Научный метод и критерии истинности научного знания

[PathFinder]

Александр, в качестве основы для доказательства беру ваши выкладки. Места где я добавляю что-то своё или корректирую ваше выделены подчёркиванием.


Итак...


Докажем, что число, представляющее собой бесконечный ряд двоичных разрядов после запятой, равных 1, является невычислимым на машине Тьюринга:
0.11111111...111111111...

Почему это число невычислимое?
Потому что его нет в той бесконечной вправо и влево таблице всех вычислимых чисел, которую построила универсальная машина Тьюринга.
Это утверждение легко доказывается.

Смотрите.
Для начала возьмем первую строчку из таблицы вычислимых чисел. И побитно сравним ее со строчкой, состоящей из единиц(кроме самого левого разряда): 0.11111...111111...
Какой шанс что первый (после запятой) разряд первой строчки в таблице Тьюринга  совпадает с первым (после запятой) разрядом в нашей строке из единиц? 1/2.
Почему 1/2? Потому, что количество нулей и единиц в любой таблице двоичных чисел равны. В качестве иллюстрации этого приведена следующая таблица.

_____________________
0  000
1  001
2  010
3  011
4  100                 (В таблице из 8-ми двоичных трёхразрядных чисел присутствует 12 нулей и 12 единиц.)
5  101
6  110
7  111
_____________________

Что совпадает и первый и второй? 1/2*1/2. Что совпадают все первые n разрядов?



До конца строчки (на бесконечности) вероятность совпадении выродится в 0:



То есть с первой строчкой наша строка из единиц гарантировано не совпадет.
Это - тривиальный результат.
Однако. Расхождения только с одной строчкой - нам мало.
В таблице всех вычислимых чисел у нас бесконечное число строчек. Там собраны все вычислимые числа. И наша задача  сложней.  Она сводится к тому, чтобы показать, что наша строчка из единиц не совпадает ни с какой строчкой во ВСЕЙ бесконечной таблице.
То есть не совпадает и с первой (1-P1) и со второй (1-P2) и с третьей (1-P3) и …  так до бесконечности.
Ясно, что P1=P2=P3… =P
Отсюда.
Для первых n строчек таблицы (каждая из которых состоит из n разрядов, то есть представляет некое рациональное число) вероятность несовпадения нашей строки:



Ясно, что основание выбранного нами счисления в случае предела не играет никакой существенной роли. Поэтому, в общем случае, для  вычислимых чисел, записанных в некоторой позиционной нотации, с любым основанием z вероятность несовпадения:



Но это - конечная таблица.
Теперь что бы доказать, что наше число из единичных разрядов  нигде не присутствует в нашем бесконечном списке ВСЕХ вычислимых действительных чисел надо перейти и здесь к пределу, при n стремящемся к бесконечности. Если этот предел  стремиться к единице  - утверждение доказано.



Смешно, но он действительно стремиться к единице.
Что и требовалось доказать.

[alex_semenov]

Кстати о логике и КМ. Вы знакомы? http://physics.socionic.info/01-2/as1-f201.html
Справедливости ради, сходные мысли я встречал и Ю.Манина задолго до написания этой статьи.

Нет. Не знаком. Я последнее время, честно говоря, перестал  Интернет рыть по таким ключевым словам  (а зря! Информации появляется все больше и больше).
Сочетание  ключей "квантовая" и "Гедель" основательно замусорен всякими  юродиевыми "последователями" Пенроуза. Все они тыкаются не туда. Все пытаются придумать машину Зенона. А такой машины просто не может быть. Люди не хотят с этим смириться. Хотят все или ничего. Разумеется не получают ничего. Толкут воду в ступе. Жадность - это один из ликов глупости.

Обязательно пройдусь по статье.
И вполне допускаю, что она интересна.
В принципе, любая достойная идея должна витать в воздухе. В том то и дело что для полученного мною выше результата ЕСТЬ ПОЧВА. Масса намеков. Та же алгоритмическая сложность.
Все вроде как сходится к одному и дает массу интересных результатов. Вот эти интересности мы вроде как уже начали собирать. То там то здесь.. Но сердцевина…
Никто пока не нашел самого простого и очевидного логического хода в духе диагональной процедуры Кантора.

О КМ и логике… Давно возникло подозрение что хаос, континуум, неопределенность как-то так хитро связаны… через логику. Неспособность просто и ясно это все связать, понять, "гладко уложить" (как в случае классической механики) как раз для меня и является еще одним косвенным подтверждением того, что мы - цифровые машины. Что мир там, "за бортом" совсем другой. А то что мы можем видеть - это только матмодели его. Всегда ограниченные.
Математика не потому так результативна в приложении к физике что есть какая-то связь, а потому что ничего кроме математики у нас для понимания физики вне нас и нет.
В КМ мы  как раз и дошли до края, где наша дискретная природа начинает явно буксовать, сбоить…
Идея континуум ведь непостижима для нас. Она просто не помещается в нашей голове.
Так и получается, что мы можем просчитать мир но не понять.
И мне кажется в этом суть разума. Это делает его присутствие необходимым. Но это я полез в глубокую философию…

Истина разве не должна быть самой последней? Где-то там?

Рассматривайте это как неупорядочённое множество.

Разумеется. Но перепрыгнуть от множества к кортежу - это была чисто лирическая шутка.

Понятие истинности даётся НЕЗАВИСИМО от понятий вычислимость, доказуемость и выразимость. Все эти понятия даются НЕЗАВИСИМО друг от друга за исключением одной пары - "доказуемость-вычислимость" - здесь связка прочная. Понятие доказуемость можно дать только введя понятие "вычислимость".

Кстати, а что если понятие истинности вообще фикция? Есть доказуемость и все!
Допускаете такой вариант РЕАЛЬНОСТИ?
Хотя бы для математической реальности?
(кстати, вопрос ведь не в бровь, а в самый что ни наесть глаз!)

Для формулировок дедуктики нам же требуется финитные методы.

Проще говоря, мы должны уметь это ЗАПРОГРАММИРОВАТЬ. Построить для этого машину, которая будет это считать механически-бездумно. Пускай идеализированную (с потенциально бесконечной летной) но все же машину. Независимую от нас.

Удивляет, что все эти понятия вырстают как бы из ничего - только из нашей интуиции и эмпирического опыта.

У меня есть догадка почему. Наш мозг на самом деле "несовершенна", вероятностная машина, которая так устроена, что бесконечно стремиться стать детерминированной.
(у меня есть даже попытки такую машину формально описать).
Она так устроена что все время пытается улучшить себя (выстроить идеально-точное мировоззрение). Разумеется, ей это не удается и никогда не удаться (судя по тому что мы уже поняли из оснований математики). Но мы так устроены, что  всегда видит перед собой этот идеал "как живой".



И схема идеально работает, пока вы ее не видите со стороны. Что случилось с математикой и математиками? Они увидели себя со стороны (математика нашла для этого средства) и не захотели поверить, что так оно и есть.
Может быть?

"Истина где-то там…" (теорема Тарского?)
или…
Ее нет вообще?

Цитата для медитации:

****
Является ли Ваша собственная философия математики платонистской или нет, это легко определить с помощью следующего теста. Рассмотрим последовательность
простых чисел-близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

(простые числа принято называть близнецами, если их разность равна 2). Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это предположение не доказано (и не опровергнуто) до сих пор. Верите ли Вы, что несмотря ни на что, гипотеза должна быть "объективно" истинной или ложной? Для обоснования своей веры Вы можете восполь- зоваться следующим рассуждением. Представим себе, что мы продвигаемся вперед вдоль последовательности натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...

и время от времени встречаем пары близнецов:

(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),...

Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней пары близнецов и больше их не встречаем (в этом случае гипотеза оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда гипотеза истинна).
Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они составляют некий специфический мир, который очень похож на мир повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным, либо ложным. Поэтому Вы и не в состоянии представить третью возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы вспомним, следуя П.К.Рашевскому, что система натуральных чисел содержит не только некоторую информацию о действительном мире, но и множество элементов фантазии. Почему Вы полагаете, что этот фантастический мир людям удалось "сфантазировать" так идеально правильно, что на вопрос о количестве близнецов обязательно будет существовать ответ?

http://podnieks.id.lv/gt_rus/gram11.htm

*********
Конец цитаты..

Знакома работа?
Вот оглавление (если  не найдете по первой ссылке)
http://podnieks.id.lv/gt_rus/gram8.htm#oglavlenie

[LUKA]

Alex. Читать тебя более, чем интересно. И я не смогу быстро дать продуманные ответы. Только постепенно. К тому же голова загружена. Во-первых, всё время что-то изучаю. В том числе и мат.логику, и алгебру.
Во-вторых, готовлюсь к лекциям.
В третьих, ещё и на основной работе тоже нужно думать.
В общем, голова забита.

Поэтому извиняюсь за явную фрагментарность ответов.

Мне показалось, что вы тут чуть-чуть оправдываетесь. Мол, я в общем то не могу судить компетентно

Так оно и есть - на форуме явно не хватает профи.

Кстати, а что если понятие истинности вообще фикция? Есть доказуемость и все!
Допускаете такой вариант РЕАЛЬНОСТИ?

Этому понятию можно дать точное определение. Хотя она и "невычислима", но этот параметр справедлив для замкнутых формул (и незамкнутых в некоторых формальных языках).


Выражу кратко своё отношение к возможностям вычислимости. Мои физикалисткий взгляды и здесь просматриваются ослиными ушами.

Вычислимость - это разновидность измерения. Парадоксальный взгляд.
Мы что-то измеряем, и на выходе всегда имеем слово - набор дискретных символов. "Зелёный-красный", "Да-нет", "полседовательность ДНК" и т.д.

В случае всяких рекурсивных функций, абаков и прочих машин Тьюринга это измерение детерминированное.

Однако физики пошли дальше и дополнили наши представления об измерениях весьма существенно.

Появились квантовые вычисления, которые не превысили возможности машины Тьюринга, зато в теории дали возможность мЕньшими ресурсами вычислить больше.

Твои попытки расширить вычислительные возможности - это по сути применить другие формы измерений, которые НА САМОМ ДЕЛЕ давно используются. С помощью метода Монте-Карло координируется движение межпланетных спутников, между прочим.

Придумать новый способ вычислений - это значит придумать новый способ измерений.

[LUKA]

ще часто упоминают:  Э. Нагел. Д. Ньюмен. "Теорема Геделя"

Эта книга мне показалась слишком механической. Прямой пересказ основных идей. Без изюминки, к тому же с пробелами в доказательстве.

[alex_semenov]

Мой очень небольшой опыт говорит о том, что невычислимые задачи как раз не свалены в кучу, а взаимосвязаны. Была бы разрешена одна алгоритмическая задача - сразу же решатся множество, казалось бы с ней несвязанных. Решите проблему остановки машины Тьюринга, и вы получите разрешимую логику предикатов первого порядка или проблему усердного бобра (абака и пр.) - вычисление продуктивности самой продуктивной машины в зависимости от числа состояний.

Да, да. Конечно! Все держится на одной Проблеме Остановки. Пробейся через нее - и вся математика станет такой, какой бы ее хотели видеть математик. Все остальные неразрешимости опять же вытекают из неразрешимости Проблемы Остановки.
Нечто похожее с NP-полными задачами. Все они сводятся друг к другу…
НО.
Тут я имел ввиду задачу про вычисление невычислимого числа.
Как ее понимать, если это не глупая шутка (логическая ошибка)?

Возможна ли лестница невычислимостей? 

Хороший вопрос. Несмотря даже на то, что ответы могут быть разными.
Умение  задать хороший вопрос - это основа творчества.

Да. Еще говорят: чтоб задать правильный вопрос надо знать две трети ответа на него. Приписывают эту мудрость Роберту Шекли.

Она ничему не противоречит в основаниях математики?

Нет, не противоречит.

Вот это меня и пугает…
Это означает, что в моих рассуждениях по поводу превосходства вероятностной машины над детерминированной (на трансфинитных задачах) ошибки может и не быть…
Ужас!

Ну вот я и познакомился с человеком, перевод которого уже читал. 

Да, мир тесен.
Сам постоянно этому удивляюсь.

[alex_semenov]

Спасибо PathFinder.
Насколько я понял, ключевой ход вот тут:

Какой шанс что первый (после запятой) разряд первой строчки в таблице Тьюринга  совпадает с первым (после запятой) разрядом в нашей строке из единиц? 1/2.
Почему 1/2? Потому, что количество нулей и единиц в любой таблице двоичных чисел равны. В качестве иллюстрации этого приведена следующая таблица.

_____________________
0  000
1  001
2  010
3  011
4  100   
5  101
6  110
7  111
_____________________

(В таблице из 8-ми двоичных трёхразрядных чисел присутствует 12 нулей и 12 единиц.)

Очень интересный ход!
И так. Главный упор у вас на то, что во всей таблице всех вычислимых действительных чисел должно быть одинаковое число единиц и 0...
Можно ли это ДЕЙСТВИТЕЛЬНО показать (что их там поровну?)

Ваш пример (логика) с конечной таблицей некорректен дважды.
Во-первых некорректен именно потому что столбец натуральных чисел никакого отношение к списку вычислимых чисел (пускай тоже конечному) не имеет. Как тут можно сделать переход - я даже не знаю…
Но самое главное. Надо доказать легитимность перехода от конечной таблицы к бесконечной…

Вообще говоря, в бесконечной таблице число 1 и 0 действительно получается "поровну". И тех и тех - счетная бесконечность. Но это не значит, что вероятность вытянуть 1 или 0 (взяв там наугад строку и столбец) получается 1/2

Смотрите. У вас есть две последовательности:

10101010101010101011…
10100100010000100000 …

Обе бесконечно-счетны (и обе вычислимы, кстати). Мощность одинакова. Число разрядов в обеих - поровну. Но в нижнем ряду нулей будет явно больше чем единиц.
То есть вопрос о числе 1 и 0 в таблице ВСЕХ ВЫЧИСЛИМЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ далеко не так прост, как вы перемахнули.
Тут нужна более серьезная логика…
И насколько я знаю, над этим вопросом ДАВНО ломают голову лучшие умы планеты…
Смотрите вот тут: http://z-mech.narod.ru/Lib/chaitin2.html
С раздела. "Эмиль Борель - нормированное число."

**********

Однако… Ваше рассуждение мне вот что подсказало.
А насколько оправдано УТВЕРЖДАТЬ в моем случае, что вероятность совпадения случайного разряда с произвольно выбранным разрядом в произвольной строке будет 1/2?
Гм…
Я этот переход делаю интуитивно, как само собой разумеющееся.
Но насколько он допустим?
1/2 - это выпадение 1 или 0. Но вероятность совпадения…
Если она считается сложней (то есть вообще неопределима), тогда все мои дальнейшие логические ходы становятся нелегитимными.
Гм…
 
Плюс вам - однозначно!

[alex_semenov]

 

Alex. Читать тебя более, чем интересно. И я не смогу быстро дать продуманные ответы. Только постепенно. К тому же голова загружена.

Оk! Нет проблем!

Так оно и есть - на форуме явно не хватает профи.

Этот форум не совсем того профиля... Я не стал бы заводиться если бы мы случайно не пересеклись... Ну и кроме того. Даже если бы форум был профильный... Профессионал на таких форумах работой не занимаются. Постебаться над профанами, неофитами… Отдохнуть… Душей…
Это да. В общем в любом случае надо пробивать барьер неинтереса.

Об "истине":

Этому понятию можно дать точное определение. Хотя она и "невычислима", но этот параметр справедлив для замкнутых формул (и незамкнутых в некоторых формальных языках).

У того же Подниекса просматривается идея что математическая истина вообще идея фикс математиков. И только. Я встречал в ЖЖ споры двух явных профессионалов в матлогике (хорошо знакомые в реале оченвидно но один из них был за бугром), которые не на шутку завелись спорить по этому поводу. Один явный платонист (по терминологии Подниекса) другой  … эм… формалист.
Кажется так?
В общем один ВЕРИТ что множество близнецов должно быть либо конечное либо бесконечное число (истина существует!). Другой в этом серьезно сомневался (нет доказательства? нет и истины!).

Твои попытки расширить вычислительные возможности - это по сути применить другие формы измерений, которые НА САМОМ ДЕЛЕ давно используются. С помощью метода Монте-Карло координируется движение межпланетных спутников, между прочим.

Да, я знаю. Посчитать число пи методом Монте-Карло - это известная народная забава тех кто начал изучать бейсик с года этак 198…
Хорошо известно, что можно сократить время некоторых муторных расчета за счет вероятностных алгоритмов, если пожертвовать некоторой достоверностью (или точностью) получаемого результата… То же самое вычисление пи - яркий пример.
Однако, вся та случайность во-первых применяется в финитных задачах (то есть заканчивающиеся за конечное число шагов) и это сразу нам говорит - ничего нового эти алгоритмы вычислить не могут (теорема о эквивалентности машин тут работает идеально).
Во-вторых, там используется ВЕРОЯТНОСТЬ случайных событий (которая тем ближе к ожиданию чем больше случайных попыток), а не НЕПРЕДСКАЗУЕМОСТЬ (чистый хаос).
Вот где действительно используется непредсказуемость (хаос) - это теория игр.
Ну и криптография, разумеется.
Но и там все  расчетные процедуры выполняются за конечное число шагов.

Придумать новый способ вычислений - это значит придумать новый способ измерений.

Гм… Буду думать…

[LUKA]

Во многом есть большая параллель между описанием программы алгоритма и описанием метода измерений.
Первое - частный случай второго.
В этом что-то есть.

Кроме  того важно, что результат измерения - всегда текст. Как и в теории алгоритмов. Почему же вычисления не раздел физики?

[незлой]

в принципе любое формальное определение чегоугодно есть предложение методики измерения этого чегоугодно, в любом другом случае определение не является формальным.

[LUKA]

в принципе любое формальное определение чегоугодно есть предложение методики измерения этого чегоугодно, в любом другом случае определение не является формальным.

Важно то, что для результатов измерений мы находим закономерности. Чисто эмпирически.
Раз - и четное число равно сумме двух простых. Почему-то. Эмпирика. Могу показать и более красивыми примерами, взятыми у Эйлера. А вообще они описаны в книге Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения"

Раз - и шахматист обнаружил, но не доказал, что почему-то при такой раскладке на доске белые обычно выигрывают. Опять же эмпирика.

Иногда эта эмпирика окажется несводимой к старой аксиоматике. И возникают задачи типа "Геркулес и гидра" - теорема Гудстейна недоказуема в арифметике.

Или же возникнет но никак не докажется гипотеза 3N+1

[alex_semenov]

  Если ваш брат не способен на такой простой ход мысли, о чем с вами вообще можно спорить 

Это да. Хоть тапком меня по морде бейте, мне Вас не понять.

СТОкрат, извените если я вас задел. Если я вас и послал нах, то от большого душевного доверия. Плохих людей нех не посылают, как известно…
Поймите меня правильно.
Я прекрасно понимаю что спор физикалиста с стронговым ИИ-шником может длиться бесконечно и вряд ли он будет продуктивным. Во всяком случая я пока не вижу никакой выгоды для себя от такого спора.
Может в другой раз?

[незлой]

Важно то, что для результатов измерений мы находим закономерности. Чисто эмпирически.

конечно. тут важно, что и сама методика измерения -- тоже эмпирически найденная закономерность.

[vika vorobyeva]

Я знаю, как построить соответствие между множеством натуральных чисел и множеством действительных (и то, и другое бесконечно и счетно)

Соответствие конечно можно придумать, но не биекцию. Множество действительных чисел несчётно.

Позор мне!
Спутала действительные числа с рациональными

*ушла в угол и сидит там очень тихо*

[Paracelsus]

Позор мне!
Спутала действительные числа с рациональными

*ушла в угол и сидит там очень тихо*

Не стоит право так расстраиваться по пустякам, вот,  к примеру, Томас Альва Энисон - величайший изобретатель, боролся с переменным током (факт!), считая его вредным. И нечего....слава его от этого не пошатнулась

[Проходящий Кот]

Позор мне!
Спутала действительные числа с рациональными

*ушла в угол и сидит там очень тихо*

Не стоит право так расстраиваться по пустякам, вот,  к примеру, Томас Альва Энисон - величайший изобретатель, боролся с переменным током (факт!), считая его вредным. И нечего....слава его от этого не пошатнулась

Эдисон   --- в угол....

[PathFinder]

Вообще говоря, в бесконечной таблице число 1 и 0 действительно получается "поровну". И тех и тех - счетная бесконечность. Но это не значит, что вероятность вытянуть 1 или 0 (взяв там наугад строку и столбец) получается 1/2

Смотрите. У вас есть две последовательности:

10101010101010101011…
10100100010000100000 …

Обе бесконечно-счетны (и обе вычислимы, кстати). Мощность одинакова. Число разрядов в обеих - поровну. Но в нижнем ряду нулей будет явно больше чем единиц.
То есть вопрос о числе 1 и 0 в таблице ВСЕХ ВЫЧИСЛИМЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ далеко не так прост, как вы перемахнули.

Однако… Ваше рассуждение мне вот что подсказало.
А насколько оправдано УТВЕРЖДАТЬ в моем случае, что вероятность совпадения случайного разряда с произвольно выбранным разрядом в произвольной строке будет 1/2?
Гм…
Я этот переход делаю интуитивно, как само собой разумеющееся.
Но насколько он допустим?
1/2 - это выпадение 1 или 0. Но вероятность совпадения…
Если она считается сложней (то есть вообще неопределима), тогда все мои дальнейшие логические ходы становятся нелегитимными.

Сомневаемся, что 1/2? А сколько? 1/3? 1/4? Даже 0,9.
Даже если вероятность появления цифры в данном разряде будет зависеть от значения этой цифры.
И пусть даже от каких-то дополнительных параметров.
Всё равно это - вероятность. И она находится в интервале [0;1].
Произведение таких чисел стремится к нулю если количество сомножителей стремится к бесконечности. За исключением случая, когда все сомножители равны 1. (А в нашем случае это явно не так).
Следовательно и значение вашего предела в любом случае будет равно 1:


И тогда получается, что любое число с бесконечным числом разрядов будет невычислимым. 
Вне зависимости от того, как получены эти разряды. Случайно или ещё как нибудь.

[СТОкрат]

О логике, измерениях и квантовой механике.
Наша математика - макроскопическая. При уходе в "микромир логики" неопределённость предикатов и кванторов возрастает, они "размываются". Там, в этом микромире есть "квантовая пена" протологических траекторий, которые, интерферируя, редуцируются к основам макроскопической логики. Это ведь не т. Тарского, это другое? Есть ли вообще в математике исследования в таком подходе?

[alex_semenov]

PathFinder, забудьте все, что я вам сказал выше о вашей идее, до которой "я должен был догадаться сам" (интересно, почему? Вы считаете что я такой умный? Гений? Или вы считаете что люди, говорящие умные "с виду" вещи гиганты мысли и любая мысль которая вам кажется простой для них вообще ерунда и ее достаточно намекнуть? Если справедливо последнее - то это  достаточно наивно с вашей стороны!)

О вашем контраргументе.
Давайте начнем все с самого начала.
Вы вчера там столько ерунды нагрузили сходу, что у  меня сразу разбежались глаза.
И я сразу схватился не за то. Не за главную дыру в ваших рассуждениях, а за самую последнюю глупость не лишенную смысла...
Должен признать. Я как тяжелый танк. Я еду медленно но ... еду...
А вы тут как гусар на белом коне, с шашкой. Быстрый как понос. И в общем то бесполезный…
Давайте разбираться МЕДЛЕННО. На пальцах.
Ладно? Другого же выхода нет!
Но для начала -  беглый ответ "на письма радиослушателей"…
Я хочу привести примеры ваших кавалерийских набегов.

Сомневаемся, что 1/2? А сколько? 1/3? 1/4? Даже 0,9.

Еще раз. Конечно, гравный мой контраргумент  не в этом. То что я  это сказал - это была "минута слабости".
Я вам дал ссылку.
http://z-mech.narod.ru/Lib/chaitin2.html.
Найдите ключевые слова: "Эмиль Борель" и  "нормированные числа".
Вы я так понял, ее проигнорировали?
Как я понял, дальше вы это все бросаете и делаете пассаж:

Даже если вероятность появления цифры в данном разряде будет зависеть от значения этой цифры.
И пусть даже от каких-то дополнительных параметров.
Всё равно это - вероятность. И она находится в интервале [0;1].

Находится. Но это не доказывает, что вероятность появления 1/2, на что вы опирались выше. Или я сильно отстал уже?
В любом случае эта посылка не противоречит вашей гипотезе, но и не доказывает ее!
Или вы ее тут уже не доказываете?
Вы опять на коне с шашкой наголо:

Произведение таких чисел стремится к нулю если количество сомножителей стремится к бесконечности. За исключением случая, когда все сомножители равны 1. (А в нашем случае это явно не так).

Тоже известный факт. Спорить глупо. Но причем здесь он?

Следовательно..

Нифига себе!!! Это шутка? Как "следовательно"? Откуда!!! Что за ДЕМАГОГИЯ?

и значение вашего предела в любом случае будет равно 1:

Ничего подобного! Вот тут я вас просто прижучу! Поэтому все сетевые демагоги-философы и не любят формальные выкладки. Там если что ляпнул не то - не срулишь за частокол философского словоблудия!

Даже чисто формально (без всякого "следовательно") перед вами неопределенность вида единица в степени бесконечность. Присмотритесь хорошенько:

И тогда получается, что любое число с бесконечным числом разрядов будет невычислимым. 
Вне зависимости от того, как получены эти разряды. Случайно или ещё как нибудь.

Ничего у вас не получилось вашими наскоками.
Но саму  эту вашу мысль (идею) я уловил. Свести мое рассуждение к абсурду.  Красивая идея.
Но вы это делаете КРАЙНЕ поспешно, совершая массу глупостей. Вы налепили ради этого такое количество ерунды, что я просто  не смог собрать до кучи и понять за что хвататься сначала. Создается впечатление что вы специально городите массу мелких глупостей чтобы запутать меня на мелочах, не дав добраться до главного…
Но это только впечатление!
Поэтому, давайте действительно сотрудничать и не будем ПОКА  лезть в мелочи.
Давайте все выше - забудем как страшный сон.
Давайте по порядку и НА ПАЛЬЦАХ. С самого главного.

***********

Что такое вероятность?
Ломать голову не надо. Есть Вики.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

Вероятность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

Кстати, это не совсем верно. Вики этим постоянно страдает. Но если вы пойдете по ссылке "событие" то попадете на правильный термин (вики исправляется), который там должен стоять: "случайное событие":

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)

То есть, вероятность- мера возможности наступления некоторого случайного события.

На пальцах.

У вас монета. Вы ее собрались подбросить.
Следите?
До того как вы это сделаете (до наступления случайного события) вероятность выпадения "Орел" равна 1/2. Но вот вы бросили монету. Событие НАСТУПИЛО.
Выпала "Решка". Какова вероятность, что у вас на ладони ожидаемый вами "Орел"? По-прежнему 1/2? Нет конечно. Уже никакой вероятности нет. Событие случилось. Всякая неопределенность снялась.
Все пока ясно и доступно?

Теперь возьмем ваш ход в виде примера  "на пальцах".
У вас есть таблица, скажем 4 на 3 (возьмем не квадратную, а прямоугольную таблицу) в которой записаны три каких-то уже определенных вами двоичных числа:

1010
1111
0000

Какова вероятность того, что число взятое вами отдельно ДЕТЕРМИНИРОВАННОЕ число 1111 находится среди этих трех уже детерминированных строчек?
Какие тут могут быть случайные события?
Какая неопределенность?
Все ведь уже случилось.
У вас есть таблица и есть число.
Нет случаных событий - нет вероятностей.
Какова вероятность того, что число 0110 находится среди этих трех строчек?
Будете считать количество единиц и нулей и на основании этого вычислять вероятность нахождения в таблице 111 и 0110?
Вы понимаете изначальную абсурдность вашей логики?
Если у вас регулярный процесс как в построении таблицы так и в построении числа, ни о какой  вероятности тут речи идти не может.
Ни о каком пределе.

Еще раз (Я хочту что бы до всех дошла эта ключевая идея).
Если у вас есть некое ОПРЕДЕЛЕННОЕ число, например то самое:

11111…111

или  даже

111111…111… (бесконечное число "1")

это уже ОПРЕДЕЛЕННОЕ, существующее у вас число. Уже вычисленное вами в стороне число. И таблица вычаленных чисел, в которой вы его ищите (оставим пока в покое бесконечную таблицу, пока возьмем  примитивный пример таблицы выше), то же "уже случившееся событие".
Никакой неопределенности тут нет и быть не может.
Нет случайности - нет никакого повода вычислять вероятность.
Все. Точка.
Давайте совсем упростим ситуацию. Действительно сведем до абсурда. Мы можем рассматривать единичную строку как таблицу из одной строчки. Можем? Можем! Мыслим как математики! Множество из одного элемента- тоже множество. Сущность математики в ее свободе!
Какова вероятность того, что число 1111111 находится в таблице 1010101?
Вы тут что-то можете посчитать?
Еще проще:
Какова вероятность, что число 123 совпадает с числом 123? А какова вероятность, что число 123 не совпадает с числом 123?
Совсем абсурд:
Какова вероятность что 2=2?

То есть, батенька. Вы заблудились в красивой  идее (согласен, у меня самого загорелись бы глаза, будь я на вашем месте и приди такая идея мне в голову). Да, ход мысли восхитительный. Но он не проходит с самого начала. И я вас зря посылал к Эмилю Борелю за нормированными числами. Ну и черт с ними. Вы все равно туда не дошли, как я понял…

Предупреждаю вас и всех остальных!
Именем Витгенштейна!
Не надо тут разводить философские слюни. Мы решаем математическую задачу. И вопреки явно абсурдному убеждению автора темы, философия ни ухом ни рылом не  может  помочь  математике в решении даже философских вопросов математики (философия слишком убого для этого мыслит), не говоря уже  о том что бы как-то ПОВЛИЯТЬ на решение чисто математических задач.
Тем более таких простых!

Я требую признания того, что идея со сведением моей задачи к абсурду не сработала!
Абсурдно считать вероятности там где все детерминировано.
По крайней мене нет ни малейшего смысла лезть в пределы и какие-то там бесконечности до того как мы развяжем этот самый первый и принципиальный узел противоречий.
Согласны?

[PathFinder]

Развёрнуто по всему вашему посту отвечу позже. Надо с мыслями собраться. А пока вот одна частность...

и значение вашего предела в любом случае будет равно 1:

Ничего подобного! Вот тут я вас просто прижучу! Поэтому все сетевые демагоги-философы и не любят формальные выкладки. Там если что ляпнул не то - не срулишь за частокол философского словоблудия!

Даже чисто формально (без всякого "следовательно") перед вами неопределенность вида единица в степени бесконечность. Присмотритесь хорошенько:

Ну и где вы меня прижучили? Вы пытаетесь доказать, что значение P не равно 1? И к чему стремится 1 в степени бесконечность? Не к нулю же и не к числу, меньшему 1.
Между тем, P - это вероятность отсутствия бесконечной случайной (пока, так и быть, говорю - случайной) строки в бесконечной таблице вычислимых чисел. И то, что P=1 играет в пользу вашего же доказательства, вообще-то.

[alex_semenov]

Ну и где вы меня прижучили? Вы пытаетесь доказать, что значение P не равно 1? И к чему стремится 1 в степени бесконечность? Не к нулю же и не к числу, меньшему 1.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

Восьмая строка сверху. Для раскрытия неопределённостей видов...

"Учиться, учиться и учиться!" (с)
"Коммунистом может стать лишь тот..." (с)
 

"Совет дня".
Для того чтобы понять в чем же на самом деле неопределенность, если ссылка на вики не убеждает своим авторитетным видом... Перепишите само выражение вот так:



Разделите внутреннюю и внешнюю степени.
Запишите эту формулу в экселе (сумеете?) так что бы m и n были ссылками на отдельные ячейки. Z можете сразу подставить в формулу какая вам удобней. Допустим z=2. Не принципиально.
Сделали?
А вот теперь смотрите. Вы фиксируете m (скажем 1 ) и пробуете разные n (1,2,3…) увеличивая значение. Что происходит с результатом?
А если наоборот? Вы фиксируете n (на чем вы там остановились?), а увеличивать начинаете m? Что происходит с результатом?
"А теперь обеими руками!"