Научный метод и критерии истинности научного знания

[LUKA]

Насколько я могу судить отсюда… "царская дорога" у вас - это всего лишь пять метров ковровой дорожки на входе в страшный, черный, терновый лес из кванторов… В общем, замануха для  добра молодца?

Глубину логики можно понять и без серьёзного математического базиса. Он конечно не помешает. Но опыт показывает, что многие её ньюансы вполне нормально усваиваемые. Лучшая книга на мой взгляд - Булос и Джеффри "Вычислимость и логика".
Есть Линдон "Заметки по логике", Успенский "Теорема Геделя о неполноте".
Даже монография Чёрча "Введение в матлогику" не требует ничего, кроме внимания и определённой культуры (там теоремы неполноты не рассматриваются, так как написан первый том, но сами логические построения - пожалуйста). Но царский путь - это всё-таки Булос и Джеффри "Вычислимость и логика".

Когда я был школьником, мне очень хотелось понять, что такое "жизнь", как она устроена. Мечта сбылась - многие вещи, что называется, для меня на переднем крае науки.

Потом, будучи студентом, захотелось пойти дальше, - понять математику, логику, разум. А вот над этим и работаю.
Бывает, что люди интересуются шахматами, изучают дебюты, эндшпильные темы и прочее.
А для меня это - мат.логика. Однако реалии жизни дают возможность заниматься этим хотя и регулярно, но чисто любительски и во многом дилетантски.

Да, изучил два разных доказательств теоремы Геделя (первой), теоремы Тарского о невыразимости понятия истины, многое из теории алгоритмов, теорему Чёрча о неразрешимости логики предикатов первого порядка, теорему Мальцева, теорему Лёвенгейма-Сколема, ординалы, кардиналы и прочие темы, связанные с основаниями математики. Даже придумал обобщённую теорему ферма (на основе ординалов и использования гиперстепенных функций - есть сложение, умножение, степень, далее гиперстепень, далее гиперстепени следующих порядков). А воз и ныне там - тема огромная, до профессиональных математиков всё равно как до Китая. Какого-то особого понимания так и не пришло. Буду работать. Просто ради интереса.

[LUKA]

Цитировать (выделенное)

    Пока вижу четыре кита логики.
    Истинность, доказуемость, вычислимость и выразимость



А почему в таком порядке?
Истина разве не должна быть самой последней? Где-то там?

Рассматривайте это как неупорядочённое множество. Понятие истинности даётся НЕЗАВИСИМО от понятий вычислимость, доказуемость и выразимость.
Все эти понятия даются НЕЗАВИСИМО друг от друга за исключением одной пары - "доказуемость-вычислимость" - здесь связка прочная. Понятие доказуемость можно дать только введя понятие "вычислимость".

Из книги Ю.Манина: "Казалось естественным ожидать, что для любой математической дисциплины, скажем арифметики, удастся также найти полный набор специальных аксиом, или, более общо, дедуктивных средств, с помощью которых все истинные утверждения могли бы быть выведены логически. Повторим, что он должен быть финитно описываем, или порождаем конечным числом явных предписаний. Иначе мы могли бы просто сказать: назовем аксиомами все истинные высказывания арифметики. Но этот рецепт не является финитным описанием: чтобы проверить истинность одного высказывании, мы должны, вообще говоря, проделать бесконечно много действий".

Для формулировок дедуктики нам же требуется финитные методы.

Удивляет, что все эти понятия вырстают как бы из ничего - только из нашей интуиции и эмпирического опыта.

Пока что все невычислимые задачи как бы "свалены  в кучу". А мне интересно, возможен ли случай, когда одна машина может вычислить хоть что-то, что не может Манина Тьюринга?

Мой очень небольшой опыт говорит о том, что невычислимые задачи как раз не свалены в кучу, а взаимосвязаны. Была бы разрешена одна алгоритмическая задача - сразу же решатся множество, казалось бы с ней несвязанных. Решите проблему остановки машины Тьюринга, и вы получите разрешимую логику предикатов первого порядка или проблему усердного бобра (абака и пр.) - вычисление продуктивности самой продуктивной машины в зависимости от числа состояний.

Возможна ли лестница невычислимостей? 

Хороший вопрос. Несмотря даже на то, что ответы могут быть разными.
Умение  задать хороший вопрос - это основа творчества.

Она ничему не противоречит в основаниях математики?

Нет, не противоречит.

[LUKA]

Я давно забросил все попытки понять квантовую механику. Я давно понял, что без изрядного ущерба для здравомыслие сие членовредительство долго продолжаться не может. Давайте оставив КМ в стороне!

Кстати о логике и КМ. Вы знакомы? http://physics.socionic.info/01-2/as1-f201.html
Справедливости ради, сходные мысли я встречал и Ю.Манина задолго до написания этой статьи.

[iiiaaa344]

А воз и ныне там - тема огромная, до профессиональных математиков всё равно как до Китая. Какого-то особого понимания так и не пришло. Буду работать. Просто ради интереса.

А если математики, и вы за ними, в тупик зашли?

[iiiaaa344]

Я давно забросил все попытки понять квантовую механику. Я давно понял, что без изрядного ущерба для здравомыслие сие членовредительство долго продолжаться не может. Давайте оставив КМ в стороне!

Кстати о логике и КМ. Вы знакомы? http://physics.socionic.info/01-2/as1-f201.html
Справедливости ради, сходные мысли я встречал и Ю.Манина задолго до написания этой статьи.

есть и иное понимание квантовой теории

[LUKA]

Вот мой самопальный перевод лекции Хайтина (Чейтина или Чаитина) на которую я натолкнулся когда-то в англоязычной сети и был буквально очарован ей настолько, что набрался наглости ее перевести.

Ну вот я и познакомился с человеком, перевод которого уже читал. 

[alex_semenov]

Готов услышать где я ошибся или где искать все это в более грамотном изложении.

Моих знаний достаточно только для поиска опечаток 

И то дело!
Знаний всем не хватает, на самом деле. Чем больше узнаешь, тем больше не хватает.

Sa стремится к нулю.

Ага. Спасибо. Действительно. Глупая опечатка. Уже исправил.

[alex_semenov]

Только сегодня утром обдумывая что же я ляпнул на публике (такой экзибисционизм обычно стимулирует мозги) я понял что вот этот пассаж несколько не доведен до конца:

Тут, наверное, нелишне упомянуть, что всему этому есть простая наглядная,   физическая интерпретация, которая сводит это "откровение" к тривиальности. Смотрите. Вы бросаете некую идеальную точку на некую поверхность S, внутри которой выделен участок поверхности  Sa. Точка падает в любое место S равновероятно. Тогда  вероятность попасть вашей точкой в Sa



Если Sa стягивается в точку (площадь стремиться к 0) то и вероятность попасть случайно брошенной точкой в конкретно выбранную нами  точку на поверхности S равна 0.



Попасть точкой в точку - это невозможное событие. И возникает этот "парадокс" именно из-за несопоставимости мощности счетной бесконечности с мощностью континуума.
Возможно, это самая яркая демонстрация несопоставимости двух этих мощностей…
Тема для  медитации. Не правда ли?

Попасть точкой в точку - это  то же самое что наше случайное число совпадает с ПЕРВОЙ строчкой таблицы вычислимых чисел. С первым вычислимым числом (или любым ОДНИМ вычислимым числом) Ничего медетативного в этом нет.
Но суть в том, что если мы разместим на плоскости площадью S  и  БЕСКОЕЧНОЕ, но СЧЕТНОЕ множество таких точек (все вычислимые действительные числа) то их суммарная площадь все равно останется равной 0.  Это как раз и подтверждается (если  "глазам не верите") тем  самым пределом. Вероятность попасть случайной точкой в какое-нибудь из бесконечного числа выбранных нами чисел все равно окажется равна 0 (или не попасть =1). Счетная бесконечность тут бессильна что-то изменить.
Вот это как раз и есть наглядная демонстрация несоизмеримости счетной бесконечности и континуума.
Вот теперь можно медитировать!

[PathFinder]

Готов услышать где я ошибся или где искать все это в более грамотном изложении.

По-моему, следуя вашей же логике, можно доказать, что невычислимым является любое число, состоящее из бесконечного количества разрядов.
Даже, например, состоящее из одних единиц: 111111...111111...
Доказательство пока приводить не буду. Надеюсь, что вы сами легко догадаетесь как такое можно доказать.
Поэтому и монетка, генерирующая "настоящую" случайность, в получении невычислимого числа - ни при чём.

[alex_semenov]

Готов услышать где я ошибся или где искать все это в более грамотном изложении.

По-моему, следуя вашей же логике, можно доказать, что невычислимым является любое число, состоящее из бесконечного количества разрядов.
Даже, например, состоящее из одних единиц: 111111...111111...
Доказательство пока приводить не буду. Надеюсь, что вы сами легко догадаетесь как такое можно доказать.
Поэтому и монетка, генерирующая "настоящую" случайность, в получении невычислимого числа - ни при чём.

Нет, не догадаюсь. Давайте открытым текстом. "На идиота". Без шуток.  Какие шутки?

[PathFinder]

Нет, не догадаюсь. Давайте открытым текстом. "На идиота". Без шуток.  Какие шутки?

Сейчас сделаю... Придётся немного подождать...

[alex_semenov]

Разумеется! Никто тут в шею не гонит. Мне действительно КРАЙНЕ интересны все возможне контрдоводы.
Сам я, к сожалению, их найти не могу.

[Paracelsus]

Разумеется! Никто тут в шею не гонит. Мне действительно КРАЙНЕ интересны все возможне контрдоводы.
Сам я, к сожалению, их найти не могу.

Контру придумал Кантор, который установил однозначное соответствие между бесконечным и счетным множеством точек на единичном отрезке (нулевой площади) и бесконечным множеством точек N-мерного пространства (бесконечного объема)

[vika vorobyeva]

[Контру придумал Кантор, который установил однозначное соответствие между бесконечным и счетным множеством точек на единичном отрезке (нулевой площади) и бесконечным множеством точек N-мерного пространства (бесконечного объема)

А Вы ничего не путаете?
Я знаю, как построить соответствие между множеством натуральных чисел и множеством действительных (и то, и другое бесконечно и счетно), но континуум?
Ссылочку можно?

[Paracelsus]

А Вы ничего не путаете?
Я знаю, как построить соответствие между множеством натуральных чисел и множеством действительных (и то, и другое бесконечно и счетно), но континуум?
Ссылочку можно?

На пальцах: отрезок делится в пропорции, отношение сторон которой - координаты точки на плоскости. Далее прогрессией на "Эн". "Засада" была в том, что придумать как "координировать" точки на прямой "Y=X", Кантор придумал

[alex_semenov]

Контру придумал Кантор, который установил однозначное соответствие между бесконечным и счетным множеством точек на единичном отрезке (нулевой площади) и бесконечным множеством точек N-мерного пространства (бесконечного объема)

Контур? ... Гм... Не понял. Но дальше вроде ясно. Множество точек на прямой равномощно множетву точек на плоскости, в объеме и вообще в N-мерном пространстве. Более того. Установлено что на единичном отрезке (скажем от0 до 1) столько же точек сколько и от 0 до бесконечности.
Что тоже удивительно.
Но причем тут это? Я не вижу дальшенйших переходов к моим рассуждениям. Продолжайте свою мысль!

[alex_semenov]

Ссылочку можно?

О! Можно я дам ссылочку?!
Хотя это писалось задолго до того как я с вами познакомился, но... как мне кажется (иллюзии, иллюзи!) я это писал для вас, "Алиса"!
http://alex-semenov.livejournal.com/4657.html

[Paracelsus]

Более того. Установлено что на единичном отрезке (скажем от0 до 1) столько же точек сколько и от 0 до бесконечности.
Что тоже удивительно.
Но причем тут это? Я не вижу дальшенйших переходов к моим рассуждениям. Продолжайте свою мысль!

Совершенно верно, но удивительного тут не больше, чем в "алеф-нуле"
Вероятно я не совсем ясно уловил вашу мысль...

[LUKA]

Я знаю, как построить соответствие между множеством натуральных чисел и множеством действительных (и то, и другое бесконечно и счетно), но континуум?
Ссылочку можно?

Соответствие конечно можно придумать, но не биекцию. Множество действительных чисел несчётно.

[alex_semenov]

Глубину логики можно понять и без серьёзного математического базиса. Он конечно не помешает. Но опыт показывает, что многие её ньюансы вполне нормально усваиваемые. Лучшая книга на мой взгляд - Булос и Джеффри "Вычислимость и логика".
Есть Линдон "Заметки по логике", Успенский "Теорема Геделя о неполноте".
Даже монография Чёрча "Введение в матлогику" не требует ничего, кроме внимания и определённой культуры (там теоремы неполноты не рассматриваются, так как написан первый том, но сами логические построения - пожалуйста). Но царский путь - это всё-таки Булос и Джеффри "Вычислимость и логика".

Еще часто упоминают:  Э. Нагел. Д. Ньюмен. "Теорема Геделя"
Я однажды нашел эту брошюрку (серия "кибернетика" 1970-й) совершенно случайно на раскладе у какой-то бабульки которая, видимо, распродавала библиотеку умершего деда.
Разумеется. Есть диетические (читаемые) книги, есть совершенно непроходимые труды, которые можно читать, зная уже минимум 2/3 всего того, что там сказано.  Но "царская дорога" все равно остается метафорой недостижимого. "По щучьему велению" то есть без особых напрягов, понимать математику НЕЛЬЗЯ.
Мозг сопротивляется (ибо он убог). Цепляется за наработанное обыденным опытом. И нужна постоянная, систематическая тренировка, избиение. Нужно решать, решать, решать. Набивать руку. Доводить до автоматизма. Чтобы на этот автоматизм опираться когда будешь вгрызаться в следующий уровень. Потом выше. Потом выше…
Адская "шахтерская" работа.
"За бабки" такие вещи не делаются. Нужна внутренняя пружина. "Хотелка". Порой крайне идиотская, в своей глубинной, первоначальной основе.
Вот это я и имею ввиду, когда говорю что люди могут опираться в этом мире только на свои иллюзии…
Вот "шахтерскими мускулами"  профессиональные математики и отличаются от профанов (типа меня), которые решили пару задачек и возомнили что поняли все. 
Единственный минус методики подготовки настоящих профессионалов. Все профессионалы неизбежно попадают в русло мышления (набора задач, гипотез) некоторой школы их взрастившей. Она их может "закабалить".  И есть подозрение, что на всю математику существующих школ (русел поиска) просто не хватает.

Когда я был школьником, мне очень хотелось понять, что такое "жизнь", как она устроена. Мечта сбылась - многие вещи, что называется, для меня на переднем крае науки.
Потом, будучи студентом, захотелось пойти дальше, - понять математику, логику, разум. А вот над этим и работаю.
Бывает, что люди интересуются шахматами, изучают дебюты, эндшпильные темы и прочее.  А для меня это - мат.логика. Однако реалии жизни дают возможность заниматься этим хотя и регулярно, но чисто любительски и во многом дилетантски.

Я уверен - вы гораздо сильней меня в матлогике. Я туда залез чересчур поздно. Мозги уже начали костенеть (хотя и изначально они были не бог весть какие шустрые). Хотелки заставить себя наработать "шахтерские мышцы" уже не хватает. Все-таки профессиональные мат. тренеры (университетские зубры от математики) не зря такие злые и жестокие (по колмогоровки жестокие) как тренера балета. Берут с малолетства и превращают в машину… Они свое дело крепко знают. Они понимают, что развить мозги можно ТОЛЬКО пока они молоды пластичны, а хотелка еще так стоит, что от нее можно прикуривать (пардон за пошлую пролетарскую шутку). Сейчас оглядываясь назад я понимают, что сам я по жизни, всегда был брыклив,  вел себя как истинный гуманитарий-писатель. Никуда не спешу и пробую все. Слишком самонадеянно и расточительно.

Да, изучил два разных доказательств теоремы Геделя (первой), теоремы Тарского о невыразимости понятия истины, многое из теории алгоритмов, теорему Чёрча о неразрешимости логики предикатов первого порядка, теорему Мальцева, теорему Лёвенгейма-Сколема, ординалы, кардиналы и прочие темы, связанные с основаниями математики. Даже придумал обобщённую теорему ферма (на основе ординалов и использования гиперстепенных функций - есть сложение, умножение, степень, далее гиперстепень, далее гиперстепени следующих порядков). А воз и ныне там - тема огромная, до профессиональных математиков всё равно как до Китая. Какого-то особого понимания так и не пришло. Буду работать. Просто ради интереса.

Работать всегда и надо  стараться ради интереса. 
Однако.
Можно я поиронизирую? Мне показалось, что вы тут чуть-чуть оправдываетесь. Мол, я в общем то не могу судить компетентно… Вот всего лишь освоил (и дальше по списку…)
Нет?

Я вас "испугал" своей примитивной задачкой?
Не дрейфить!
Я сам боюсь до дрожи в коленках!

Нихрена себе! Школьным пределом "сковырнуть" тезис Черча-Тьюринга…
Я конечно профан. Но не дурак. Я все-таки понимаю, что если бы что-то подобное было уже кем-то сделано, то какие-то отголоски (если не сам результат) мне бы попались в сетевых "скрижалях" типа "Вики". Ведь масштаб события (если оно имело место) оценить легко!
Ну посудите сами!
Вопрос ведь не детский!
Хотя бы в многочисленных справках по тезису Черча-Тьюринга были бы СПЕЦИАЛЬНО уточнения, мол, этот тезис сформулирован для случая программ, которые выполняются за конечное число шагов (изначально так и было же!), но возможности машины Тьюринга шире (но ведь шире же! И дебилу ясно!) и … дальше должна идти масса ссылок на какие-то неизвестные мне термины, теорем, фамилии, целые ПЛАСТЫ теории вычислений (типа алгоритмической сложности Колмогорова-Хайтина.)
Вы думаете как я Хайтина нашел? Я рылся в поисках чего-то похожего!
Вот посмотрите. Везде по ссылкам нам мозолит глаза машина Зенона, вещь более чем гипотетическая! (лет пять назад о ней ни слуху ни духу не было в русскрязычной сети) А по поводу того что тезис Черч-Тьюринга надо воспринимать  как гипотезу  для ограниченного класса программ - нигде ни гу-гу… Ну хоть какй-то намек…
Я конечно дурак и профан… но не настолько же, вроде!
Глубоко не вникаю. Но глубоко и не надо. Это же понятно!
Вот отсутствие даже намеков и пугает.
То есть. Спасительно списать на то, что я до сих пор слишком мало знаю (что все кем-то уже сделано куда лучше и называется по-другому) не получается. Остается только два варианта. Либо тут явная логическая ошибка (и матерый матлогик должен ее сразу видеть), либо я … вляпался… в гении от математики.
Последнее совсем невероятно. И в общем-то не интересно… Значит надо искать ошибку. Сам я найти ее не могу. Нужна помощь санитаров со стороны!
А они сами все норовят воскликнуть: да мне самому надо бы  полечиться!
Ну что за напасть?!