Кое что о мышлении. Почему математика - эмпирическая наука?

[chiahua]

даже в случае "теоремы пифагора" доказательство будет упираться на постулаты, которые по сути есть обобщение экспериментальных данных (даже пятый). разве нет?

Здесь даже постулаты не нужны.

Но, кто воочию видел бесконечность? Бесконечно большие, но все же конечные числа. На каких аксиомах базируется это понятие?

[LUKA]

В квантовой механике и теориях поля уравнения движения (симметрии)операторов применяют комплексные числа.
Вполне себе физика.

Физика есть в любом формализованном математическом утверждении уже потому, что формализация сводит логический вывод к физическому процессу - манипуляции символами.

[LUKA]

Но, кто воочию видел бесконечность? Бесконечно большие, но все же конечные числа. На каких аксиомах базируется это понятие?

Например, на возможности для ЛЮБОГО фиксированного конечного подмножества элементов "увидеть" ещё один новый элемент.

[Проходящий Кот]

А причем тут физика?

[незлой]

"физика" "диктует" правила манипулирования символами -- они ведь не произвольны. и если отследить откуда они есть-пошли, снова упираемся в физику.

[Проходящий Кот]

А что ограничивает эти правила в абстрактной математике?

[незлой]

А что ограничивает эти правила в абстрактной математике?

"абстрактная математика" растёт из прикладной, не на ровном месте. т.е. методы "абстрактной математики" как минимум derived из сугубо прикладных. больше просто тупо не из чего

[chiahua]

Например, на возможности для ЛЮБОГО фиксированного конечного подмножества элементов "увидеть" ещё один новый элемент.

http://rudocs.exdat.com/docs/index-275356.html

«Теория множеств ошибочна» и абсурдна (PR §174), говорит Витгенштейн, поскольку она заранее предполагает фиктивный символизм бесконечных знаков (PG 469) вместо фактического символизма конечных знаков. Грандиозное объявление теории множеств, которое начинается с «Концепции функции Дирихле» (WVC 102-03), состоит в том что мы можем в принципе представить бесконечное множество путем нумерации, но из-за человеческих или физических ограничений, вместо этого мы опишем его интенционально. Но, говорит Витгенштейн, «не может быть вероятности и реальности в математике», поскольку математика – это действительное исчисление, которое «занимается только со знаками, которыми оно фактически оперирует» (PG 469). Как Витгенштейн заявляет в (PR §159), тот факт, что «мы не можем описать математику, мы можем только работать с ней» и «внутри нее, отменяет любую «теорию множеств»».

Возможно, лучший пример этого феномена – это Дедекинд, который в своем «определении» «бесконечного класса» как «класса, который аналогичен соответственному подклассу себя самого» (PG 464) «пытался описать бесконечный класс» (PG 463). Однако, если мы попытаемся применить это «определение» к конкретному классу с целью установить, является ли он конечным или бесконечным, то эта попытка будет «смехотворной», если мы будем применять к конечному классу, такому как «определенный ряд деревьев», и «бессмысленной», если мы применим к «бесконечному классу», т.к. мы не можем даже пытаться «согласовать его» (PG 464), потому что «соотношение m = 2n [не] соотносит класс всех чисел с одним из его подклассов» (PR §141), это «бесконечный процесс», который «соотносит любое произвольное число с другим». Т.о., хотя мы и можем использовать m = 2n в качестве правила для построения всех натуральных чисел (т.е., нашей области определения) и тем самым сконструировать пары (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), и т.д., но в таких построениях мы не соотносим два бесконечных множества, или экстенции (WVC 103). Если мы попытаемся применить определение Дедекинда в качестве критерия для определения бесконечности данного множества путем установления биективного соответствия между двумя индуктивными правилами построения «бесконечных экстенций», одна из которых есть «экстенциональное подмножество» другой, возможно, мы не сможем узнать ничего из того, чего мы уже не знали, когда применяли этот «критерий» к двум индуктивным правилам. Если Дедекинд или кто-либо еще настаивает на обозначении индуктивного правила «бесконечным множеством», он и мы должны просто отметить категорийное различие между подобным множеством и конечным множеством с детерминированной, конечной мощностью....
....Скорее всего, существуют две причины, по которым Витгенштейн в поздний период заново вводит внешне-математическое приложение как необходимое условие математической языковой игры. Во-первых, основываясь на своем интересе в использовании естественных и формальных языков в различных «формах жизни», он подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности (наука, техника, предсказания). Во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками.

И, главное, вывод замечательный.

В средний и поздний периоды, Витгенштейн верил в то, что он предоставляет философскую ясность для аспектов и частей математики, для математических концепций, и для философских концепций математики. Теряя такую ясность и не стремясь к абсолютной ясности, математики конструируют новые игры, иногда из-за неправильного понимания значения их математических предложений и математических терминов. Образование и в особенности хорошее образование в математике не поощряет ясность, а даже подавляет ее – вопросы, которые заслуживают ответа, или не задаются, или опускаются. Математики будущего, однако, будут куда более восприимчивыми, и это будет (постоянно) упрощать математические обобщения и изобретения, т.к. математики поймут, что новые обобщения и конструкции (например, предложения арифметики трансфинитных мощностей) плохо связаны с прочным ядром математики или приложениями в реальном мире. Философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам»

[LUKA]

Например, на возможности для ЛЮБОГО фиксированного конечного подмножества элементов "увидеть" ещё один новый элемент.

http://rudocs.exdat.com/docs/index-275356.html

«Теория множеств ошибочна» и абсурдна (PR §174), говорит Витгенштейн, поскольку она заранее предполагает фиктивный символизм бесконечных знаков (PG 469) вместо фактического символизма конечных знаков. Грандиозное объявление теории множеств, которое начинается с «Концепции функции Дирихле» (WVC 102-03), состоит в том что мы можем в принципе представить бесконечное множество путем нумерации, но из-за человеческих или физических ограничений, вместо этого мы опишем его интенционально. Но, говорит Витгенштейн, «не может быть вероятности и реальности в математике», поскольку математика – это действительное исчисление, которое «занимается только со знаками, которыми оно фактически оперирует» (PG 469). Как Витгенштейн заявляет в (PR §159), тот факт, что «мы не можем описать математику, мы можем только работать с ней» и «внутри нее, отменяет любую «теорию множеств»».

Возможно, лучший пример этого феномена – это Дедекинд, который в своем «определении» «бесконечного класса» как «класса, который аналогичен соответственному подклассу себя самого» (PG 464) «пытался описать бесконечный класс» (PG 463). Однако, если мы попытаемся применить это «определение» к конкретному классу с целью установить, является ли он конечным или бесконечным, то эта попытка будет «смехотворной», если мы будем применять к конечному классу, такому как «определенный ряд деревьев», и «бессмысленной», если мы применим к «бесконечному классу», т.к. мы не можем даже пытаться «согласовать его» (PG 464), потому что «соотношение m = 2n [не] соотносит класс всех чисел с одним из его подклассов» (PR §141), это «бесконечный процесс», который «соотносит любое произвольное число с другим». Т.о., хотя мы и можем использовать m = 2n в качестве правила для построения всех натуральных чисел (т.е., нашей области определения) и тем самым сконструировать пары (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), и т.д., но в таких построениях мы не соотносим два бесконечных множества, или экстенции (WVC 103). Если мы попытаемся применить определение Дедекинда в качестве критерия для определения бесконечности данного множества путем установления биективного соответствия между двумя индуктивными правилами построения «бесконечных экстенций», одна из которых есть «экстенциональное подмножество» другой, возможно, мы не сможем узнать ничего из того, чего мы уже не знали, когда применяли этот «критерий» к двум индуктивным правилам. Если Дедекинд или кто-либо еще настаивает на обозначении индуктивного правила «бесконечным множеством», он и мы должны просто отметить категорийное различие между подобным множеством и конечным множеством с детерминированной, конечной мощностью....
....Скорее всего, существуют две причины, по которым Витгенштейн в поздний период заново вводит внешне-математическое приложение как необходимое условие математической языковой игры. Во-первых, основываясь на своем интересе в использовании естественных и формальных языков в различных «формах жизни», он подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности (наука, техника, предсказания). Во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками.

И, главное, вывод замечательный.

В средний и поздний периоды, Витгенштейн верил в то, что он предоставляет философскую ясность для аспектов и частей математики, для математических концепций, и для философских концепций математики. Теряя такую ясность и не стремясь к абсолютной ясности, математики конструируют новые игры, иногда из-за неправильного понимания значения их математических предложений и математических терминов. Образование и в особенности хорошее образование в математике не поощряет ясность, а даже подавляет ее – вопросы, которые заслуживают ответа, или не задаются, или опускаются. Математики будущего, однако, будут куда более восприимчивыми, и это будет (постоянно) упрощать математические обобщения и изобретения, т.к. математики поймут, что новые обобщения и конструкции (например, предложения арифметики трансфинитных мощностей) плохо связаны с прочным ядром математики или приложениями в реальном мире. Философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам»

А что Вы лично хотите сказать этой цитатой?

даже в случае "теоремы пифагора" доказательство будет упираться на постулаты, которые по сути есть обобщение экспериментальных данных (даже пятый). разве нет?

Не совсем. Геометрия древних  египтян, вавиловян - это чистая физика. И там, да, опыт.
Греки придумали полуформальную МОДЕЛЬ физического мира. Но сама модель - тоже часть физического мира, даже если она символическая.
Здесь смысл в допущениях постепенно сместился..
Мы можем ДОПУСКАТЬ, к примеру, гипотезу Гольдбаха и ПРОВЕРЯТЬ эмпирически, к чему это приводит.

[chiahua]

А что Вы лично хотите сказать этой цитатой?

А вы прочли? Или просто отписались.
Добавка еще одного элемента к конечному множеству не делает его бесконечным (если вы это имели в виду). Ряд символов, используемых математикой, не соответствуют никакой эмпирике (плюс бесконечность, минус бесконечность). В результате появляются "абсолютная пустота" и "настоящий хаос" в головах некоторых афтаров, типа деда Пихто. 

[LUKA]

Добавка еще одного элемента к конечному множеству не делает его бесконечным (если вы это имели в виду)

Да, я прочёл. Но не понял, что именно Вы хотели сказать. Большая цитата с отсутствием Ваших пояснений. А вот Вы, как мне кажется, меня не прочли.
Я же речь вёл не о добавке еще одного элемента, а о ВОЗМОЖНОСТИ добавить еще один элемент этого (то есть бесконечного) множества к любому конечному его подмножеству.

[Technecy]

Я же речь вёл не о добавке еще одного элемента, а о ВОЗМОЖНОСТИ добавить еще один элемент этого (то есть бесконечного) множества к любому конечному его подмножеству.

Это вполне возможно. А зачем?

[Дед Моррозоу]

Геометрия древних  египтян, вавиловян - это чистая физика.

Ну вы б ещё первобытных людей вспомнили, не обладающих развитой системой абстракций.
А вот когда разум развивается, когда абстракции становятся всё более и более сложными - появляется необходимость в обоснованиях. Тогда-то и появляются аксиомы, постулаты, да неопределимые понятия. И к эмпирике они отношения не имеют. Никто ещё не наблюдал точку, скажем, в природе.

[незлой]

А вот когда разум развивается, когда абстракции становятся всё более и более сложными - появляется необходимость в обоснованиях.

а когда именно в процессе своего усложнения абстракции от обоснований оторвались?
для иллюстрации: в хорошем издании "алисы в стране чудес" на треть страницы абстракций две трети сносок с обоснованиями.

"усложнение абстракций" -- вполне эволюционный процесс, новые сложные абстракции возникают не из "ничто", из развития "менее сложных". которые в свою очередь тоже не в пустоте висят -- и т.д.

[Дед Моррозоу]

а когда именно в процессе своего усложнения абстракции от обоснований оторвались?

Точной границы нет, как нет её и во всех прочих случаях. Точная граница - это та самая абстракция...
Постепенно, короче, абстракции усложняются. И появляется необходимость в постулатах прочем аксиоматическом нематериальном фундаменте.

Все ж понимают, что более-менее прямую черту на земле можно провести палкой-копалкой без всяких аксиом. И это эмпирика, безусловно.
Однако, допереть до того, что прямые линии могут пересекаться - без идеального и без аксиоматики не получится.

[Незван]

Представление об идеальном и есть злостная эмпирика.

[Дед Моррозоу]

Представление об идеальном и есть злостная эмпирика.

Точку, плиз, для начала эмпиризуйте - можете злостно - тогда и поговорим.

[Незван]

Пожалуйста. Точка - это самая маленькая штука, меньше всего остального в мире.

[незлой]

Точку, плиз, для начала эмпиризуйте

банально.
любая эмпирика имеет предел точности, диктуемый инструментом измерения. т.е. на сугубой практике точка -- это фигура, имеющая размеры ниже текущей точности измерений. всё.

[LUKA]

Точной границы нет, как нет её и во всех прочих случаях. Точная граница - это та самая абстракция...

Абстракция - это когда мы видим во всех буквах "а" в тексте только букву а, а не разные узоры закорючек.
Это - когда мы видим зеленый цвет, а не предметы.
Но манипулировать мы можем только с физическими объектами, а не абстрактными.
Зная правила манипуляции, которые мы задаём сами, например, играя в шахматы или вычисляя на компьютере, или же зная, что те или иные явления природы происходят в рамках каких-то правил (что мы иногда называем законами природы или закономерностями), мы можем ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО и только экспериментально получить новые знания об абстракциях.

Тогда-то и появляются аксиомы, постулаты, да неопределимые понятия. И к эмпирике они отношения не имеют.

САМОЕ НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ. Я об этом уже писал в старт-посту, почему.
Аксиомы, правила вывода - это ПРАВИЛА ИГРЫ. А игра - всегда физический процесс. Из него мы получаем новое знание, как и при ЛЮБОМ физическом измерении представляющее собой текст.

точка -- это фигура, имеющая размеры ниже текущей точности измерений. всё.

А в типографской (то есть формальной) теории точка - это объект, удовлетворяющий аксиоматике Гильберта (это такая аксиоматика элементарной геометрии, данной формально на формальном языке предикатов),