Кое что о мышлении. Почему математика - эмпирическая наука?

[LUKA]

LUKA! Говорю вам, как на духу - я прочёл ваш старт-пост НЕСКОЛЬКО раз.  И понял его - насколько в состоянии понять. И возражения свои изложил. Потому отсылать к нему каждый раз при ответах на них бессмысленно. Лучше - если можно - переобъяснить свои положения несколько по  другому.
« Последнее редактирование: Сегодня в 13:02:49 от Дед Пихто »

Принимаю Ваши аргументы и готов извиниться. Будем обсуждать конкретно, хоть и повторяясь.

[Дед Моррозоу]

Понятно - что ежели она первая - старых абстракций (в виде какого-то фундамента, скажем) в ей не содержится. Она таким образом на старых не покоится вообще никак.

---
Я вот, честно говоря, не понимаю Ваших восторгов по поводу Платновой лавки.

Родство-то "топора с железной рудой" таки не отрицается. А по поводу "восторгов" -  попытайтесь опровергнуть цепь рассуждений, касаемо возникновения первых абстракций. Или найти в них слабое звено.
Вот LUKA, как я понимаю, хочет объяснить возникновение Нового эмпирикой. Имхо - она никакого отношения к нему не имеет. Имхо оно возникают в сознании "само по себе"... как акт творчества. Понятие точки, скажем, всё-таки не сводимо к эмпирике. Да... мы знаем, что одни предметы могут быть меньше других. Но абстракция в виде предела ряда бесконечно уменьшающихся мысленных объектов - это уже то, что к эмпирике не сводится. Это творчество.

[LUKA]

Вот LUKA, как я понимаю, хочет объяснить возникновение Нового эмпирикой. Имхо - она никакого отношения к нему не имеет. Имхо оно возникают в сознании "само по себе"... как акт творчества. Понятие точки, скажем, всё-таки не сводимо к эмпирике.

В той же степени не сводимо, как не сводимо к эмпирике понятие материальной точки и прочих абстракций в физике. Но совершенно загадочно из Ваших слов - при чем здесь отрицание эмпирики?

[Незван]

Вот LUKA, как я понимаю, хочет объяснить возникновение Нового эмпирикой.

Нет, это моя позиция. LUKA пытается донести идею, что не только физическая теория проверяется опытом, но и математическая, просто опыты в математике имеют свою специфику. И еще, что в процесс построения доказательств также проникла эмпирика из-за сложности решаемых задач.

Кстати, я сам занимался одной такой игрушечной задачей. Быки и коровы - знаете такую игру? Вот мы доказывали, что не существует стратегии гарантированно угадать число за 6 ходов, для некоторых чисел понадобится 7.
Сейчас, наверно, можно решить это полным перебором, а тогда быстродействия не хватало и мы построили классы вторых и третьих ходов, а для четветых и далее шел полный перебор. Так вот, классов третьих ходов получилось порядка 300, и это была нетривиальная задача - доказать, что мы ничего не упустили (лишние классы не так страшно, они просто увеличивали время счета, а вот потерянные могли бы вести к короткой стратегии).

[Незван]

И так рекурсивно идёте. Вплоть до момента Х - момента появления самой первой абстракции. Это же момент зарождения сознания.

Самые первые абстракции возникли у животных. Длинное, ползет и шуршит = змея. Под эту "абстракцию" попадает также поливочный шланг, реакция последует такая же.

Абстракции также развиваются. Нынешние отточенные формулировки когда-то не были таковыми. Где гарантия, что точка с самого начала мыслилась безразмерной? Некоторые люди и сейчас считают нынешнюю абстракцию точки неверной. Вот их "коварный" вопрос: точка не имеет размеров? да. отрезок имеет размер? да. как же можно составить отрезок из точек?
Берем точку - конец отрезка, приставляем к ней еще одну. Насколько отодвинулись от начала? Ни на сколько. Добавляем еще 100500 точек - результат прежний. Нулежды нуль - нуль. Нет, точка должна иметь размер!

[LUKA]

Мы ищем физические закономерности, строя абстрактные модели. Доверяя выводам и закономерностям в этих моделях, мы делаем физические предсказания, которые проверяем.
Но если симметрично, если мы допускаем то, что абстрактная модель физического мира адекватна, то мы можем узнавать новое и в мире абстракций, исходя из того же физического эксперимента.
По большому счёту разные придумки, вроде "ментальный эксперимент" у Арнольда, или "вычислительный эксеримент", применяемый в разделе "Экспериментальная математика" (есть даже журнал экспериментальной математики) - это ВСЕ РАВНО ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.
И это - первый мой тезис.
А результатом любого физического измерения в эксперименте всегда является текст. Вычисление - это тоже физический эксперимент, где тоже результатом является текст.
Доверяя элементарной физике символов, мы можем в математике много чего узнать-установить. Даже в рамках этой физики есть вагон нетрвиальных вещей, как, например, упомянутая в старт-посте проблема 3N+1.
Часто в математике стараюстя придерживаться узкого круга правил "типографской физики" - тогда говорят о логическом выводе.
Это - тоже физика, тоже нетривиальная. Например, в случае болших текстов с логическим выводом мы уже не сможем охватить физической лабораторией в нашей голове, и доверяем другим физическим экспериментам - компьютерам. В случае квантовых компьютеров мы уже даже протокола не увидим - просто будем доверять конечному следствию, как доверяем калькулятору, не проверяя протокол.
Но это - все еще физика символов (тривиальная. классическая и квантовая).

Но даже в школе мы выходим нередко за рамки только физики символов. Особенно это наглядно видно  в геометрии. И уместно вспомнить, что теорема Пифагора была эмпирически открыта в результате физических экспериментов задолго до Пифагора. Древние греки не знали, что они древние. И они не знали, что эти эксперименты "физические".
Но от этого они не перестали быть таковыми.

Можно потенциально задействовать и другие физические теории для открытия в мире абстракций - как это уже происходит фактически при измерении спектра излучения молекул. Здесь экспериментами с типографской физикой не достичь той точности предсказания абстрактной модели квантовых систем, как это происходит при прямом измерении параметров спектра излучения-поглощения молекул.

Надеюсь ясно и тезисно повторил. При всем желании я не услышал пока ни одного внятного возражения. Готов прислушаться.


Правда даже в школьной практике мы часто отрываемся от чистой физики символов.

[Дед Моррозоу]

Вот их "коварный" вопрос

Никакого коварства особого я не вижу. Недаром же точку почитают неопределимым понятием. При всём при том являющейся мысленной абстракцией. Эмпиричного в ней - ну ни шиша. И я про то как раз и говорю.

[LUKA]

Недаром же точку почитают неопределимым понятием.

Точка - определимое понятие. Она определяется через аксиомы.

При всём при том являющейся мысленной абстракцией. Эмпиричного в ней - ну ни шиша.

Хотелось бы чего-то КРОМЕ неких категоричных заявлений - ну аргументов каких-то, например.
Математика - это наука о точных абстракциях. Мы, в частности, формулируем свойства абстрактных объектов по возможности так точно, как это возможно.
Определили точку через аксиомы. А вот разные утверждения относительно этих точных абстракций мы заранее не знаем. Мы их ищем согласно сформулированным правилам вывода - некой типографской физике (шахматы, кстати, тоже - типографская физика). Как и в любом другом разделе физики закономерности в них объективны (даже в шахматной физике).
Вся остальная физика моделируется через типографскую физику. Как Чапаев моделировал бой картошкой.
И выводы в остальной физике можно делать двояко - через типографские модели или путём ДРУГИХ измерений. Если измеряем по другому (например, спектр излучения молекул), то можем узнать НОВОЕ и относительно типографской модели, а, значит, и абстракций.
И мы не знаем заранее многих вещей. Что-то мы обычно и узнаём с помощью физических манипуляций символами (и двигая шахматные фигуры на доске или в голове).
Это - тоже эмпирика, хотя далеко и не вся.

Абстракции - вне физического мира, мы на них не действуем. Мы работаем только с физическими объектами.
И узнаём что-то новое об абстракциях только через информацию, полученную из манипуляций с физическими объектами.

[Дед Моррозоу]

Точка - определимое понятие. Она определяется через аксиомы.

С одной стороны... - приведите пожалуйста это определение "точки через аксиомы"
С другой стороны... даже если и приведёте - аксиомы будут неопределимыми.

Хотелось бы чего-то КРОМЕ неких категоричных заявлений

Хотелось бы! И мне тоже. Хотя их по любому не избежать.

Абстракции - вне физического мира, мы на них не действуем. Мы работаем только с физическими объектами.
И узнаём что-то новое об абстракциях только через информацию, полученную из манипуляций с физическими объектами.

Вот это разве не оно самое??? Не декларация ли, в смысле?
Я так, как вы, совершенно не считаю. Ну не вижу я того, чтоб мы узнавали что-то новое об абстракциях только "через информацию, полученную от манипуляций с физическими объектами". Я вообще не совсем понимаю контекст слова "через" в данном случае.
Давайте ещё раз: вот мы поманипулировали игральной костью. Подбросили её 100 раз. Потом это дело прекратили и предались абстрактным размышлениям. И ввели понятие вероятности. А потом пошли фантазировать ещё дальше и изобрели колокол Гаусса. По вашему это всё через манипуляцию? А по моему - во введённых понятиях, помимо предварительной манипуляции с костью - есть дофига введённого самим сознанием. То есть - творчество. Или то самое "новое", о котором я говорил. Которое - ну никак просто не сводимо к манипуляциям с костью.

[Дед Моррозоу]

Прододжу свою мысль. Которая, впрочем, не отличается чем-то таким...
Есть эмпирические данные. Никто их наличия не отрицает. Но есть и интерпретация этих данных сознанием. Интерпретации могут быть самыми разными. Свобода творчества! О том, что дело обстоит именно таким образом - свидетельствует та же эмпирика. Достаточно глянуть на разброс интерпретаций в квантовой механике.
Отсюда видно, что сознания привносят что-то своё, к опытным данным не сводящееся.
В математике с интерпретациями дело обстоит примерно также. Это тоже самое творчество. Это то самое новое, что привносит в абстракции непосредственно само сознание. Одно сознание - привносит так, другое - этак. Что-то потом волею судеб выживает и проникает в сознания других. Которые в свою очередь интерпретируют полученную информацию как-то по своему, привносят в неё что-то своё, и в результате рождаются новые интерпретации. Абстракции развиваются.
Имхо факт рождения из сознания Нового - налицо.
Ну а далее, исходя из этого факта, нужно двигаться в обратную сторону. Смотреть - как возникали более древние абстракции. И оттуда - к самым первым. Которые возникли впервые в истории. В этой-то ситуации собака и порылась. Её нужно очень внимательно рассматривать.
Имхо - этих "самых первых" абстракций  просто не может быть. Всегда должны быть ещё более ранние (пусть они и совсем примитивные при этом).

[LUKA]

С одной стороны... - приведите пожалуйста это определение "точки через аксиомы"

Легко могу сказать, но долго выписывать эти утверждения на языке логики первого порядка. Они выписаны в книге Д. Гильберта Бернайса "Основания математики. Т.1
Точка - это часто в геометрической аксиоматике исходный терм, равно как и исходный предикат - "лежать между". Но быть исходным термом - это не значит "не определяться".
Кстати множество - ТОЖЕ определяемое понятие. И тоже через аксиомы. Могу выписать. Но нудно и долго.

Есть эмпирические данные. Никто их наличия не отрицает. Но есть и интерпретация этих данных сознанием. Интерпретации могут быть самыми разными.

Воистину так.

Отсюда видно, что сознания привносят что-то своё, к опытным данным не сводящееся.

Кто-то спорит? И в физике, и в математике так.

В математике с интерпретациями дело обстоит примерно также

Воистину так.

Вот это разве не оно самое??? Не декларация ли, в смысле?

Загадочные слова. Не могу комментировать из-за загадочности.

В общем Вы как-то загадочно все вокруг и около говорите о математике и физике ОДНО И ТО ЖЕ. При этом физика, остается эмпиричной, а математика БЕЗ КАКОЙ-ТО аргументации ....непонятно чем.

[Незван]

Расскажите, как не наблюдая ничего случайного выработать абстракцию "случайное"?

[Дед Моррозоу]

Они выписаны в книге Д. Гильберта Бернайса "Основания математики. Т.1

Из вики:

Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала.

Тут мягко сказано...

Кто-то спорит? И в физике, и в математике так.

Значит, мы, несмотря на все усилия, недопонимаем друг друга. Когда вы говорите, что математика - эмпирична, я понимаю так, что вы ВСЮ математику хотите свести к эмпирике.
ОК. Когда я показываю, что не ВСЁ - вы, вроде б, согласны.
Тогда у меня просьба - рассмотреть ещё раз более внимательно вот то самое, что НЕ сводится в математике к эмпирике. Ключевой момент именно там.

[Дед Моррозоу]

Расскажите, как не наблюдая ничего случайного выработать абстракцию "случайное"?

Собсно говоря... нельзя измыслить несуществующего. (с)
У меня к вам встречный вопрос:
А как удаётся выработать абстракцию Господа???

[Дрюн]

А как удаётся выработать абстракцию Господа???

Ну, это то как раз проще всего.
Потому как по образу и подобию, а следовательно это внутри каждого, то есть мнит он себя.

[LUKA]

Из вики:
Цитировать (выделенное)
Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала.
Тут мягко сказано...

Ясно. Я понял, что Вы не в курсе. А я про "термы", "предикаты"....
В общем, Вы привели цитату невпопад. Это нормально.
На всякий случай - аксиоматика Гильберта - это ВЕРШИНА точности в формализации элементарной геометрии (есть множество альтернативных формализаций, столь же точных, Гильберт просто сделал это первым).
Кстати, я дал Вам точную ссылку на аксиоматику Гильберта - кажется даже в первой главе она.

НЕ сводится в математике к эмпирике

Ну так дело за малым - обосновать.

не ВСЁ - вы, вроде б, согласны

А где именно?
Припоминаю только, что соглашался с Вашими обобщениями относительно ОДНОВРЕМЕННО физики и математики. А различения в Ваших сообщениях я не припоминаю.

[Дед Моррозоу]

Не в курсе. Давно уже изучал. И втроропях. Но дело не в этом. Я ж вам говорю - что даже если и дадите определение точки через аксиомы - тогда аксиомы станут неопределимы.  А определяем через Б или Б через А? Ясное же дело, что что-то остаётся неопределимым.

Ну так дело за малым - обосновать.

Так вроде б, именно тем и занимался тут, что обосновывал.

[Незван]

А как удаётся выработать абстракцию Господа???

Чтобы не уходить в оффтоп, отвечу коротко: тоже постепенно. История религий, есть такой предмет 

По теме: конечно, есть ядро математики, несвязанное с эмпирикой непосредственно, и это, я думаю, все понимают.
Но это ядро несамодостаточно, попытки его построить с нуля непротиворечивым образом провалились, что указывает на более заметную роль эмпирики для математики, чем представлялось ранее. Заметную, но не абсолютную - консенсус?

[Whale]

Прямая состоит из бесконечного числа точек, так?
Точка не имеет протяженности - как же точки могут сложиться в бесконечную прямую?
Любой отрезок тоже состоит из бесконечного числа точек между двумя крайними точками.
Никакой отрезок не может быть пройден за конечное время, так как сколь бы точек не было пройдено,
всегда останется бесконечное количество точек, которые надо пройти.

Разве этот абстрактный мир имеет отношение к эмпирике?

[Проходящий Кот]

......
Абстракции - вне физического мира, мы на них не действуем. Мы работаем только с физическими объектами.
И узнаём что-то новое об абстракциях только через информацию, полученную из манипуляций с физическими объектами.

Не понял, вы же были против подобных определений.....