Кое что о мышлении. Почему математика - эмпирическая наука?

[Дед Моррозоу]

Пожалуйста. Точка - это самая маленькая штука, меньше всего остального в мире.

точка -- это фигура, имеющая размеры ниже текущей точности измерений.

в типографской (то есть формальной) теории точка - это объект, удовлетворяющий аксиоматике Гильберта

Разброд детектед. 

LUKA! А аксиоматика Гильберта вообще не понимаю каким боком к эмпирике.

[Незван]

Разброд детектед.

[пожимает плечами]Разными путями, но к единой устремимся цели. (Австрийский гимн)
Возражений по существу, я понимаю, нет.

[Дед Моррозоу]

Возражений по существу, я понимаю, нет.

ъ
Да пожалуйста! Что в вашем определении эмпирического? Если эта штука, которая меньше всего в мире, как вы её может пронаблюдать? Как её можно в принципе вообще пронаблюдать, если всё остальное больше?
Типичнейшая абстракция. Предел бесконечного ряда. Бесконечность тоже никому не пронаблюдать. Бесконечность точно также нефизична, как и точка. И нефизична и неэмпирична.

[Незван]

Возражений по существу, я понимаю, нет.

ъ
Да пожалуйста! Что в вашем определении эмпирического? Если эта штука, которая меньше всего в мире, как вы её может пронаблюдать? Как её можно в принципе вообще пронаблюдать, если всё остальное больше?
Типичнейшая абстракция. Предел бесконечного ряда. Бесконечность тоже никому не пронаблюдать. Бесконечность точно также нефизична, как и точка. И нефизична и неэмпирична.

Вы всерьез ожидали, что Вам покажут точку? 
Эмпирика - это не сами наблюдения. Это выводы из наблюдений. Наблюдаем ряд последовательно уменьшающихся предметов, приходим к представлению о существовании еще меньших. В конце - абстракция. В конце, а не - бдыщь - озарило - точка!

[Whale]

Наблюдаем ряд последовательно уменьшающихся предметов, приходим к представлению о существовании еще меньших. В конце - абстракция. В конце, а не - бдыщь - озарило - точка!

А как вывести из эмпирики понятие бесконечного? Парадоксы Зенона - из эмпирики?
Парадокс об Ахиллесе и черепахе основан на бесконечной делимости прямой на бесконечное количество отрезков,
а бесконечное количество отрезков не может быть пройдено за конечное время.

[Проходящий Кот]

Эмпирика ---- это сами наблюдения, а не их интерпретация.
А интерпретация уже основана на каких-то априорных положениях.
А начало этого процесса ---- в глубинах миллионолетий....

[Незван]

а бесконечное количество отрезков не может быть пройдено за конечное время

Это почему?

[Дед Моррозоу]

Эмпирика - это не сами наблюдения. Это выводы из наблюдений.

Любой вывод - это абстракция. Точка. И делается он не из наблюдений, а в лучшем случае из того, что сознание обозначает этой абстракцией под названием "наблюдение".
Я б сказал - что в основе всего лежат ощущения, являющиеся неотъемлемой частью сознания. Далее оно их как-то интерпретирует (создавая простейшие абстракции). А вот ещё далее развиваясь сознание переходит ко всё более и более сложным абстракциям, которые уже из ощущений не вытекают. Это в чистом виде игра разума, освобождающегося от грубой заземлённости ощущений и воспаряющего, так сказать, к высотам.
Конечно, границы тут чёткой нет. Всё равно как нет границы между атмосферой земли и космосом.
Но когда идёт утверждение, что космос (абстракции) корнями своими упирается в атмосферу (ощущения... или ту же эмпирику) мне кажется, что это не совсем верно.

[Whale]

а бесконечное количество отрезков не может быть пройдено за конечное время

Это почему?

Потому что никакая конечная величина не может быть сопоставлена с бесконечностью.
По отношению к бесконечности, все конечные величины равны между собой.

[IGORЬ]

Эмпирика ---- это сами наблюдения, а не их интерпретация.
А интерпретация уже основана на каких-то априорных положениях.
А начало этого процесса ---- в глубинах миллионолетий....

    Далее Кант Кот переходит к исследованию того, как мышление создаёт понятия таких всеобъемлющих предметов, которые выходят за рамки обычного круга вещей, данных нам в опыте. Их он называет чистыми априорными понятиями или трансцендентальными идеями.

    Априоризм Канта Кота тесно связан с его пониманием природы математики. Если математика происходит из опыта, то как могут быть свойственны ее положениям достоверность, всеобщность и  необходимость, которых нет в эмпирическом знании?  Единственные выход из этой трудности - признать математику независимой от опыта, а ее положения доопытными, априорными предпосылками опыта.

[Незван]

Потому что никакая конечная величина не может быть сопоставлена с бесконечностью.

Почему? (я серьезно)

[Незван]

как могут быть свойственны ее положениям достоверность, всеобщность и  необходимость

Всем ли положениям математики свойственны достоверность? всеобщность?  необходимость (кстати, что это?) ?

[Незван]

Конечно, границы тут чёткой нет. Всё равно как нет границы между атмосферой земли и космосом. Но когда идёт утверждение, что космос (абстракции) корнями своими упирается в атмосферу (ощущения... или ту же эмпирику) мне кажется, что это не совсем верно.

Тут нормальная аналогия в смысле отсутствия границы уводит не туда в отношении оснований. Все-таки атмосфера и космос независимы (например, на астероидах нет атмосферы, а на МКС атмосфера не граничит с космосом). Объекты математики строятся как обобщение предыдущего уровня абстракций, т.е. зависят от него.

[Serezha]

У меня вопрос. А самих математиков спросить забыли, чего больше в их роде деятельности, т.е. творчестве: эмпирики, интуиции или эстетического чувства??

Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду содержащегося в нем эстетического элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей математика дается с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в "структуру", обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо "увидеть" эту красоту, а это требует эстетических способностей, которыми не все обладают.

Пуанкаре предлагает очень интересную схему математического творчества. Он связывает его с делением человеческой психики на сознательную и бессознательную части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор, основанный на эстетическом принципе, некий эстетический барьер позволяет лишь небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там как готовая идея решения, причем это сопровождается очень сильным субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остается лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.

всю статью читать здесь - http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/VV_SC1_W.HTM

[Дед Моррозоу]

Объекты математики строятся как обобщение предыдущего уровня абстракций, т.е. зависят от него.

Слово "обобщение" само по себе абстракция. Я уже много раз говорил (по другим, впрочем, поводам) что нельзя сводить всё к старому. Есть новое, которое старым никак не описывается. Нельзя железный топор сводить к железной руде, нельзя сегодняшнее сводить ко вчерашнему, а завтрашнее к сегодняшнему. Нельзя систему сводить к её частям. В системе есть ещё и новое качество, которое в описании частей не содержится. Дом не сводится к кирпичам его слагающим. Он обладает ещё кое-чем своим. Целое не равно сумме его частей.
Это же в самой полной мере относится и к абстракциям. Не всё в них определяется предыдущими абстракциями. Нет тут жёсткого программирования и предопределения. В новых абстракциях, которые вы назвали обобщением старых, всегда есть нечто новое, старым никак не описывающееся. Это самое "новое" рождается в сознании буквально из ничего. Сие можно трактовать и так, что оно (новое в смысле) существует в некоем идеальном платоновом мире (вечно, причём существует... вне времени) и оттуда проникает в сознание. А можно трактовать так, что сознание является источником нового. Его первопричиной, так сказать. В просторечии сие называется "творчество". Имхо обе возможности - одно и то же.

Теперь посмотрим в другую сторону, так сказать. Мы выяснили, что новое возникает всегда. В том числе и в развитии абстракций. А что со старым? Оно ж тоже когда-то возникло впервые в сознании. И оно тоже когда-то было новым. Источником его могло быть опять-таки - либо само сознание, либо платонов идеальный мир. Резонно?
Но что ж тогда было вначале всего - зададим этот извечный вопрос. Что стало  самым первым новым, самой первой абстракцией во вселенной, у которой в основаниях не было ничего предыдущего, то есть, старого. Могло ли таковое случиться вообще и если могло то КАК?
Вот я, чес слово, выход тут вижу только в том, что либо нам нужно признавать, что сознание существует вечно, что равнозначно тому, что оно - вне времени.
Платонов идеальный мир-таки рулит и побеждает.

[IGORЬ]

как могут быть свойственны ее положениям достоверность, всеобщность и  необходимость

Всем ли положениям математики свойственны достоверность? всеобщность?  необходимость (кстати, что это?) ?

   «Необходимость» по Канту см. ниже. В том же источнике можно найти ответы на остальные вопросы. Если что-то будет непонятно, лучше обращайтесь к Проходящему Коту, оказывается, он большой любитель философии Канта.

[chiahua]

Вот я, чес слово, выход тут вижу только в том, что либо нам нужно признавать, что сознание существует вечно, что равнозначно тому, что оно - вне времени.
Платонов идеальный мир-таки рулит и побеждает.

Ну вот шизотеризм уже и в математической теме. Мантра №114.

[Дед Моррозоу]

Ну вот шизотеризм уже и в математической теме. Мантра №114.

А называйте как хотите. Хоть секс-марафоном.
Ибо, как уже было сказано:

Возражений по существу, я понимаю, нет.

[LUKA]

LUKA! А аксиоматика Гильберта вообще не понимаю каким боком к эмпирике.

Вообще-то я уже отвечал. Хорошо. Еще раз. Аксиоматика Гильберта имеет САМОЕ ПРЯМОЕ  отношение к эмпирике ХОТЯ БЫ ТОЛЬКО ПОТОМУ, что результаты логического вывода - это всегда результат ФИЗИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА, не важно совершён он в  виде последовательных записей на бумаге, регистрах классического компьютера или потенциально ЛЮБОГО физического устройства.
Почему - ТОЖЕ объяснял, причём не раз. Попробуйте все же перечитать старт-пост.

Нельзя железный топор сводить к железной руде, нельзя сегодняшнее сводить ко вчерашнему, а завтрашнее к сегодняшнему. Нельзя систему сводить к её частям.

Фактически Вы сами аргументировали почему аксиоматическую систему нельзя свести а аксиоматике. Выводы из неё ЭМПИРИЧНЫ. Строгая детерминированность выводов не противоречит эмпиричности выводов.

Конечно это - не единственная эмпирика. Она дополняется тем, что МНОГИЕ свойства, не смотря на потенциальную выводимость, фактически вывести очень трудно, а может и недостижимо ТРИВИАЛЬНЫМИ методами, скажем,  на бумаге. В этом случае нам приходят на помощью ДРУГИЕ физические устройства, отличные от ручки с бумагой - скажем, компьютер. На нём логически доказано уже несколько теорем, которые человек на бумаге вряд ли докажет.
 Ну и дальше - больше. Я писал, что спектр излучения сложны молекул фактически определяется решением сложных систем дифуравнений в частных производных, которые мы и не можем решить не то, что на бумаге, даже на компьютере достаточно точно. Однако ПРЯМОЕ физическое измерение даёт нам эту информацию. Мы получаем новые знания об абстракциях исходя из физических экспериментов разной природы.
Главное при этом - доверять той абстрактной системе, которая должна описывать физические явления.
В случае с буквами физика в чём-то простая,  хотя и нетривиальная (см. старт-пост). Однако физика символов - это не единственная физика, с помощью которой мы эмпирически получаем знания об абстракциях.

[Незван]

Единственные выход из этой трудности - признать математику независимой от опыта, а ее положения доопытными, априорными предпосылками опыта.

Ага. Берем положение, ограниченное "сферой чистой математики" (ограниченное не каким-то там произволом, а сам автор [Кант] понимает несправедливость для "нечистой" ), потом об этом ограничении мило забываем и говорим от лица всей математики.
Изъян-с.