Освоение астероидов

[AlexAV]

AlexAV, пока я не разобрался с вашим рассчётом ХС, попрошу вас прикинуть "по накатанному", что там у вас получится, для следующей тройки астероидов:
1999 UV29
2000 SD68
2004 TG200
отобранных по критерию близких орбитальных параметров: 0.04<e<0.05, 2.4<i<2.5, 2.88<a<2.89

41019 (1999 UV29) - 62226 (2000 SD68) 287 м/с
41019 (1999 UV29) - 226912 (2004 TG200) 709 м/с
62226 (2000 SD68) - 226912 (2004 TG200) 349 м/с

AlexAV, насколько я понял, вы считали ХС также - ?

Не совсем. Изменение наклонения - также. А вот переходную орбиту после этого считать просто по гомону при маленьких ХС нельзя, надо учитывать разность долготы  перигелиев и эксцентриситеты орбит. Делалось это численно, т.е. искалась эллиптическая траектория, образующая касательные к обоим орбитам одновременно (при нулевой разнице долготы перигелия это даёт гомоновскую траекторию, которую правда тоже надо считать не по формуле для круговых орбит, а с учётом эксцентриситетов).

[AlexAV]

Вот ещё вариант, если вас не затруднит:
http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb_query.cgi?obj_group=all;obj_kind=all;obj_numbered=all;ast_orbit_class=IMB;ast_orbit_class=MBA;ast_orbit_class=OMB;ast_orbit_class=AST;OBJ_field=0;ORB_field=0;combine_mode=AND;c1_group=ORB;c1_item=Bl;c1_op=%3E%3D;c1_value=0;c2_group=ORB;c2_item=Bn;c2_op=%3E;c2_value=2.9;c3_group=ORB;c3_item=Bn;c3_op=%3C;c3_value=3;c4_group=ORB;c4_item=Bj;c4_op=%3E;c4_value=4;c5_group=ORB;c5_item=Bj;c5_op=%3C;c5_value=5;c6_group=ORB;c6_item=Bk;c6_op=%3C;c6_value=50;c7_group=ORB;c7_item=Bk;c7_op=%3E;c7_value=45;c8_group=ORB;c8_item=Bl;c8_op=%3C;c8_value=5;table_format=HTML;max_rows=500;format_option=comp;c_fields=AcApAiBhBgBjBiBnBsBkBlBp;c_sort=ApD;.cgifields=format_option;.cgifields=obj_kind;.cgifields=obj_group;.cgifields=obj_numbered;.cgifields=combine_mode;.cgifields=ast_orbit_class;.cgifields=table_format;.cgifields=com_orbit_class
- пара объектов для случая когда аргумент перигелия и долгота восходящего узла также очень близки

Эта пара - 705 м/с

[AlexAV]

1999 UV29 + 2004 TG200 = 0.97 м/с (семейство "Корониды").

У этой пары очень большая разница долготы перигелия, а это сильно увеличивает ХС перехода (с 0.97 м/с до 709 м/с). Никакими параметрами орбиты пренебрегать нельзя (особенно когда речь о малых ХС, когда даже небольшая по погрешность по отношению к орбитальной скорости может сильно изменить результат).

[Андрей Курилов]

Делалось это численно, т.е. искалась эллиптическая траектория, образующая касательные к обоим орбитам одновременно (при нулевой разнице долготы перигелия это даёт гомоновскую траекторию, которую правда тоже надо считать не по формуле для круговых орбит, а с учётом эксцентриситетов).

Аналитическое решение существует:
Т.е. есть некоторый угол (θ), для которого мы можем рассчитать аналитически Δv, причём при изменении плоскости орбиты на этот угол θ, мы одновременно меняем наклонение (i) и долготу восходящего узла (Ω). Формулы верны для малых эксцентриситетов.

[AlexAV]

Аналитическое решение существует:

Спасибо.

Однако это не точное решение, а приближённое. А когда речь идёт об очень малых ХС с различного рода приближениями надо быть очень осторожными. Т.е. даже малая погрешность (в смысле в отношение к орбитальной скорости) может очень сильно исказить результат. К тому же здесь явно используется разложение по эксцентриситету лишь до нулевого порядка точности (т.е. до o(1)), а в этом случае если \Delta V/V << \epsilon, то без дополнительного исследования приближённой формулы на поправки по эксцентриситету использовать нежелательно.

Однако посчитать по этой формуле (одновременный поворот наклонения + долготы восходящего угла первым манёвром плюс гомоновский переход вторым) интересно.

P.S. Гомоновскую траекторию надо брать не для круговых орбит, а для эллиптических, т.е. с учётом эксцентриситета (благо в этом случае точную аналитическую формулу получить можно).

[Андрей Курилов]

Аналитическое решение существует:

Посчитал взаимные парные ХС для следующей тройки астероидов: 2000 TS23, 2001 FU180 и 2005 UZ130 (как имеющие наименьший эксцентриситет, чтобы решение было наиболее близко к истине). Если по Гоману получаются значения от 0.11 м/с (2000 TS23 <-> 2005 UZ130) до 1.9 м/с (2000 TS23 <-> 2001 FU180), то при изменении наклонения вместе с долготой восходящего узла уже получаются значения от 136 м/с (2001 FU180 <-> 2005 UZ130) до 1272 м/с (2000 TS23 <-> 2001 FU180).

Это не значит, что всё плохо. Просто эта тройка астероидов была выбрана по близости значений a/e/i, а разница в i+Ω оказалась вносящей куда больший вклад.

[AlexAV]

К тому же здесь явно используется разложение по эксцентриситету лишь до нулевого порядка точности (т.е. до o(1)), а в этом случае если \Delta V/V << \epsilon, то без дополнительного исследования приближённой формулы на поправки по эксцентриситету использовать нежелательно.

Взял частный случай дух эллиптических орбит в одной плоскости с разностью долготы перигелия pi/2 . Приведённая формула в этом случае даёт необходимое приращение скорости для перехода - ноль.

А точное решение (для перехода в один импульс):

V = 2V₀sin(\phi/2), где

\phi = arccos(1-2^1/2e)

При e=0 они совпадают, а вот уже при e=0.04 V/V₀ = 0.336 (в поясе астероидов V₀ ~ 18 км/c), что как-то совсем на ноль не похоже. При малом изменение наклонения (если нужна точность ~10м/c) ей нельзя пользоваться если e>10^-5. А это фактически значит, что просто нельзя.

[Андрей Курилов]

Это не значит, что всё плохо. Просто эта тройка астероидов была выбрана по близости значений a/e/i, а разница в i+Ω оказалась вносящей куда больший вклад.

Действительно так. Выбрал другую тройку астероидов: 2009 BZ114, 2002 CG216, 2012 VK22 - по более жёсткому критерию близости долготы восходящего узла. Сразу стало заметно лучше. ХС между парами астероидов в этой тройке:
- по Гоману: 11, 2 и 9 м/с;
- при изменении i и Ω: 54, 82 и 34 м/с.
Где, соответственно, пары - это {2009 BZ114; 2002 CG216}, {2009 BZ114; 2012 VK22}, {2002 CG216; 2012 VK22}.

Сие положение дел всё ещё не учитывает истинную аномалию и эксцентриситет (во всех случаях e<0.05).

[Андрей Курилов]

При e=0 они совпадают, а вот уже при e=0.04 V/V0 = 0.336 (в поясе астероидов V0 ~ 18 км/c), что как-то совсем на ноль не похоже. При малом изменение наклонения (если нужна точность ~10м/c) ей нельзя пользоваться если e>10-5. А это фактически значит, что просто нельзя.

Понял. Но это не проблема. Можно первым шагом считать ХС для скругления орбиты, а вторым шагом - изменение a, третьим - i и Ω, четвёртым - "подгонка e под ответ". ХС для перелёта будет заведомо меньше суммы этих 4-х манёвров.

[Андрей Курилов]

Есть ещё вариант оценки верхнего предела. Орбитальный период астероидов - 4..5 лет, поэтому перелёт длительностью до нескольких десятков суток можно считать практически прямолинейным по траектории. При этом среднее расстояние между астероидами главного пояса составляет 4-5 млн. км. Отсюда следует, что самый тупой и топорный, практически прямолинейный перелёт между астероидами в произвольный момент времени потребует скорости порядка 1 км/с. Но эта оценка не учитывает:
- кластеризацию астероидов в семейства;
- возможность выжидания сближения с астероидами на более близкие расстояния (до десятков тыс. км);
- возможность более длительного перелёта по более кривой баллистической траектории.

Если всё это учесть, то значение ХС, похоже, вернётся в уже известный по другим оценкам диапазон 10..100 м/с.

[Андрей Курилов]

Понял. Но это не проблема. Можно первым шагом считать ХС для скругления орбиты, а вторым шагом - изменение a, третьим - i и Ω, четвёртым - "подгонка e под ответ". ХС для перелёта будет заведомо меньше суммы этих 4-х манёвров.

Метод рассчёта оказался плох, так как скругление орбиты (e: 0.15->0) требует весьма высокого приращения скорости (~1 км/с), которое уже равно верхнему пределу, получаемому другим путём (в сообщении №189).

[AlexAV]

Есть ещё вариант оценки верхнего предела. Орбитальный период астероидов - 4..5 лет, поэтому перелёт длительностью до нескольких десятков суток можно считать практически прямолинейным по траектории.

Это вообще не оценка ни в каком приближении.

а) Считать полёт по прямой можно только при перелёте с сильно гиперболическими скоростями. С эллиптическими всегда надо учитывать реальную баллистику.
б) Если груз влетит со скоростью гаубичного снаряда в астероид-цель, то назвать это транспортной операцией крайне затруднительно. Нужно груз ещё затормозить до околонулевой относительной скорости. Полное ХС состоит из суммы разгона для того, чтобы попасть в точку где находится астероид-цель, и импульса торможения, чтобы сравнять скорость груза и астероида.

Берите нормальную баллистику по какой-нибудь разумной траектории и считайте (можно с заданной статистикой астероидов, но ещё лучше по каталогу). Все остальные оценки особого смысла не имеют.

Понял. Но это не проблема. Можно первым шагом считать ХС для скругления орбиты, а вторым шагом - изменение a, третьим - i и Ω, четвёртым - "подгонка e под ответ". ХС для перелёта будет заведомо меньше суммы этих 4-х манёвров.

Разумно. Для того, чтобы оставаться в пределах аналитики предлагаю следующую модификацию этой траектории.

Пусть a1<a2.

Первый импульс: Старт из перигелия с исходной орбиты (a1,e1) на переходную к (a2(1+e2), 0)
Второй импульс: Переход с переходной на круговую орбиту  (a2(1+e2), 0)
Третий импульс: Поворот плоскости круговой орбиты
Четвёртый импульс: Переход с круговой на целевую эллиптическую (a2,e2)

Траектория кажется вполне разумной в плане минимизации ХС и для каждого этапа может быть получено точное аналитическое выражение.

[AlexAV]

Метод рассчёта оказался плох, так как скругление орбиты (e: 0.15->0) требует весьма высокого приращения скорости (~1 км/с), которое уже равно верхнему пределу, получаемому другим путём (в сообщении №189).

Вы понимаете... В том сообщение вообще не содержится никакой оценки. В этом вопросе оценкой можно считать только расчёт по перелёта по некоторой реальной траектории. Всё остальное - бессмыслица.

[Андрей Курилов]

а) Считать полёт по прямой можно только при перелёте с сильно гиперболическими скоростями. С эллиптическими всегда надо учитывать реальную баллистику.

Я настаиваю, что в поясе астероидов отрезок траектории длиной 4-5 млн. км не будет сильно отличаться от прямой.

[Андрей Курилов]

Первый импульс: Старт из перигелия с исходной орбиты (a1,e1) на переходную к (a2(1+e2), 0)
Второй импульс: Переход с переходной на круговую орбиту  (a2(1+e2), 0)
Третий импульс: Поворот плоскости круговой орбиты
Четвёртый импульс: Переход с круговой на целевую эллиптическую (a2,e2)

Хоть и фазирования орбиты здесь уже не требуется, этот способ совершенно не годится. Тут 2-й шаг уже съедает порядка 1 км/с.

[Андрей Курилов]

Итак, что мы имеем на текущий момент. Минимальное значение Δv характеризуется удвоенной второй космической скоростью для среднего астероида (несколько м/с) и средней разницей в орбитальной скорости между "соседними" (на ближайших орбитах) астероидами (несколько м/с). Получаем нижний предел ~10 м/с. Верхний предел удалось оценить ~1000 м/с. Более точное значение зависит от конкретной пары астероидов и ограничений по времени на перелёт между ними, но вероятнее всего, составляет около 100 м/с.

[Андрей Курилов]

Всё-таки есть ещё более точный способ оценки. Исходя из того, что среднее расстояние между астероидами в главном поясе не должно превышать 5 млн. км, астероид А может заранее запускать груз в точку встречи с астероидом Б, расположенную на расстоянии 4.5 млн. км. Это расстояние также равно 0.03 АЕ или удалению на ~1/100 часть по отношению к большой полуоси орбиты. Достижение точки встречи с астероидом Б по Гоману потребует однократного приращения скорости ~90 м/с на расстоянии 2.8 АЕ от Солнца.

Теперь рассмотрим случай, если точка встречи находится не в плоскости орбиты астероида А, а на перпендикулярной к плоскости орбиты А оси, проходящей через А. Тогда для достижения точки встречи потребуется изменение наклонения орбиты, равное arctan(0.01) = 0.5729^o, что приводит к требуемому приращению скорости в среднем равному ~114 м/с (зависит от e, ω и ν, максимум - 207 м/с), в случае круговой орбиты - 180 м/с.

Теперь рассмотрим случай, когда точка встречи находится на 4 млн. км "над" плоскостью орбиты А и на 4 млн. км ближе к Солнцу. Тогда получается скорость от 84 до 281 м/с.

Т.е. практически непрерывный транспортный пинг-понг между соседними астероидами вполне может охватывать весь пояс астероидов со средней скоростью при запуске груза порядка 100 м/с. Вне орбитальных кластеров эта величина может быть больше в несколько раз, а внутри кластеров - меньше.

Здесь следует предупредить возможные возражения касательно неучёта других орбитальных параметров. Дело в том, что здесь в качестве фигуры "эффективного сечения" рассматривался круг радиусом ~5 млн. км вокруг астероида А, причём ориентированный всегда так, что его плоскость перпендикулярна плоскости орбиты А и направлению движения астероида А. Так вот в рассчёте рассматривались точки встречи, находящиеся на этом круге, который время от времени пересекают другие астероиды.

[AlexAV]

Теперь рассмотрим случай, если точка встречи находится не в плоскости орбиты астероида А, а на перпендикулярной к плоскости орбиты А оси, проходящей через А. Тогда для достижения точки встречи потребуется изменение наклонения орбиты, равное arctan(0.01) = 0.5729o, что приводит к требуемому приращению скорости в среднем равному ~114 м/с (зависит от e, ω и ν, максимум - 207 м/с), в случае круговой орбиты - 180 м/с.

Теперь рассмотрим случай, когда точка встречи находится на 4 млн. км "над" плоскостью орбиты А и на 4 млн. км ближе к Солнцу. Тогда получается скорость от 84 до 281 м/с.

Где учёт тормозного импульса? Ну протаранит ваш груз астероид со скоростью под километр в секунду и толку?

ХС состоит состоит из импульсов ускорения и торможения. И где учёт второго? Если астероиды рядом - это не значит, что у них малые относительные скорости (скорее наоборот, это очень плохие траектории с высоким ХС даже для близких по орбитам астероидов).

[Андрей Курилов]

Где учёт тормозного импульса? Ну протаранит ваш груз астероид со скоростью под километр в секунду и толку?

Никакого километра в секунду. Разница орбитальных скоростей для "соседних" астероидов составляет десятки м/с (эта же величина и определяет минимально необходимую ХС для перелёта, таков физический смысл).

ХС состоит состоит из импульсов ускорения и торможения.

Я уже упоминал одним сообщением ранее, что транспортная сеть в поясе астероидов будет похожа на непрерывный, разнонаправленный пинг-понг. Астероид А "швыряет" груз, Б - "ловит". Технически это вполне возможно.

[AlexAV]

Никакого километра в секунду.

А Вы посчитайте.

При эксцентриситете хоть сколько-нибудь отличным от нуля в точках пересечения ( или сближения) астероидов при отличных величинах долготы перигелия вектора скорости тел имеют угол  сильно отличающийся от нуля, а относительные скорости в километры в секунду (это легко проверяется для случая орбит в одной плоскости).