Оставаясь "суровым челябинским мужиком"… позволю себе слабость.
Рискну вернуться от простого к сложному, ПРЕЖДЕ чем получу от кое-кого внятное признание, что я прав в простом.
Нет сил сдержать рвущийся наружу поток сознания….
Я хочу вернуться к бесконечной таблице ВСЕХ вычислимых чисел.
Хотя не следовало бы так спешить…
Почему?
Легко предсказать чем мое нетерпение скорей всего закончится.
Скорей всего мой "простой ответ Чемберлену" (выше) будет слит, а у кучи философов-словоплетов появиться шанс вцепится в эту запись "о сложнм", оплетая ник чему не обязывающим словоблудием сложную штуту высказанную в нем, полностью игнорируя простое и неопровержимое.
Я все время удивляюсь.
Как кое-кто уверен, что сможет понять квантовую механику, когда он простои ИЗБЕГАЕТ манипуляций с куда более простой матсимволикой?
Мало того! Этот народ еще и пытается доказать что вся та матсимволика ничего не стоит без истинного, философского осмысления!
Господа! О чем вы все тут норовите бредить?
Вы два плюс два сложить не беретесь. Боитесь.
А вот познать глубокомыслием суть квантовых эффектов…
Я не прав?
Я не к философскому великомудрию аппелирую. Я к совести!...
Вот, обяснитем мне, как можно решить сложную проблему, если на решение простых- кишка тонка? Ведь это просто лень ума и трусость признять себя ничтожеством. Мол, ничего. Мы в математике слабы, зато в глубоких совомыслия… Там мы себя покажем! В этом истинная силм!
То есть похоть и гордыня.
Нет?
Не надо мне признаваться. Вы сами себе хотя бы признайтесь! Вот возьмите и честно в себя плюньте! Это же и есть истинный Путь Воина!
Но это - злая лирика.
К сути.
Смотрите.
Когда я приводил для LUKA задачу вычислить невычислимое число и ее "простое" решение, я не привел ее (задачу вычислить все вычислимые числа) всю от начала до конца. Прежде чем вычислять НЕВЫЧИСЛИМОЕ число, надо наверное понять что такое ВЧИСЛИМОЕ число. И как они все вычисляются.
Верно?
Я посчитал это очевидным и перескочил.
Я дал ссылку на свой перевод лекции Хайтина и определил верхний и нижний ключевой абзац в нем (чтобы не утруждать вас чтением всей лекции). Но у меня есть подозрение, что чуть больше чем полностью спорщики по ссылке не сходили. То есть даже не ухватили УСЛОВИЕ задачи.
Я прав?
Я математик дрянной. Но души людские я вижу насквозь. Если сложно объяснять почему - потому что я интуитивно-этический экстроветр, социотип "Гексли". Мне быть писателем и трибуном - в генах записано. А если по-простому - я сам сволочь и ничтожество, поэтому всякую шельму тоже вижу насквозь. Даже сквозь логины… не видя не лица, ни возраста и даже пола… И я прекрасно понимаю что большинство моих потенциальных оппонентов здесь и сейчас хотят не решения задачу, условие которой они до конца не понимают, а придушит наглого, зарвавшегося писателишку с его заносчивыми убеждениями и доставшей уже до коликов манерой общения. А так как я всеми силами пытаюсь показать всем тут, что данная задача - это для меня святое, по сути цель жизни (без шуток!), та самая иголка на которой смерть Кащея, то интересы оппонентов очевидны. Разумеется, вся эта РЕАЛЬНАЯ математика - место гиблое. Топкое… Но заманчив приз, конечная цель… Прищучить гадюку в самом святом…
Во всяком случае я рассчитываю что подобная мысль многих согрела…И я очень рассчитываю, что теперь самые смелые (и возможно среди них есть и умные) и добрые молодцы за поруганный народ (физикалистов, философистов и прочих …-расов) все таки ринутся на этот подвиг. Найти в логике построения и решения задаче гнилое звено.
Один боец нашелся.
Но хорошо бы побольше. Чем больше - тем лучше. Одна голова хорошо. А много - лучше.
Коль скоро LUKA взял тайм аут, а в бой скорей всего вступят люди "попроще" то наверное надо вернуться к самому началу.
(вот теперь действительно к делу)
Что такое бесконечная вправо и вниз таблица ВСЕХ ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЕЛ? (я кстати там написал "влево" и не исправил)
Вся соискатели славы уловили?
Любое число, которое вы сможете записать каким угодно НЕСЛУЧАЙНЫМ, регулярным способом ТАМ ЕСТЬ в виде бесконечной строчки!
Гарантированно есть (кстати некоторые - бесконечное число раз). Данная бесконечная таблица - это и есть самое сердце теории алгоритмов. Люди обычно недооценивают "вместимость" бесконечности. Я не о континууме. Я пока о счетную, "простую" бесконечность.. Если вы не сталкивались с бесчисленными "парадоксами" бесконечности типа "бесконечность минус бесконечность равно бесконечность", вам тяжело обуздать свою "интуицию конечного".
То есть ваше "нескованное формализмами" мышление оказывается унизительно узколобым. Если вы хоть раз в жизни мыслили как мыслят математики - вы никогда в жизни не станните утверждать что какая-то там интуиция, диалектика и прочая котячья гонка за собственных хвостом, должна указывать математике как ей варить ее щи…
Счетная бесконечность - это уже очень сложно представить.
И уже совсем невозможно представить себе континуум.
Так вот.
Бесконечная таблица всех вычислимых чисел содержит все мыслимое в математике.
ВСЮ МАТЕМАТИКУ.
Бесконечное число раз.
Кстати, и все конечные числа (скажем каждая рациональная дробь) в списке вычислимых чисел тоже есть. Они записываются как конечная цепочка цифр, дополненная до бесконечности бесконечным числом нулей.
Безобразно? Зато единообразно.
Это надо проделать чтобы наше натуральное или рациональное число стало похоже на остальные действительные (ведь любое действительное число - это число с бесконечным числом разрядов после запятой).
Тут нужна наглядность на пальцах, наверное.
1 - это натуральное число один.
+1 - это целое число один.
1.0 или 1.000 - это рациональное число один (дробь 1/1, 10/10, 100/100… а еще 2/2, 3/3…).
А вот…
1.0000000000… (и так до бесконечности) - это действительное число один.
Все натуральные числа N это подмножество целых Z. Все целые - подмножество рациональных Q. Рациональные - это все дроби типа a/b где a и b принадлежат Z. Но они подмножество…
Эта "матрешка" обычно записывается в символике теории множеств так:
Все помнят из школьного курса алгебры эту формулу? (А то вчера в новостях я увидел опрос на улицах Киева. Выборка наверняка нерепрезентативна, но поражает что НАШЛИСЬ киевляне не знающие, не помнят что такое число "пи"!)
Множество R - это множество действительных чисел. "Крайнее". Самое-самое. Тех самых чисел, из которых и состоит ВСЯ числовая прямая. (есть ли после них еще что-то для чего множество R есть подмножеством - оставим великомудным математикам. Конечно есть. Но это не важно. Как не важно и то, что на самом деле множества чисел не только вкладываются друг в друга, они еще и ветвятся.)
Что нам важно?
Видите многоточие?
Если из множества действительных чисел вычесть все рациональные числа, останутся иррациональные. Это то, что потрясло Пифагора. То есть числа не представимые как a/b.
На этом обычно все и останавливаются.
Вот в школе, уже не изучают что матрешку еще несколько раз достраивали.
Все рациональные числа есть подможожестов алгебраических чисел . Это числа которые являются корнями некого многочлена с целыми коэффициентам. И если вычесть из действительных чисел алгебраические, останутся трансцедентные… Типа нашего "пи" или "е".
Так вот. Ближе к сути. Есть ли вот там между двоеточиями последнее множество чисел, после которых уже идут ТОЛЬКО действительные? Такое, что бы дальше выделять (обобщать) больше ничего не оставалось. Оставался только переход к действительным! Есть.
Это ВЫЧИСЛИМЫЕ ЧИСЛА.
Это числа для вычисления которых можно написать ПРОГРАММУ.
Являются ли, скажем, натуральные числа вычислимыми? Конечно! Программа которая тупо печатает некоторую коечную цепочку символов (скажем 100101011) и останавливается печатает некоторое натуральнео число.
А алгебраические? Конечно! Это же корни уравнения… Вообще любое уравнение это же программа. Верно? А такая не выразимая конечным уравнением фигня как число пи? Или e? Разумеется! И это - программа.
Как вы считаете пи?
Зайдите, посмотрите!
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)Например, ряд Мадхава из Сангамаграма.
Что это?
Это бесконеный ряд. И весь набор функций, что мы используем в физике, математике - все сичитается как ряды.
И это алгоритмы! Циклы. Кстати, которые, по идее, никогда не должны (в идеале) останавливаеться. Печатать, печатать, печатать все новые и новые разряды вычислимого числа…
Вообще все, что мы можем как-то посчитать, записать, механически - это все можно сделать с помощью алгоритма. Универсального языка.
И НИЧЕГО БОЛЬШЕ.
Алгоритмы могут все, что можно вообще сделать "математически". Притом есть один алгоритм (универсальный) который выполняет все остальные алгоритмы.
И поэтому можно мысленно построить эту самую бесконечную таблицу всех всех всех алгоритмов.
В этом суть. Основа.
Любой алгоритм можно было при некоторой математической извращенности ума (доступной только математикам) представить как вычисление некоторого вычислимого числа. Что Тьюринг и сделал.
Бубен, заклинание, философское ковыряние в носу, тантрический секс… Это все не математика. Скорей всего все это сводится в конечном итоге к тому или иному алгоритмам… ТО ЕСТЬ к какому-то вычислимому числу в той бесконечной таблице о которой тут речь.
Там есть все, что СОДЕЖРИТ КАКОЙ-ТО ПОРЯДОК, СИСТЕМУ!
Вся понимаемая манетматика.
И обратите внимание. Все вычислимое числа уже записывается так же как и действительные (это начинается еще с трансцендентных). Это бесконечная цепочка букв. Скажем из 0 и 1.
Кстати, не знаю каким символом это самое последнее подмножество действительных числе обозначается. Использую С (не помню, занято ли?). То есть картина получается следующая:
Почему я покрасил это утверждение в разные цвета? Синие подмножества - СЧИЕТНЫЕ. Бесконечные но счетные. А все множество действительных чисел уже несчетное. Континуум.
То есть. Вычислимые числа не только последние как-то определимое подмножество действительных чисел (включающие в себя весь математический порядок) в матрешке вложений. Оно ПОСЛЕДНЕЕ счетное.
Если мы из действительных чисел вычтем вычислимые то получим невычислимые числа, которых, разумеется и остается континуум.
Любое такое невычислимое число по Колмогорову-Чейтину абсолютно сложная, несжимаемая последовательность СЛУЧАЙНЫХ, хаотических бит. Чистый, математический хаос.
И вычислимых чисел (сжимаемых в какой-то финитной длинны алгоритм) ГОРАЗДО меньше невычислимых.
Этот факт зримо "демонстрируется" тем самым наглядным примером, когда вы отмечаете на плоскости БЕСКОНЕЧНОЕ но счетное множество точек (все вычислимые числа) но шанс попасть хотя бы в одно из этих чисел случайно брошенной точкой = 0. Несчетных (для которых нет алгоритма) не просто как-то много. Их настолько много, что случайное событие (попасть- не попасть) превращается в достоверно гарантированное (не попасть!).
Так вот. Вся моя логика ведет к тому, что бесконечно подбрасывая чистую монету в ДИСКРЕТНОЙ реальнсти мы делаем то же, что бросаем точку на плоскость в КОНТИНУАЛЬНОЙ реальности.
В итоге что там, что там ГАРАНТИРОВАНО получим какое-то невычислимое число. Шанс случайно попасть в какое-нибудь вычислимое число просто равен нулю.
Например, есть шанс, что наше случайное число будет состоять из исключительно "1" Пускай это пока 10^100 разрядов.
Представте себе конечную запись полученную случайно:
11111111…. (10^100 единиц).
Есть шанс такое число получить случайно? Есть! Этот шанс легко посчитать:
P=(1/2)^10^100.
Это очень маленькое число. Но это с точки зрения математики реальный шанс отличный от 0. Для любых конечных чисел так будет всегда.
Однако АКТУАЛИЗИРОВАВ бесконечность, вы получить "в конце концов" бесконечный ряд из одних единиц, подбрасывая честную монету, уже НЕ МОЖЕТЕ. Шанс этого равен нулю.
Это просто подсказывает соотношения мощностей.
Такой бесконечный ряд из одних единц (кстати прекрасно сжимаемый по Колмогорову-Хайтину в примитивну програмульку) можно получить только с помощю регулярного выислительного процесса.
Предел, который тут фигурирует, и который (как у меня мелькнула жуткая мысль) возможно неверно составлен - это так, частность. Устрожение рассуждений.
Вчера задумавшись, я получил еще один предел (введя спецусловие расположения вычислимых чисел в таблице, когда строчки не повторяются. Ужав список. Хотя это невозможно). И он тоже стремиться к 1.
Но об этом - отдельно, наверное.
Если есть еще интерес к теме.
Разумеется.
