьте и все....

Paracelsus, можете без обид объяснить?

Я с перепугу в Ехеле и график построил. Дальше n=25 он гад уже не берет… Но на первых 25 n график гладкий (на хаотический атрактор не похож) и очень даже плавно и явно стремиться к асимптоте 1….

Ничего не понимаю!
В чем секрет?
А вот такой предел при натуральных n:



тоже не сходится к 1?
Обещаю больше не лезть в душу! Честное слово!
 

Дело не в "n", а в "z:", задайте вилки при которых (1/z) будет больше или меньше "1" - и Лопиталь отлично сработает.

[Diivanych]

А вот такой предел при натуральных n:



тоже не сходится к 1?

Рискуя получить алгеброй по голове всё же высунусь.



посмотрите ещё http://www.pm298.ru/prsym.php

Боюсь Лопиталь не пройдёт. У нас n – из натурального ряда, а правило Лопиталя применимо для дифференцируемых функций.
По этой же причине я сомневаюсь в собственных выводах.

P.S.  А моя Ганя балувана! (укр.)

[alex_semenov]

Дело не в "n", а в "z:", задайте вилки при которых (1/z) будет больше или меньше "1" - и Лопиталь отлично сработает.

А, вот вы о чем!
Дело в том что 1/z у меня просто не может быть больше 1.  Логически. Поэтому я и не пишу (1-C^n)^n, а пишу (1-(1/z)^n)^n, где z=2,3,4, ... и т.д.
1/z  - это вероятность совпадения i-того разряда в еще не сгенерированном случайном числе и i-того разряда в проверяемой на совпадение строке таблицы вычислимых чисел.  1/z  будет меньше не только 1 но и не больше  1/2.
z=2 -  это минимальное z. И это значит что строки  записаны в двоичном коде:

110XXXXXXXXX...
1011011101101011...

Если строки записаны в десятичном коде, то z принимает значение 10. В этом случае наша случайная монета должна быть десятигранным честной костью( любая из граней выпадает с вероятность 1/10). После каждого бросания вероятность совпадения выпавшей грани и проверяемого разряда в строке становится 1/10:

218403XXXXXX...
109843224213243...

Вообще для всех рассуждений достаточно принять z=2. Кстати поэтому в приведенном примере решения предела там так и сделано. Больше и не надо.
Но разные z надо вводить для того чтобы показать что от выбранной нотации для записи вычисляемых и невычислимых чисел ситуация не меняется. Действительно, значение предела не зависит от выбранного  z, есди  1/z <1. А другого варианта логически быть не может.
Спасибо за ответ.

[PathFinder]

Александр, да ни при чём тут эти вероятности. Уже знаю, что вам ответить по этому поводу. Просто руки сегодня не дошли развёрнутый ответ написать. Надеюсь, завтра дойдут.

[alex_semenov]

А вот такой предел при натуральных n:



тоже не сходится к 1?

Рискуя получить алгеброй по голове всё же высунусь.

Если я вам поставлю еще один плюс, меня заподозрят в кумовстве...
Я тут тоже хамутнул (уже  "опечатка  в голове"*).
Я имел в виду вот это:



Хорошая опечатка, правда?
Но я очень спешил в конце дня  и вообще день был дурной.
Вообще этот предел еще гипотетический. Он еще рождается... Еще много что надо уточнить. И возможно он не имеет смысла. Не берите пока в голову.
Я соберусь с мыслями и все изложу.
Алгеброй я больше драться не буду! Простите меня пожалуйста, все кому досталось! Поверье, это от большой любви к вам, от глубокого уважения...
 
(часом цитата не из  "Незнайка и его друзья"?)

посмотрите ещё http://www.pm298.ru/prsym.php

Боюсь Лопиталь не пройдёт. У нас n – из натурального ряда, а правило Лопиталя применимо для дифференцируемых функций. По этой же причине я сомневаюсь в собственных выводах.

Это вы по поводу чего? Исходного, самого первого предела? Там все функции тоже дифференцируемые. Это у нас переменная n дискретная (по смыслу задачи) но сами функции работают и для натуральных и для вещественных значений n. Поэтому думаю там все нормально. Мне кажется мы тут уже начали с перепугу дуть на воду...

Хороших выходных!

[alex_semenov]

Александр, да ни при чём тут эти вероятности. Уже знаю, что вам ответить по этому поводу. Просто руки сегодня не дошли развёрнутый ответ написать. Надеюсь, завтра дойдут.

Где тут? Ну да ладно. Хорошо. Попробуйте, конечно.
У меня возникла мысль разбить все рассуждение на этапы, пронумировать их и с каждым разбираться отдельно.
Сейчас меня больше всего волнует этап получения предела. Он мне кажется самым хлипким...

[Diivanych]

Поверье, это от большой любви к вам, от глубокого уважения...
(часом цитата не из  "Незнайка и его друзья"?)

Но если я кого ругал - карайте строго!
Но это вряд ли, - скажи, Серёга!
А что упал - так то от помутненья,
Орал не с горя я, сержант, - от иступленья.
................................................. ..................
Вы не глядите, что Серёжа всё кивает, -
Он соображает, всё понимает!
А что молчит - так это от волненья,
От осознанья, так сказать, и просветленья.
 
В.Высоцкий

Это вы по поводу чего? Исходного, самого первого предела?

Это я по поводу правила Лопиталя для данного случая. Посмотрите http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E0%E2%E8%EB%EE_%CB%EE%EF%E8%F2%E0%EB%FF
А вот по поводу дифференцируемости вашей функции ... не знаю (правда не знаю). Это не значит, что невозможно найти предел, но правило Лопиталя похоже не катит - ведь n - натуральное, дискретное по вашему определению.

Хороших выходных!

................................................. ...........
И всё же, брат, трудна у нас дорога!
Эх, бедолага! Ну спи, Серёга!

[СТОкрат]

имхо, в таком деле вообще не фонтан на вероятность опираться, которая сама предел при стремлении числа испытаний к бесконечности. Как бы при глубоком копании понятия вероятности не уткнуться в ту же вычислимость/невычислимость.

"Все украдено до вас" (с) Я, по сути, имено об этом и говорю.

Ещё раз.
Вероятность вытянуть 1 из ста первых натуральных чисел равна 1/100. Будем бесконечно увеличивать множество элементарных исходов, устремив N к бесконечности. Тогда вероятность вытянуть 1 ,равная 1/N, стремится в пределе к нулю. Единицы не существует. Дело в том, что вероятность понятие убогое, вторичное и эвристичное. Оно уже опирается на существование мн-ва элементарных исходов и непустого мн-ва удачного исхода (1 существует), и нельзя переворачивать это задом на перeд и доказывать несуществование единицы тем, что при бесконечном мн-ве исходов вероятность вытянуть 1 стремится к нулю. Так и в нашей задаче, рассматривая разряд за разрядом, мы бесконечно расширяем множество элементарных исходов - вправо и вниз по таблице. Тем что вероятность обнаружить наше случайное число в этом бесконечном множестве вычислимых чисел стремится к нулю нельзя доказать что его не существует в этом множестве. И заклинания "таблица дана и число дано" не катят. В вышеуказанном примере случайное число (например, единица) дано и множество натуральных тоже дано.

[Paracelsus]

Я кажется все-таки перегнул, экспериментируя с самолюбием  Paracelsus…

тем более что до этого в запале попытался ударить его учебником агбебры по башке…

Все… буду теперь мучаться все выходные совестью и загадками…

Кто-нибудь может закончить за него его загадочную мысль?
Может кто-то еще видит в данном пределе

При чем тут самолюбие - вне инета я был:
если  0<z<1 - будет 1,
если z>1 будет 0