Задаю в некотором роде провокационную тему, которую обещал. Думаю, что она имеет отношение к тематике форума, поскольку здесь затрагиваются основы того, как функционирует разум.
Готов её отстаивать, понимая что будут возражения.
Почему математика эмпирическая наука?
РЕЗЮМЕ.
Физика использует точные абстракции. А это и есть содержание математики. Эмпирика подсказывает нам знания не только в канонических физических моделях, но и о мире абстракций. Наше знание об абстракциях напрямую зависит от того, насколько мы убеждены и обосновали те или иные физические законы.Общепризнанное мнение и то, что каждый считает давно решённым, чаще всего заслуживает исследований. (Г.К. Лихтенберг).
"Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума: я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики и зоологи" (Ш. Эрмит)
«Детьми мы научаемся словам и понятиям не потому, что нам их объяснили, а потому, что мы ими начинаем пользоваться». (В. Гейзенберг)
Нередко говорят, что геометрия возникла как физическая теория, но потом она стала математической. На самом деле геометрия возникла одновременно и как математическая теория, и как математическая модель физических явлений, связанных с особенностями пространства.
Что означает "быть эмпирической наукой"? Это означает, что какие-то утверждения в научной модели должны быть основаны на (экспериментальных) фактах.
Любую область науки (и науку в целом) можно разделить на собственно научные модели, основанные на эмпирике, и методологические установки, которые также шлифуются опытом.
Что в математике может эмпирически корректироваться? Если кратко – как знания в рамках конкретных исчислений (например приобретение новых знаний из теории чисел), так и корректировка методологических установок, связанных с построением формальных математических исчислений. Например, наше понимание того, что значит быть формальной теорией, к примеру, напрямую связано с пониманием того, что такое «алгоритм» - без этого понятия мы просто не можем сформулировать достаточно строго формальную теорию - нужен же к примеру алгоритм, распознающий среди формул языка те, что являются аксиомами, или среди текста в алфавите доказательств выявлять - а что именно доказывает. К этим, сейчас, казалось бы очевидным моментам, пришли далеко не сразу.
Открытие того факта, что любое уточнение понятия алгоритма приводит к одному и тому же классу вычислимых функций - то же по сути экспериментально, и конечно же может потенциально быть отвергнутым при условии нахождения нового уточнения.
Здесь позвольте сказать один каламбур: строго логически обоснованным не бывает даже методология строгого логического обоснования.
Представление о неком мнимом отрыве математики из эмпирики основано на том факте, что математические доказательства кажутся "незыблемыми" и для них хотя бы принципиально достаточно мысленного манипулирования с абстракциями и символами.
Внутренняя противоречивость такого представления следует из того, что само даже мысленное манипулирование (а также на бумаге и прочем) - тоже физический процесс.
Почему дедуктика кажется неэмпирической природы?
Да потому что физическая модель явлений, с которыми оперирует классическая логика, кажется нам незыблемой. Мы видим то, что мы называем символами. На самом деле мы видим некие макроскопические дискретные объекты, которые мы так или иначе различаем. Нам кажется сверхочевидным такое различение, но мы к примеру, забываем, что в физических явлениях это происходит далеко не всегда (возможна квантовая неразличимость микрообъектов, например).
И эта физическая модель для нас настолько очевидна, что мы её доверяем очень сильно.
Доверяя ЭТОЙ модели, мы допускаем, например, что для любого формального доказательства можно получить протокол.
Однако ЭТА МОДЕЛЬ ТОЖЕ НЕ УНИВЕРСАЛЬНАЯ. Как будет акцентировано ниже, в квантовом случае мы используем уже другую физическую модель, где невозможно протоколировать доказательства.
Однако долгое время такого рода абстрагирование - идеализация факта незыблемости дедуктики - было вполне обосновано и давало повод считать, что математика - чуть ли не наука, а только её "язык", хотя и забывался при этом простой факт, что это - тоже физический процесс.
Но вспомним, что значит относить систему знаний к науке.
Это значит, что в этой системе знаний с одной стороны факты связываются какими-то моделями (самосогласуются, большое разнообразие потенциальных фактов сводится к возможному минимуму исходных утверждений – эмпирика как бы «архивируется» в виде компактных утверждений-формул), а с другой - с помощью этих моделей предсказываются эти факты. Другими словами признаки системы знаний, дающими основания рассматривать их как науку – это обладать одновременно объяснительными и предсказательными свойствами.
Но ведь математика полностью удовлетворяет только что сформулированным признакам.
Отброшу ПОКА (хотя математические гипотезы могут быть как опровергнуты, так и подтверждены физическим экспериментом) в сторону всякие разные известные в математике гипотезы, которых известно немало (как например, гипотеза Гольдбаха - "Каждое чётное число равно сумме двух простых").
Рассмотрим святая святых математики, придающая её "особый статус" - логический вывод.
Дело в том, что сам логический вывод - это фактически разновидность физического эксперимента.
Нам кажется, что логический вывод незыблем. И это впечатление вполне адекватно, когда вывод по размеру небольшой и не требует больших затрат для проверки. Однако вывод ещё бывает ОЧЕНЬ большим. Таким, что уже никакой человек его не в состоянии проверить. Только компьютер. Но "журчание" компьютера - это просто физический процесс (наши логические умозаключения в голове, впрочем, тоже, но это отпугивает впечатлительных). Мы ставим с ним опыт и ждём, что на выходе.
Есть такая замечательная гипотеза Кеплера (да, да, тот самый, что движение планет изучал и жил ещё до Ньютона). Согласно этой гипотезе шары плотнее всего упакуются в так называемой кубической гранецентрированной решётке.
Однако этот факт был доказан совсем недавно. Кроме нескольких сот страниц текста, доказательство содержит гигабайта три компьютерных кодов. Чтобы проверить это доказательство, пришлось попросить экспертов (настоящих специалистов) познакомиться с ним, что заняло несколько лет. Распечатанный текст проверили, а компьютерные коды оставили "до лучших времён".
Самый известный и нашумевший факт - это компьютерное доказательство того, что географическую карту, разделённую на области, мы всегда можем раскрасить не более, чем 4 цветами, так, чтобы все соприкасающиеся области были разных цветов.
Хотя эту гипотезу сформулировали ещё лет 140 назад, она была "доказана" компьютером только в 1976 году, причём ознакомиться с тем объёмным текстом весьма проблематично человеку.
Мы верим в результат, поскольку получили вполне определённый результат физического процесса - то есть результат эксперимента.
Просто тот факт, что логический вывод - это разновидность физического эксперимента хорошо акцентируется лишь тогда, когда получаешь техническими средствами по-настоящему ОЧЕНЬ большие массивы текстов, являющихся доказательствами каких-то теорем.
Есть популярная статья для школьников на эту тему - HYPERLINK "
http://quantrinas.myff.ru/click.php?http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0007_091.pdf" \t "_blank"
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0007_091.pdf Эта статья заканчивается словами по этому поводу- "Это конечно совсем непохоже на стандартный идеал дедуктивных наук, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках, из которых математика, стало быть, исключена напрасно" Авторы как будто удивляются, хотя факт эмпиричности в данном случае просто акцентирован настолько большим размером доказательства, что мы затрудняемся его проверить, но вынуждены ему поверить, если доверяем компьютеру.
Конечно дедуктивный вывод - ДАЛЕКО НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ способ проведения эксперимента в математике.
Но в случае дедуктики ситуация становится СЛИШКОМ УЖ УДИВИТЕЛЬНОЙ, если мы обратимся к другому физическому процессу - квантовым вычислениям. По сути квантовые вычисления - это просто унитарные преобразования n-ки комплексных чисел (простите за наукообразие). Короче чисел, которые характеризуют некие базовые состояния в квантовой системе.
Фишка в том, что квантовый компьютер, вычисляя доказательство, НЕ МОЖЕТ ДАТЬ ПРОТОКОЛА вывода этого доказательства.
Получается, что в данном случае логический вывод даже непротоколируем. Но этот физический эксперимент позволяет доказывать теоремы. На эту тему. см. статью Дойча с соавторами "Логика и квантовая механика".
Другими словами, мы можем быть уверены в доказуемости теоремы, даже не имея протокола его доказательства. Факт.
Ну и возвращаясь к экспериментальной природе математических гипотез, вспомним, что, как и для любого другого раздела ОСТАЛЬНОЙ физики, мы можем и опровергнуть их экспериментом, и подтвердить. Сформулирую гипотезу Гольдбаха на более привычном языке классической физики (это для фетиша - то есть для тех, которые БОЯТСЯ слова "эксперимент")
"Если мы кучку горошин сможем разделить на две с равным числом, то мы сможем разделить на две, которые в свою очередь не делятся на равные по количеству кучки (больше одного)". Всё. Это гипотеза Гольдбаха. Мы можем проводить физические эксперименты и потенциально опровергнуть эту гипотезу.
Вообще из-за такой пугливости многие ОЧЕНЬ БОЯТЬСЯ писать слово эксперимент, заменяя его другим (по сути тем же по смыслу). Мне видится, что это больше дань традиции. Поэтому то и дело встречаю разные замены этого понятия.
Например, пишут об "апостериорном" характере аксиомы выбора.
Но это - чисто психологическое.
Почему вопрос об эмпирической природе математики может быть интересным?
Говоря же об эмпиричности получения знаний об абстракциях как о факте, мы получаем повод подумать о том, что в принципе может дать имеющееся в наших руках разнообразие физических экспериментов.
И этот предмет обсуждений мне видится нетривиальным. Приведу по крайней мере три ветви, которые на мой взгляд представляют интерес, но подозреваю, что этим далеко не исчерпывается резон понимания математики как эмпирической науки.
1. Рассматривание физического эксперимента как источника знаний об абстракциях позволяет даже корректировать методологию получения таких знаний, как, например, квантовое вычисление, даёт нам результат об абстрактном мире без распечатки доказательства.
Этот факт видится очень нетривиальным в силу того, что сложившиеся традиции дедуктивного вывода требуют обязательного наличия протокола.
2. Факт невозможности достичь результата имеющимися в нашем традиционном аппарате принципа "охвата головой" - как пример распечатки слишком длинных доказательств.
3. Факт эмпиричности математики накладывает на мой взгляд принципиальные ограничения на наши возможности в деле охвата абстрактного мира. Какие? Я не знаю, но предполагаю. Об этом здесь тоже писал.
И приводил аналогию - факт наличия алгоритма распознавания в тексте аксиом и правил вывода привёл к теореме Геделя о неполноте. Думаю, что немало интересных фактов можно РЕАЛЬНО получить, учитывая факт получения абстрактных истин из физического измерения.
Где-то так.
В заключение. Что такое эксперимент?
1) Это физический процесс, чаще всего спланированный (хотя бывают и непреднамеренные, как в астрономии и биологии открытие каких-то явлений, например)
2) На выходе этого процесса всегда есть то, чем мы манипулируем как текстом.
3) Этот процесс воспроизводимый - не обязательно детерминированный, но какие-то результаты можно переработать и представить как воспроизводимые. Воспроизводимость мы характеризуем как вполне определённое свойство текстов, выдаваемых при повторе экспериментальных условий - статистическая, детерминированная и т.п.
4) Возможно написать предписания для проведения эксперимента (некий аналог аксиомы программы в теории алгоритмов)
Если Вы не считаете, что в математике есть эксперимент, а вычисление доказательства на компьютере - это нечто другое, то Вам придётся, чтобы обосновать это мнение пойти одним из двух альтернативных путей:
1) Посчитать, что описанные процессы к математике не относятся
2) Посчитать, что приведённых выше условий НЕ ДОСТАТОЧНО для того, чтобы смоделировать процесс проведения эксперимента.
Другими словами – аргументированное возражение может опираться только на УТОЧНЕНИИ понятия – что должен представлять собой эксперимент. Мои уточнения состоят из четырех пунктов, написанных выше.
Важное замечание. Частым типом возражений является некая обтекаемая «связь с реальностью", однако при этом, как правило, не уточняется – в каком смысле. Я уточнил это вполне конкретно - связь с эмпирикой.
Итак, главный вывод – наши знания о мире абстракций корректируются физическим экспериментом. Наша уверенность в полученном новом знании основана на доверии к физической модели, описывающей эксперимент.
В заключение попробую привести ряд в том числе и витиеватых примеров чисто экспериментального получения знания об абстракций.
Пример 1. Число Пи можно измерить экспериментально с помощью линейки. Можно получить в ответ – так ведь не так точно, как игрой с символами (что тоже, кстати, эксперимент). Да, соглашусь. А потому перехожу ко второму примеру, в котором экспериментальные данные намного точнее дают результат, нежели игра символами.
Пример 2. Спектр излучения молекул вычисляется теоретически с помощью уравнения Шредингера. Для любой молекулы потенциально можно точно составить уравнение. А вот решить мыслимыми методами даже на самых сложных компьютерах можно точно только в исключительных случаях. Тем не менее, ПРЯМЫМ ИЗМЕРЕНИЕМ мы легко получим КУДА БОЛЕЕ ТОЧНОЕ решение уравнения Шредингера, нежели, компьютерным вычислением (что ТОЖЕ физический эксперимент).
Таким образом, точность решения абстрактного уравнения напрямую зависит от характера физического эксперимента. Иногда решение может быть существенно более точным, если используются сложные физические модели, например, математические модели, описывающие квантовые явления.
Пример 3. В XIX веке многие закономерности, связанные с римановой геометрией сам Риман вывел экспериментальным путём, взяв в качестве объектов исследования железные пластины и проведя на них эксперименты, связанные с измерением потока электричества в них.
Пример 4. Эксперименты с мыльными пленками позволили открыть несколько интересных топологических закономерностей. Эти опыты описаны в книге Куранта «Что такое математика»:
«Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно, решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы. Вместо того часто удовлетворяются одним лишь доказательством существования решения при тех или иных условиях и затем исследуют его свойства. Во многих случаях, если доказательство существования оказывается более или менее затруднительным, бывает полезно реализовать математические условия проблемы посредством соответствующих физических приспособлений, рассматривая таким образом математическую проблему как эквивалентную некоторой физическойзадаче. Само физическое явление в таких случаях предоставляет решение математической проблемы…
Речь идет о так называемой проблеме Плато.
Сама по себе проблема гораздо старше по возрасту и относится к эпохе возникновения вариационного исчисления. В простейшей формулировке содержание ее таково: найти поверхность наименьшей площади, ограниченную данным замкнутым пространственным контуром.
В математической постановке проблема Плато приводит к решению «дифференциального уравнения в частных производных» или же системы таких уравнений. Эйлер установил, что всякая «минимальная» поверхность, решающая эту проблему, если только не сводится к плоскости, непременно должна быть во всех своих точках «седлообразной» и что ее средняя кривизна всюду должна равняться нулю. В течение последнего столетия решение было получено во множестве частных случаев, но существование решения в общем случае было доказано лишь недавно Дж. Дугласом и Т. Радо.
Опыты Плато непосредственно дают физические решения для самых разнообразных контуров. Если замкнутый контур, сделанный из проволоки, погрузить в жидкость со слабым поверхностным натяжением и затем вынуть оттуда, то увидим пленку, натянутую на контуре в форме минимальной поверхности с наименьшей площадью. (Предполагается, что можно пренебречь силой тяжести и другими силами, препятствующими стремлению пленки достигнуть устойчивого равновесия; последнее же наступает в том случае, если площадь пленки оказывается наименьшей, так как потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения, при этом условии минимальна.) Вот хороший рецепт для получения такой жидкости: растворите 10 г чистого сухого олеата натрия в 500 г дистиллированной воды и затем смешайте 15 кубических единиц раствора с 11 кубическими единицами глицерина. Пленки, получаемые из указанной смеси на каркасах из латунной проволоки, сравнительно устойчивы. Сами каркасы не должны превышать 5–6 дюймов в диаметре…»
С помощью пленок очень легко «решить» проблему Плато: доста точно придать проволочному каркасу нужную форму…
Пример 5. Многочисленные математические гипотезы – результат обобщения эмпирики (3N+1, гипотеза Гольдбаха, теорема ферма до доказательства, гипотеза равенства NP и NPN и т.д.)
Пример 5. Уверенность в непротиворечивости любых систем аксиом – это тоже эмпирический факт, не более того.
Мы почти уверены, что арифметика непротиворечива. Но мы уверены из-за нашего постоянного экспериментирования с ней. Аналогично мы уверены в непротиворечивости многих систем аксиом теории множеств, правда в разной степени. Например, в непротиворечивости аксиомы Гротендика, уверены далеко не все.
Какие могут возникнуть ощущения, прочитав это?
1. Ведь мир абстракций неизменен, не зависит от нашего сознания, как же мы можем считать эмпирическим то, что неизменно? Ответ. На самом деле возможно и физические законы неизменны. Однако источник знания об этих законах – эмпирика. Знания о мире абстракций не исключение. Да, мир абстракций неизменен, однако это не противоречит тому факту, что источник знания о нем – эмпирика. Как не противоречит эмпирический характер получения знания о физических законах.
2. Но ведь физика – это «связь с реальностью». А математику мы придумали. Как же может быть эмпиричным то, что мы придумали?
Ответ. А что такое связь с реальностью? Вы можете уточнить это понятие? Я же уточняю – мы можем только твёрдо говорить о тех закономерностях, информация обусловлена опытом. «Связь с реальностью» всегда происходит через эмпирику.
3. Как можно вычисление считать физическим экспериментом? Ведь это – «не настоящий» эксперимент.
Ответ. Хорошо, попробуйте разобраться, каковы критерии разграничения «настоящего» эксперимента и ненастоящего. Тогда будет предмет разговора. Пока же те признаки эксперимента, что я сформулировал удовлетворяют в том числе и вычислительным процедурам.
4. Математические знания редко бывают ошибочными – ведь мы сами придумываем абстракции. В математике все предопределено наперёд аксиомами, а при физических опытах не знаешь что выскочить.
Ответ. Это неправда. Даже придумав какую-то абстрактную структуру, мы заранее не можем предсказать потенциальной бесконечности её свойств. Поэтому ошибки, напротив, довольно часты.
В 1880 году Пирс ввёл понятие решётки как множество, где для любых двух его элементов существует супренум и инфинум.
При этом он наивно подозревал, что все решётки дистрибутивны. Эти представления о мире абстрактных решеток были откорректированы - построены недистрибутивные решётки.
Коррекция наших знаний об абстракциях - явление самое обычное. Для такой коррекции компьютер или счеты необязательны - физический эксперимент с объектами, выступающими в роли символов, можно проводить и на бумаге, хотя я абсолютно уверен, что при желании можно найти немало примеров, когда именно работа вычислительного устройства откорректировало наши знания об абстракциях.
В математике всё наперед предпопределено аксиомами - да, это значит, что логический вывод=вычисления - детерминированы - да. Верно. Но при вычисление ТОЖЕ НЕ ЗНАЕШЬ, что получится.
В физических опытах тоже предопределено наперёд законами=аксиомами. Правда возможно различие, правда ИНОГДА, когда результат недетерминирован, а стохастичен. Но ВО МНОГИХ физических экспериментах результат ПОЧТИ детерминирован - вычисления на компьютере, например, или же в движении планет (и это не противоречит наблюдаемому классическому хаосу, к слову). Так что ситуация с вычислениями как раз уклаывается в то, что мы привыкли видеть в качестве физического эксперимента.
Впрочем, здесь я конечно сознательно сузил ВСЕ возможные математические эксперименты до сугубо детериминированных, так как рассматривал логический вывод. Ни для кого не секрет, что стохастические математические эксперименты применяются сплошь и рядом, как то метод папы (Монте) Карлы.
Следующий вопрос задам в связи с тем, что для большинства математиков, платонизм - это производственная необходимость.
5. Физическая манипуляция символов и в башке и в компе может быть ошибочна, но это никак не затрагивает природу абстрактного платонова содержания.
Ответ. А разве кто-то на сие здесь покушался? Говорилось О ДРУГОМ - о том, что наши знания о мире абстракций могут получаться путём эмпирики - в виде разных физических процессов, для которых мы имеем адекватную абстрактную модель, дающих на выходе то, что мы потом интерпретируем как комбинацию символов, в точности так же, как при ЛЮБОМ физическом измерении.
6. Физика всегда открыта для новых аксиом, обычно впервые подсказываемых эмпирическим опытом. В математике же аксиомы – общепринятые очевидности.
Ответ. Не совсем так. Математика ОЧЕНЬ ДАЖЕ открыта для новых аксиом, обычно впервые подскзаваемых своим математическим опытом: аксиома антифундирования, Гротендика и т.п.
И в заключенье, ещё раз.
Три незыблемых высказывания, некие мистеры-очевидность.
1.Если мы получим вполне конкретную комбинацию символов, то мы получим вполне конкретный вывод об абстракциях.
2. Характер получения комбинаций символов может быть очень разным и напрямую зависит от характера физических законов, для которых мы доверяем моделям из описывающих.
3. При любом физическом измерении мы ВСЕГДА получим комбинацию символов.
