Если просверлить Землю насквозь, как вычислить атмосферное давление в туннеле?

[dob]

Представим, что Земля внутри твердая и холодная, а не раскаленная, и мы можем пробурить ее насквозь. Как тогда посчитать атмосферное давление внутри туннеля? Другой случай - дыра не сквозная, не доходит 1 метр до противоположной стороны земного шара. Тогда будет другое давление? Продолжение рассуждений и формулы

(кликните для показа/скрытия)

Есть формула для расчета давления  P = P₀ exp (-Mgh/RT), где P₀ - давление у поверхности Земли, M - молярная масса воздуха, g  -ускорение свободного падения, h - высота (или глубина, если с минусом), R - газовая постоянная, T  - температура. Но g здесь константа, и есть формула зависимости ускорения свободного падения от глубины g_h = g (R-h)/R, где R - радиус Земли, h - глубина. Как сделать из двух одну? Наверно, надо вычислять интегралы, но я не знаю, как. Может, нужна вообще другая формула?

Помогите, пожалуйста с расчетами. Спасибо.

[Алексей Юдин]

Тем кто интегралы не знает как вычислять, Астрофорум, боюсь, ничем не поможет - тут исключительно в терминах интегралов и мыслят, причём как правило касательно случайных процессов.

[Змей Петров]

Никто вам здесь конкретно не скажет как это вычислить. Хотя в принципе наверное возможно.
Над поверхностью - есть калькулятор стандартной атмосферы, который довольно точно вычисляет давление, температуру и плотность от высоты.
Впрочем, если температура шара постоянна по глубине, то задача упрощается.

[dob]

Да, температуру примем постоянной.
Я предлагаю считать по барометрической формуле, которую также можно применять и для глубины, взяв отрицательное значение h. Хотя она и дает приближенные результаты, но все равно можно оценить.
Но проблема в том, что в барометрической формуле ускорение свободного падения считается константой, а в нашем случае оно зависит от глубины, уменьшаясь от стандартного 9,8 на поверхности до 0 в центре Земли. Для его изменения тоже есть формула, но как связать их вместе, я не знаю. Я предполагаю, что нужно вычислять интеграл dh/dg, или что-то в этом роде, и подставлять в первую формулу вместо константы. Поэтому нужна помощь тех, кто разбирается в математике. По-моему, для того, кто с ней дружит, это не такая сложная задача

Если есть другие методы решения, предлагайте и их.

[serega2007]

       Слазайте туда с барометром , и вопрос решен будет .

[serega2007]

      Точные формулы найдете в описаниях строения звезд .

[Alliance]

внутри туннеля это в каком месте? в центре Земли?

Никто вам здесь конкретно не скажет как это вычислить.

Не обобщайте на всех свое неумение справиться с поставленной задачей

[dob]

В любом произвольном месте туннеля.

По сути, нужно обобщение барометрической формулы на случай переменного g, зависящего от глубины. Формула этой зависимости также есть (см. первое сообщение), но у меня не хватает познаний в математике, чтобы вывести общую формулу.

[Alliance]

По сути, нужно обобщение барометрической формулы на случай переменного g, зависящего от глубины.

ага, которая при этом изменяется уже по несколько другому закону, чем вне тела Земли

[dob]

      Точные формулы найдете в описаниях строения звезд .

У звезд, насколько я знаю, нет атмосферы, да и если бы была, вряд ли есть звезды со сквозными дырами

[Змей Петров]

Не обобщайте на всех свое неумение справиться с поставленной задачей

Ну так, милости просим - ваша формула зависимости давления от глубины погружения к центру?
Предполагаем, что температура шара посоянна по радиусу и равна температуре поверхности. Тоннель считаем тонким(температура воздуха в тоннеле равна температуре породы).

Я, каюсь, всё до чего дошел своим умом - при постоянных g и Т зависимость давления от высоты экспоненциальная.

[Змей Петров]

Я предлагаю считать по барометрической формуле, которую также можно применять и для глубины, взяв отрицательное значение h. Хотя она и дает приближенные результаты, но все равно можно оценить.

Не получится. g сильно меняется.

[dob]

По сути, нужно обобщение барометрической формулы на случай переменного g, зависящего от глубины.

ага, которая при этом изменяется уже по несколько другому закону, чем вне тела Земли

Вы имеете в виду барометрическую формулу?
Вот пример того, как она используется для расчетов давления на глубине (глубина небольшая, поэтому g константа):
http://www.math24.ru/барометрическая-формула.html
А вот формула, выражающая зависимость g  от глубины:
http://bog5.in.ua/problems/volkenshtejin/dyn/volkenshtejin%20z2%20153.html
Теперь надо как-то их вместе соединить 

[Змей Петров]

Точные формулы найдете в описаниях строения звезд .

Это вряд-ли.
Зависимость g от глубины для земли и звезд сильно различается.

[dob]

Я предлагаю считать по барометрической формуле, которую также можно применять и для глубины, взяв отрицательное значение h. Хотя она и дает приближенные результаты, но все равно можно оценить.

Не получится. g сильно меняется.

В том-то и дело. Поэтому надо находить интеграл (насколько я помню, так подобные задачи решаются), и подставлять в исходную формулу, поэтому прошу помощи у тех, кто дружит с математикой.

[dob]

Точные формулы найдете в описаниях строения звезд .

Это вряд-ли.
Зависимость g от глубины для земли и звезд сильно различается.

Я использую самую простую приближенную формулу, так что это неважно. Давайте представим, что Земля однородна.

[7f44nh]

В любом произвольном месте туннеля.

По сути, нужно обобщение барометрической формулы на случай переменного g, зависящего от глубины. Формула этой зависимости также есть (см. первое сообщение), но у меня не хватает познаний в математике, чтобы вывести общую формулу.

  Давление в тоннеле и внутри звезды будет одинаковым.
Точная формула - в учебнике астрономии для 10 класса Воронцова-Вельяминова. Успехов!

[Змей Петров]

Я использую самую простую приближенную формулу, так что это неважно. Давайте представим, что Земля однородна.

Ну что-ж. Задача одномеризована.
По моему всё сводится к двойному интегралу.
Товарищи математики возможно меня поправят.

[dob]

В любом произвольном месте туннеля.

По сути, нужно обобщение барометрической формулы на случай переменного g, зависящего от глубины. Формула этой зависимости также есть (см. первое сообщение), но у меня не хватает познаний в математике, чтобы вывести общую формулу.

  Давление в тоннеле и внутри звезды будет одинаковым.
Точная формула - в учебнике астрономии для 10 класса Воронцова-Вельяминова. Успехов!

Речь о планете. Поясните, пожалуйста, что значит "давление внутри" - планета по условию задачи является твердым телом, откуда "давление внутри"?

[dob]

Я использую самую простую приближенную формулу, так что это неважно. Давайте представим, что Земля однородна.

Ну что-ж. Задача одномеризована.
По моему всё сводится к двойному интегралу.
Товарищи математики возможно меня поправят.

Я тоже думаю, что нужен интеграл. Нужна помощь математиков