ИИ: какого понимания нам не хватает?

[Прохожий]

На том уровне абстракции, на котором мы рассматриваем Физику и Математику Реальность и Эмперичность одно и тоже.....

Поверьте, Вам всего лишь достаточно ответить на уточняющие вопросы - поверьте, Вас попытаются понять. Тогда Ваши фразы уже не будут восприниматься как нечто неопределённое и  обтекаемое. Но Вы почему-то избегаете отвечать.

Какие вопросы? На те которые были, я ответил...

[Прохожий]

"Просто тот факт, что логический вывод - это разновидность физического эксперимента хорошо акцентируется лишь тогда, когда получаешь техническими средствами по настоящему ОЧЕНЬ большие массивы текстов, являющихся доказательствами каких-то теорем." (Лука)
Ещё раз ---- почему вдруг получение большого логического вывода превращает этот вывод в физический эксперимент. Физические процессы происходят и в человеке, когда он решает подобные задачи --- но какое это отношение имеет к собственно выводу решения той или иной теоремы..

[Patsak]

Иногда представляешь себе, вот одна счетная палочка, вот две, три, четыре… и всегда можно взять еще одну, которой еще не было, и плевать, сколько там атомов во Вселенной, я все равно смогу считать дальше. А иногда оценишь себя трезвым взглядом - не слишком ли я самоуверен ? Иногда пару носков различить не можешь, а тут “все атомы во Вселенной…”, интересно, как же я определю, что палочки не повторяются, без какого-то материального носителя ?
Или взять в уме пару счетных палочек. Если они идентичные, то как я могу их различить ? Если бы они действительно имели одни и те же свойства, для меня это была бы одна и та же счетная палочка. Значит, есть свойство, которым обладает одна, но не обладает другая, но в математике по определению неважно, зеленая единица или красная, а если свойства идентичны, значит это один и тот же объект.
С другой стороны, если палочки абсолютно уникальны, то есть у них нет ни единого общего свойства, то как я могу о них думать вместе, ведь это означает, что я уже нашел или наделил их этим общим свойством.
Значит, нет, ни абсолютно идентичных, ни абсолютно уникальных счетных палочек, ни в сознании, ни в материи. Как нет и состояния абсолютной независимости логического вывода от физико-химических процессов и наоборот, независимости физико-химических процессов от логического вывода.

Иногда не понимаешь чего-то, а выпьешь, пойдут физико-химические процессы и логический вывод появляется. Иногда наоборот, логически заключаешь, что лучше не пить, иначе вывод будет не логичным 

[незлой]

Утверждение о том, что в данной шахматной комбинации можно (или нельзя) поставить мат в два хода - это - абстрактное утверждение, объективно истинное.

не понял, извините. правила шахматной игры -- объективны? они, например, видоизменялись за свою историю, ваше абстрактное утверждение относится только к сегодня? в чём объективность данной истины, кроме общего соглашения считать её истиной? (неявно, соглашаясь с правилами).


касательно "математики как языка" науки -- вы недооцениваете язык, мне кажется, всё вами перечисленное вполне присуще и ему, разве что он менее строг.

в сущности, "язык" -- такой же инструмент для решения повседневных задач, как математика -- инструмент решения задач научных. и то и другое -- инструмент построения паттернов, описывающих наблюдаемую реальность, и одновременно -- кирпичики этих паттернов.

[незлой]

Физические процессы происходят и в человеке, когда он решает подобные задачи --- но какое это отношение имеет к собственно выводу решения той или иной теоремы..

очевидно: другие процессы проявляли бы себя другой логикой.
можно, в принципе, представить себе вселенную, где 2+2=3..5, например. очевидно, что процессы в этой вселенной будут совсем другими, в частности процессы (физические), лежащие в основе мышления, т.е. аборигены тамошней вселенной придут к нужной им математике именно потому, что мир вокруг них -- такой, какой есть, а они -- часть этого мира.

[незлой]

вопрос: а поднимаются ли в математике действительно абстрактные проблемы? т.е. не имеющие никаких прикладной приложений в  науке, и не относящиеся к исследованиям самой структуры математики (вроде проблемы неполноты или определения множеств)?

[ВадимZero]

вопрос: а поднимаются ли в математике действительно абстрактные проблемы? т.е. не имеющие никаких прикладной приложений в  науке, и не относящиеся к исследованиями самой структуры математики (вроде проблемы неполноты или определения множеств)?

Теорема Ферма, например...

[Прохожий]

Физические процессы происходят и в человеке, когда он решает подобные задачи --- но какое это отношение имеет к собственно выводу решения той или иной теоремы..

очевидно: другие процессы проявляли бы себя другой логикой.
можно, в принципе, представить себе вселенную, где 2+2=3..5, например. очевидно, что процессы в этой вселенной будут совсем другими, в частности процессы (физические), лежащие в основе мышления, т.е. аборигены тамошней вселенной придут к нужной им математике именно потому, что мир вокруг них -- такой, какой есть, а они -- часть этого мира.

Но вопрос в другом. В рамках стандартной логики созданная структура математики будет такой же в любой части Мира или где-то будут другие результаты?.
А в математике, где 2+2=3 будет своя догика и свои выводы, опять-таки не зависящие от места, где эти выводы были сделаны.

[незлой]

вопрос: а поднимаются ли в математике действительно абстрактные проблемы? т.е. не имеющие никаких прикладной приложений в  науке, и не относящиеся к исследованиями самой структуры математики (вроде проблемы неполноты или определения множеств)?

Теорема Ферма, например...

большая или малая?
"теория чисел", однако, т.е. то самое "исследование структуры самой математики".

[незлой]

А в математике, где 2+2=3 будет своя догика и свои выводы, опять-таки не зависящие от места, где эти выводы были сделаны.

"от места" будет зависить "2+2=3" (по нашему условию задачи). т.е., чтобы получить подобный результат нужно поменять не "математику", но мир, который эта математика описывает, а она уже "подтянется следом". в противном случае "2+2=3" просто не имеет смысла. что и наблюдаем.

[Patsak]

Пару коротких статей столпов математики на эту тему: 
П.Дж.Коэн "Об основаниях теории множеств"
Брайан Дэвис "Куда движется математика?"

Обзор существующих логик:
А.С. Карпенко "Логика на рубеже тысячелетий." (трудновато, но суть уловить можно).

[Муха_]

Дело в том, что даже довольно простые на вид утверждения часто имеют "как бы непропорционально сложные" доказательства - то есть длинные. Ну например, основная теорема алгебры (каждый многочлен имеет хотя бы одни комплексный корень) доказывается студентам в течение целой пары.
Другими словами, мне кажется слишком искусственным делать привязку некой минимально возможной длины доказательства к каким-то ньюансам.
Главное - сам факт доказательства.

Не силен в математике, но думаю, что там нет перебора большого числа вариантов. Просто уровень абстрактности самого утверждения очень глубок. Отсюда и столь же глубокий уровень абстрактности доказательства.
Природа и разум идет по пути наращивания сложности. Поэтому, естесственно, чем дальше, тем нам придется иметь дело с все более сложными вещами. Но на каждом уровне это будет посильная для нас "иерархическая" сложность а не непосильная для мозга сложность сводящаяся к перебору большого числа вариантов.
Последний тип сложности не имеет потенциала занимать ключиевые позиции в "тропных" обрастях фазового пространства бытия.

Ничего подобного - сотни сложно доказанных теорем находят широчайшее применение. Кстати гипотеза Пуанкаре тому хороший пример.

Вот очень в этом сомневаюсь. Т.е. математики могут заявлять, что для них это доказательство просто таки на вес золота, но не думаю, его наличие или отсутствие мешало каким-то прикладным исследованиям.
Или другой вариант - доказательство действительно ценно, но тогда в будущем будет найден более простой способ доказательства.

А до этого эти самые "приёмы мышления" вдруг оказываются вне физического мира? Слабо верится. 

Ну, это тонкий момент. По крайней мере, я построил для себя картину в которой разложил разницу между математикой и физикой и попытался ее разъяснить в прошлом сообщении.

И физические и математические истины не просто выявлены нами в окружающем мире. Суть в том, что эти истины в каком-то смысле ответственны за порождение этого мира. Т.е. мы как раз живем в том месте "фазового пространства" бытия в котором они сплелись и реализовались благодаря тому, что они могли это сделать по своей структуре. В этом смысле законы ньютона не отличаются от основной теоремы алгебры.

Но способ существования физических и математических истин различен. Принципы физики, грубо говоря, были бы выделенными среди других возможных принципов и в необитаемой вселенной. Потому, что они позволяют существовать вселенной, в которой что-то происходит.
Принципы математики вырисовываются на следующем этапе: когда появляются обитатели вселенной и их потребности. Нет нас и наших мотиваций - нет повода для выделения конкретных математических истин из числа вообще всех возможных, т.е. нет и математики. Здесь следует оговориться, что наши потребности тоже являются неотъемлемой частью физического мира как и мы сами, поэтому принципиальной границы здесь нет. Но все-же, ИМХО, четкое понимание утилитарной природы математических истин очень важно. При отсутствии этого понимания можно века потратить на поиск абсолютных истин, на которых зиждется мироздание, не сообразив, что эти истины не могут быть абсолютными т.к. они суть наши же следы, по которым мы ходим сами за сообой . Где-то так...

[LUKA]

Не силен в математике, но думаю, что там нет перебора большого числа вариантов.

Минимальная длина доказательств - вполне точное и чётко формализуемое понятие. Дело не в переборе большого числа вариантов, а в последовательности утверждений, в котором каждое следующее или является аксиомой, или получается из предыдущих по какому-то сформулированному правилу вывода.
То есть доказательство (а это фактически разновидность вычислений - в алгоритмическом понимании этого термина) в некотором смысле - это протокол рассуждений. Этот протокол имеет вполне определённую длину. Из множества доказательств одного и того же вида существует подмножество, содержащее протоколы минимальной длины.
 

Но на каждом уровне это будет посильная для нас "иерархическая" сложность а не непосильная для мозга сложность сводящаяся к перебору большого числа вариантов.

Это - иллюзия. Всегда найдутся утверждения имеющие сколь угодно большие минимально возможные доказательства. Это просто твёрдо установленный факт (изложенный например в двухтомнике Колмогорова по матлогике). Поэтому могу обоснованно утверждать, что Ваши вполне внятные предположения не верны, что нисколько не умаляет Вашей креативности мышления.

я построил для себя картину в которой разложил разницу между математикой и физикой

Разве кто-то сомневается  в различиях между математикой и физикой? Не стОит подменять тезиса. Речь идет об эмпирической проверке математических истин - причём не просто о многочисленных частных явных примерах типа экспериментов Римана с металлическими листами или эмпирического открытия древними людьми законов геометрии, а о принципиальной важности и нетривиальности эмпирики в математики.
Это не означает, что между математикой и физикой нет различия. Повторю ключевой тезис, хотя он внятно изложен в большом посту - мы можем путём физического эксперимента получать знания о мире абстракций, при условии доверия к абстрактной модели, описывающей физические явления.

Суть в том, что эти истины в каком-то смысле ответственны за порождение этого мира.

Фраза слишком обтекаемая, чтобы что-то означать.

[LUKA]

Пару коротких статей столпов математики на эту тему:
П.Дж.Коэн "Об основаниях теории множеств"
Брайан Дэвис "Куда движется математика?"

Обзор существующих логик:
А.С. Карпенко "Логика на рубеже тысячелетий." (трудновато, но суть уловить можно).

А может Вы своими словами изложите то значимое, что Вам понравилось?

большая или малая?
"теория чисел", однако, т.е. то самое "исследование структуры самой математики".

Увидев это в корне неверное утверждение о непрактичности теории чисел, сразу же захотелось процитировать из Сизого "Лекции по теории чисел" (написанную, кстати, необычайно живым языком)
"Более того, некоторые теоретики-числовики даже гордятся такой точкой зрения, считая себя богемными представителями "чистого искусства", которое неприменимо, например, для создания атомной бомбы или чего-нибудь еще в этом роде. Они задирают нос, освобождают себя от моральных страданий Оппенгеймера и Эйнштейна, они творят красоту и только красоту, выше которой идет мудрость уже божественная, океан слепящего, непостижимого света.

Бедолаги. Их богемность разбивается уже фразой Пифагора "Все есть число!" и изучая числа, они неизбежно изучают окружающий нас мир, и себя в том числе (каламбур). Но кроме этого философского замечания о практической применимости "чистой" теории чисел, которое вряд ли будет понятно тупому дяденьке, дыхнувшему на вас перегаром в трамвае, я расскажу вам одну правдивую историю. Эта история убедит любого эстета от математики в том, что теория чисел не просто красивейшая и стройнейшая область чистой науки, но и серьезная народохозяйственная структура. Правда, не уверен, что она убедит дяденьку из трамвая, но такого дяденьку вообще уже вряд ли что убедит, ибо он убежден сам по себе, причем с утра. В дальнейшем договоримся обозначать убежденные с утра и им подобные объекты латинской буквой х и исключать их из области объектов, на которых рассчитано наше повествование.

В начале семидесятых годов нашего двадцатого века американское космическое агентство NASA, получив от Конгресса США несколько миллиардов долларов, решило осуществить запуск исследовательского спутника на Юпитер. Спутник склепали, напичкали дорогостоящей аппаратурой, назвали "Пионер" (лектору в этом месте рекомендуется характерный жест правой рукой наискосок об лоб), и запустили вверх. Для успешного управления дальнейшим полетом увороченного агрегата, ежику понятно, необходимо было постоянно перерасчитывать его траекторию, корректируя ее от случайных возмущений и целя в Юпитер, который, между прочим, хоть и большой, но летает от нас на расстоянии более 100 миллионов километров, поэтому попасть в него ужасно трудно.

Знатоки знают, что для расчета подобных траекторий нужно решать систему дифференциальных уравнений, которую не то что решать, а даже и писать-то не хочется, настолько она сложна и огромна. Но Пионер-то уже летит, как фанера над Парижем, а Конгресс внимательно следит за расходом средств налогоплательщиков, поэтому специалисты NASA вынуждены считать эти чертовы многомерные интегралы, причем в режиме реального времени. "В режиме реального времени" – это означает, что интеграл надо успеть посчитать до того, как спутник улетит вместо Юпитера в деревню Пропадайлово.

Знатоки опять знают, что единственный известный сегодня быстрый способ вычисления таких интегралов с использованием ЭВМ — это метод Монте-Карло (а это такой город, в отличие от Бойля-Мариотта). Далее буду краток. Монте-Карлу нужно многократное случайное бросание точки в многомерную область. Электронная машина не умеет генерировать случайные числа, так как она работает по программе, написанной заранее на языке FORTRAN (помните, был такой). FORTRAN разработали специально для запуска пионеров и вставили в него датчик (от слова "давать") случайных чисел RND(n), который, работая по некоторой наспех созданной схеме, выдавал последовательность "квазислучайных" чисел из отрезка [0; 1], равномерно на нем распределенную. Все было здорово.

Беда началась тогда, когда эти "квазислучайные" числа начали объединять в пары, тройки, и т. д., чтобы получить координаты "случайной" точки многомерной области. RND(n) оказался составленным настолько неудачно, что 60% "случайных" точек из единичного квадрата на плоскости (всего-то двухмерная область !) попадали в его нижнюю половину (а это даже в боксе — неэтично)! Монте-Карло не сработал, спутник промазал мимо Юпитера всего на каких-то 20 миллионов километров, и несколько миллиардов долларов вылетели в трубу.

Мораль: когда теоретик-числовик из заоблачных высот на несколько минут спускается на землю для сообщения процедуры получения случайных чисел с помощью эффектной цепочки делений и взятия остатков, убейте его сразу — дешевле будет. Народохозяйственное применение теории чисел здесь очевидно: она должна выдать такую процедуру получения случайных чисел, чтобы мы могли спокойно и спутники запускать, и землю пахать, и напильники коллекционировать. Вывод: изучайте теорию чисел, восторгайтесь ее красотами, любуйтесь ею, как произведением искусства, но помните, что вопреки эпиграфу к этому введению из "Портрета Дориана Грея", всякое искусство где-нибудь и когда-нибудь приносит пользу".

[LUKA]

не понял, извините. правила шахматной игры -- объективны?

Я разве писал про правила? По моему я ВПОЛНЕ ЧЁТКО написал - тот факт, что в той или иной комбинации можно (или нельзя) дать мат в два хода - это объективная истина. Мне кажется Вы немного ушли в сторону. Давайте читать внимательнее.

Физические процессы происходят и в человеке, когда он решает подобные задачи --- но какое это отношение имеет к собственно выводу решения той или иной теоремы..

Перечитайте большой пост пожалуйста - там дан внятный ответ на Ваш вопрос.

[LUKA]

Какие вопросы? На те которые были, я ответил...

Наверно стоит просто читать повнимательнее, иначе можно потерять нить дискуссии. Придётся напомнить.
Вы явно невнимательно прочитали большой пост и проигнорировали мою просьбу:

Важное замечание. Мантры про "связь с реальностью" считаю бессодержательными, если нет уточнения - в каком смысле. Я уточнил это вполне конкретно - связь с эмпирикой.

Поэтому вполне логично, что когда Вы завели СЛИШКОМ ОБТЕКАЕМЫЙ разговор о "реальности", я тут же попросил уточнить то, что Вы подразумеваете, чтобы можно было ХОТЬ ЧТО-ТО обсуждать:

Число Пи, из чего измерено? Это абстракция вычесленная из другой абстракции или это нечто реальное что измеряли?

А что такое "нечно реальное"? В каком смысле? Длина нитки реальна? Ну тогда и отношение длины нити, огибающей бутылку к ее диаметру тоже.
Ещё раз повторю - абстрактные математические истины могут получаться в результате физического эксперимента.
Можно долго танцевать вокруг того, что "процессы в голове" нефизические, но никуда не денешь этого факта - самые физические измерения могут заменять (и иногда даже лучше) другой вид физического процесса - вычисление на компьютере. бумаге, в голове.

Настоятельно прошу внимательно отнестись к следующим словам:
Можно, конечно начать пытаться уточнять, а что именно Вы имели в виду столь  многозначительной фразой. Но я не хотел бы делать ЗА ВАС,  работу по уточнению того, что Вы ПОДРАЗУМЕВАЕТЕ.
Будь утверждение БОЛЕЕ ОДНОЗНАЧНЫМ, возможно я тут же с Вами и согласился (или же нет).
Если кто-то настойчиво использует именно многозначительные утверждения и не реагирует на просьбу уточнить, то у других появляется моральное право не реагировать на такого рода утверждения.

[alex_semenov]

У математики есть незыблемое ядро.

Сильное утверждение - только непонятно, что оно обозначает.

Гм… Мне пришлось поблудить прежде чем найти первоисточник этого, как мне кажется очень стойкого взгляда на природу теории чисел. И вот он:
http://z-mech.narod.ru/Lib/GEB_04B.html
Конкретней, раздел "Является ли теория чисел одной и той же во всех мыслимых мирах?"
Совсем конкретно, цитата:

В настоящий момент, кажется, достигнуто согласие современных математиков и философов, что имеется такая теория чисел, которую наряду с логикой нужно бы включить в то, что мы подразумеваем под "мыслимыми мирами". Это ядро теории чисел, аналогия абсолютной геометрии, называется арифметикой Пеано (Peano) и мы формализуем ее в главе VIII. Так же (это теперь хорошо установлено как следствие теоремы Геделя) теория чисел действительно является бифуркационной теорией со стандартными и нестандартными версиями. Но в отличии от ситуации в геометрии, число "типов" теорий чисел бесконечно, что делает ситуации значительно сложнее.
Для практического использования все теории чисел - одинаковые. Другими словами, если бы строительство моста зависело от теории чисел (что в некотором смысле так и есть), то факт, что имеются различные теории чисел, не имел бы значения, так как аспекты относящиеся к реальному миру во всех теориях чисел совпадают друг с другом.

Лучше конечно прочесть всю главу чтобы понять о чем речь.
Разумеется. Хофштадтер не бог весть какой авторитет в математике. Более того. Я только сейчас обратил внимание на этот осторожный пассаж " в настоящий момент, кажется, достигнуто". То есть никто ничего не доказал. "Достигнуто соглашение". Да еще и "кажется".

Кстати. Это мой личный перевод оригинальной главы из книги. Это, насколько я помню, та "последняя" глава до которой я дошел в своем рвении иметь русский перевод книги прежде, чем узнал что официальный перевод книги уже издан. Интересно как это переведено у Эскиной (официального переводчика ГЭБ)?
В любом случае я тут озвучил хофштадтеровский взгляд на теорию чисел. Кстати, книга Хофштатера не просто о теореме Геделя (музыке Баха и  графике Эшера) но именно о природе разума. Хотя местами она может показаться мутной, местами она удивительно хороша. Там где она касается теоремы Геделя, мне кажется, это самый "царский" путь к ней. Здесь Хофштадтер безупречен. Когда же дело касается ИНТЕРПРЕТАЦИИ результатов теоремы Геделя, то тут, честно скажу, авторитетов НЕТ. Именно здесь всплывает тот очевидный математикам факт, что математики по-разному видят природу математики. Факт для всех остальных непосвященных крамольный.


Понятие "ядра" у Хофштадтера возникает по аналоги с четырьмя первыми аксиомами Евклида в геометрии. Но вряд ли стоит это все здесь разжевывать. Достаточно прочесть главу от начала до конца.

[LUKA]

Привет, Алекс. Рад твоему появлению. Обязательно прочту ссылку.

[незлой]

не понял, извините. правила шахматной игры -- объективны?

Я разве писал про правила? По моему я ВПОЛНЕ ЧЁТКО написал - тот факт, что в той или иной комбинации можно (или нельзя) дать мат в два хода - это объективная истина. Мне кажется Вы немного ушли в сторону. Давайте читать внимательнее.

давайте, просто пытаюсь понять, что вы подразумеваете под "объективностью".

мат в два хода -- очевидное следствие правил шахматной игры. поменяйте правила -- и утверждение придётся доказывать снова. т.е. оно повторяемо только на данном сете правил.
правила-же -- это соглашение между большинством, и только, разве они объективны?
инопланетянин не поймет вашией правоты, пока вы не объясните ему конкретные правила. например.

[Прохожий]

....
 Увидев это в корне неверное утверждение о непрактичности теории чисел, сразу же захотелось процитировать из Сизого "Лекции по теории чисел" (написанную, кстати, необычайно живым языком)
"Более того, некоторые теоретики-числовики даже гордятся такой точкой зрения, считая себя богемными представителями "чистого искусства", которое неприменимо, например, для создания атомной бомбы или чего-нибудь еще в этом роде. Они задирают нос, освобождают себя от моральных страданий Оппенгеймера и Эйнштейна, они творят красоту и только красоту, выше которой идет мудрость уже божественная, океан слепящего, непостижимого света.

Бедолаги. Их богемность разбивается уже фразой Пифагора "Все есть число!" и изучая числа, они неизбежно изучают окружающий нас мир, и себя в том числе (каламбур).
...

Мораль: когда теоретик-числовик из заоблачных высот на несколько минут спускается на землю для сообщения процедуры получения случайных чисел с помощью эффектной цепочки делений и взятия остатков, убейте его сразу — дешевле будет. Народохозяйственное применение теории чисел здесь очевидно: она должна выдать такую процедуру получения случайных чисел, чтобы мы могли спокойно и спутники запускать, и землю пахать, и напильники коллекционировать. Вывод: изучайте теорию чисел, восторгайтесь ее красотами, любуйтесь ею, как произведением искусства, но помните, что вопреки эпиграфу к этому введению из "Портрета Дориана Грея", всякое искусство где-нибудь и когда-нибудь приносит пользу".

Так Сизой пишет, что теория чисел --- это произведение искусства, которое может быть применено в народном хозяйстве. Спасибо за лишний аргумент в пользу того, что МАТЕМАТИКА НЕ ЭКСПЕРИМЕТАЛЬНАЯ, а ЛОГИЧЕСКАЯ НАУКА...