Если просверлить Землю насквозь, как вычислить атмосферное давление в туннеле?

[dob]

Полагаю, давление газа должно соответствовать давлению окружающих твёрдых стенок, иначе, отверстие просто схлопывается. При давлениях вблизи центра, скорее всего "газовые" формулы перестанут работать в связи с высокой плотностью газа в глубине...

В звёздах - другое дело, там идёт ионизация газов и, скажем, уравнение Клайперона - Менделеева более менее можно применить и в центре звезды. Хотя, естественно, приближение будет грубым.

Если просверлить каменный шарик, он же не схлопнется. Земля - тот же шарик, только очень большой.
[/quote]

Ещё раз повторю постановку задачи, как я её понял -

Порода достаточно твёрдая, что бы колодец не схлопывался.
Если этого недостаточно, то ставим сквозную сверхпрочную трубу, препятствующую схлопыванию тоннеля под давлением породы.
(эксперимент мысленный)

dob, я правильно понял вашу постановку?

Да. Если есть продвинутые математики, можете посчитать необходимую для этого прочность породы
[/quote]

Я тоже думаю, что нужен интеграл. Нужна помощь математиков

Двойной как минимум.

Для того, чтобы довести до двойного интеграла, придется сделать такие упрощения, что делают постановку абсолютно нереальной. Как указал AlAn, газ должен своим давлением держать стенки, но это невозможно, т.к. плотность газа по любому ниже плотности пород.

Ну, если сделать Землю из сплошного хрендостаниума всюду одинаковой плотности, то можно расписать интеграл.

Да, Земля по условиям задачи однородна.

Задача иррациональна по причине того, что из разряда "этого не может быть потому, что не может быть никогда".
Действительно, нижние слои породы могут только испытывать давление "верхних слоев" и не могут перемещаться "вверх" - верхние слои мешают, так как твердые. Миграция возможна как следствие разной плотности, но это не меняет сути - нет пустот, кругом плотное заполнение породой. Теперь не будем сверлить насквозь, просверлим "до жидкой фазы" - получим вулкан. С какой скоростью вылетают бомбы вулканические. Если сверлить дальше, то вулкан получится мощнее.
Таким образом внесение в процесс жидкой фазы, а тем более газообразной (тоннель) вызовет к жизни все тот же вулкан и полость всегда схлопнется.

Если представить "алмазный объект", который действительно можно просверлить насквозь, то есть который можно разбить на множество мелких объектов, то получим аналог "кольца Сатурна", в котором давления "внутри объекта" будут совсем другими. Ведь не подскакивает же давление в пространстве между Землей и Луной, оно равно одной атмосфере. Теперь представьте себе, что у Земли "миллион" Лун и все они плотно прилегают друг к другу. Таким образом мы очутимся внутри "лунной сферы в ее центре". А давление по прежнему будет равно одной атмосфере.

Теперь уберем Землю из "полости лунной сферы". Давление вместо одной атмосферы станет равно нулю атмосфер (Земли то нет).

Таким образом в центре просверленной Земли при отсутствии схлопывания тоннеля давление равно нулю.
Вот така фигня малята.

Земля по условиям задачи однородная и холодная, жидкой фазы нет.
Давление 0 атмосфер - это вакуум, откуда он возьмется в туннеле, сообщающемся с земной атмосферой?

В центре планеты давление на стенки такого туннеля будет максимальным. Давление внутри самого туннеля (в любой точке) будет таким же как на поверхности планеты. Всё же просто, зачем вам интегралы?

Почему давление будет таким же, как на поверхности, можете объяснить? Вообще-то, оно зависит от высоты\глубины, а также зависит от величины g, которое в нашем случае изменяется от 9,8 на поверхности до 0 в центре Земли.

[dob]

Только какое отношение это давление пород имеет к давлению воздуха в туннеле?

так самое непосердственное. в толще Земли давление создается весом вышележащих слоев вещества планеты (горных пород), а в Вашем туннеле - весом вышележащего столба газа.

Ну и? Давление пород в Земле мирно сосуществует с атмосферным давлением, которое в воздухе.

[Alliance]

Давление пород в Земле мирно сосуществует с атмосферным давлением, которое в воздухе.

Да при чем тут сосуществует? Я лишь пояснил физический принцип, посредством котрого создается давление внутри планеты.
Планета может быть и газовая, и в ее недрах таким же образом будет создаваться давление.

[dob]

Давление пород в Земле мирно сосуществует с атмосферным давлением, которое в воздухе.

Да при чем тут сосуществует? Я лишь пояснил физический принцип, посредством котрого создается давление внутри планеты.
Планета может быть и газовая, и в ее недрах таким же образом будет создаваться давление.

Спасибо, что объяснили, я просто не понимаю, почему здесь в комментах давление внутри планеты привязывают к этой задаче.

[Alliance]

почему здесь в комментах давление внутри планеты привязывают к этой задаче.

Ну так, видимо, чтобы стенки вашего туннеля не рухнули
"Упростите" задачу. Пусть у Вас есть шар из некоей "темной материи" и обычного газа. Гравитационный потенциал создается как темной материей, так и массой "обычного" газа. При этом частицы темной материи электромагнитно никак не взаимодействуют с атомами/молекулами атмосферного газа и, соответственно, не создают дополнительного давления

[dob]

почему здесь в комментах давление внутри планеты привязывают к этой задаче.

Ну так, видимо, чтобы стенки вашего туннеля не рухнули
"Упростите" задачу. Пусть у Вас есть шар из некоей "темной материи" и обычного газа. Гравитационный потенциал создается как темной материей, так и массой "обычного" газа. При этом частицы темной материи электромагнитно никак не взаимодействуют с атомами/молекулами атмосферного газа и, соответственно, не создают дополнительного давления

Это слишком сложно
Пусть будет однородный сверхпрочный шар, материал которого способен выдержать сверхвысокое давление и не схлопнуться, и атмосфера вокруг него.

[viesis]

Представим, что Земля внутри твердая и холодная, а не раскаленная, и мы можем пробурить ее насквозь. Как тогда посчитать атмосферное давление внутри туннеля? Другой случай - дыра не сквозная, не доходит 1 метр до противоположной стороны земного шара. Тогда будет другое давление? Продолжение рассуждений и формулы

(кликните для показа/скрытия)

Есть формула для расчета давления  P = P₀ exp (-Mgh/RT), где P₀ - давление у поверхности Земли, M - молярная масса воздуха, g  -ускорение свободного падения, h - высота (или глубина, если с минусом), R - газовая постоянная, T  - температура. Но g здесь константа, и есть формула зависимости ускорения свободного падения от глубины g_h = g (R-h)/R, где R - радиус Земли, h - глубина. Как сделать из двух одну? Наверно, надо вычислять интегралы, но я не знаю, как. Может, нужна вообще другая формула?

Помогите, пожалуйста с расчетами. Спасибо.

Если не секрет, то для какого вывода вам нужны эти данные?

[Александр Анохин]

Точный ответ дать сложно, но приблизительно вполне:

P=pgh, где Р -давление, g - ускорение свободного падения, p - плотность воздуха, h - глубина

Формула очень приблизительная, поскольку g и p меняется с глубиной.

[Скеп-тик]

До глубины 2500 км   g с точностью до 10 % равно  на уровне океана, так что до этой глубины давление возрастает примерно по тому же закону, что и в атмосфере - удваивается каждые 5,5 км. Меж 2500 и 3000 км ускорение свободного падения возрастает до 10,2 м/сек², а с 3000 км уменьшается линейно до центра Земли. Собственно, только с участком 3000-6371 км требуется морока с интегралом.

[boch]

Земля по условиям задачи однородная и холодная, жидкой фазы нет.
Давление 0 атмосфер - это вакуум, откуда он возьмется в туннеле, сообщающемся с земной атмосферой?

Я же не зря показал, что для "нормальной" Земли задача не решаемая.
Для "математической" же Земли, где стенки не схлопываются, вполне решаемая.
Так как давление в центре Земли равно нулю, (так как временно мы убрали газовую составляющую), а стенки (идеальные) не давят на центр тоннеля, то для случая центра Земли задача сводится к определению давления гидростатического газового шара, так, как будто Земли вообще нет, то есть задача похожа на случай сжатия газового облака. Разумеется молекулярные облака в космосе это совсем не то, что сжатый воздух в тоннеле, но думается, что если стенки тоннеля не схлопываются, то давление в центре определяется не массой Земли (если стенки тоннеля сжимают газ), а распределением давлений внутри газового шара, то есть будет промежуточным между состояниями (есть только газовый шар) и (есть газовый шар с помещенным в него просверленным телом Земли).

[Инопланетянин]

Это слишком сложно

Это единственный реалистичный пример такой задачи. Хотя, способность тёмной материи образовывать настолько маленькие уплотнения тоже может оказаться фантастикой.

[Миллиард]

Для идеального газа имеем:
\[dP=\rho g dh\]
Где \[\rho \] - плотность воздуха. Она в свою очередь находится из уравнения состояния идеального газа:
\[\rho =\frac{P M}{R T}\]
Итого:
\[\frac{dP}{P}=\frac{M}{R T} g dh = \frac{M}{R T} g_{0}\frac{r-h}{r} dh\]
Здесь я подставил формулу для ускорения свободного падения из первого поста.
Интегрируя получим:
\[P=P_{0} exp\left ( \frac{M g_{0}}{R T} \left ( h - \frac{h^{2}}{2r} \right ) \right )\]
Здесь h - глубина, R - универсальная газовая постоянна, r - радиус Земли.
Но эта формула для случая идеального газа (как я выше написал) и постоянной температуры. Реальный газ на больших глубинах будет, конечно же, создавать совсем другое давление.

[7ove]

В центре планеты давление на стенки такого туннеля будет максимальным. Давление внутри самого туннеля (в любой точке) будет таким же как на поверхности планеты.

ага. т.е вблизи центра давление от нормального атмосферного огромным скачком сразу возрастает до "максимального". границу только эту не укажете? 1 мм от центра? 2 мм?

Да, огромным скачком. И скачок этот - стенка тонеля. Это Если мы про тоннель в земле говорим.

В центре планеты давление на стенки такого туннеля будет максимальным. Давление внутри самого туннеля (в любой точке) будет таким же как на поверхности планеты. Всё же просто, зачем вам интегралы?

Почему давление будет таким же, как на поверхности, можете объяснить? Вообще-то, оно зависит от высоты\глубины, а также зависит от величины g, которое в нашем случае изменяется от 9,8 на поверхности до 0 в центре Земли.

Если взять просто условный шар однородной плотности, имеющий сквозное отверстие через центр масс, то давление в центре этого тоннеля будет зависеть от радиуса этого отверстия, от молекулярной массы газа который будет внутри этого тоннеля, от радиуса всего шара, а так же от массы этого шара. Мысленно представим себе какие процессы будут происходить с газом в таких условиях. Берем шар размером с землю, примерно той же массы, но имеющий однородную плотность. Делаем отверстие диаметром с метр. Сквозное, проходящее через центр масс. Начинаем экспериментировать. Берем кислород (условно окрашиваем каждую молекулу в синий цвет, что бы было видно невооруженным глазом) и заполняем им тоннель ровно на половину,причем "заливаем" мы его только с одной стороны. И видим примерно следующее: чем ближе к условному центру масс, тем кислород становится более плотным и более синим. Причем с обеих сторон тоннеля. Следовательно плотность в центре высчитывается общей формулой молекулярного давления газа. Газ взаимодействует исключительно сам с собой, и сжимается сам в себя.

А вообще получается есть условный предел по массе шара. В таком условном эксперименте с тоннелем давление в центре масс будет равно 0, если речь идёт о квантовом вакууме, либо бесконечность, если речь идёт о том случае, когда две молекулы вещества соприкасаются друг с другом бесконечно близко, на столько что не остается свободного пространства-времени (уже на квантовом уровне) и происходит процесс разрушения материи на уровне суперструн.

[Незван]

Берем тонкий слой (dH) воздуха в шахте у поверхности (r=R). На него давит давление P = P0 (атмосферное)
Это давление он передает следующему слою, добавляя свой вес на единицу площади:
(1) \( P_1 = P + \frac{G  \cdot  m  \cdot  M}{r^2  \cdot S} \)
m - масса слоя
\( m = K  \cdot  P  \cdot  V = K  \cdot  P  \cdot  dH  \cdot  S \) (К - константа, определяется из Менделеева-Клапейрона)
M - масса "Земли" радиуса r   
\( M = \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r^3  \cdot  \rho \)   ( \(\rho \) - плотность материала планеты)
подставляем в (1)
\( P_1 = P + \frac{G  \cdot  m  \cdot  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r^3  \cdot  \rho}{ r^2  \cdot  S} = P + \frac{G  \cdot m  \cdot  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r  \cdot  \rho }{ S} = \)
\( P + \frac{ G \cdot  K  \cdot P  \cdot dH  \cdot S \frac{4}{3} \pi \cdot   r  \cdot  \rho }{ S} = P + G  \cdot  K  \cdot  P \cdot   dH  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r  \cdot  \rho \)
спрячем константы в одну \( Z = G  \cdot  K  \cdot  \frac{4}{3}  \pi \cdot  \rho \)
\(P_1 = P + Z  \cdot  P  \cdot  r  \cdot  dH = P  \cdot  (1 + Z  \cdot  r  \cdot  dH) \)
Следующий слой создаст давление
\(P_2 = P_1  \cdot  (1 + Z  \cdot  (R - dH)  dH) \)
Далее
\( P_3 = P_2 \cdot  (1 + Z  \cdot  (R - 2 dH)  dH) \)
...
\[P(r) = \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z(R - i \cdot dH)dH)\]

Далее неверно. С бесконечностью шутки плохи!
При устремлении dH к 0, кроме 1 будет только одно слагаемое, не стремящееся к 0:
Z*R*dH (оно будет взято из каждого сомножителя и умножено на 1 из остальных сомножителей)
Т.о. их будет (R-r)/dH штук и
\( Z R \cdot dH \frac{R-r}{dH} = Z R (R-r) \)

Итого, \( P(r) = P0  \cdot  (1 + Z  \cdot  R  \cdot  (R - r)) \)

Так, с Миллиардом разошлись, интересно, где.

[dob]

Представим, что Земля внутри твердая и холодная, а не раскаленная, и мы можем пробурить ее насквозь. Как тогда посчитать атмосферное давление внутри туннеля? Другой случай - дыра не сквозная, не доходит 1 метр до противоположной стороны земного шара. Тогда будет другое давление? Продолжение рассуждений и формулы

(кликните для показа/скрытия)

Есть формула для расчета давления  P = P₀ exp (-Mgh/RT), где P₀ - давление у поверхности Земли, M - молярная масса воздуха, g  -ускорение свободного падения, h - высота (или глубина, если с минусом), R - газовая постоянная, T  - температура. Но g здесь константа, и есть формула зависимости ускорения свободного падения от глубины g_h = g (R-h)/R, где R - радиус Земли, h - глубина. Как сделать из двух одну? Наверно, надо вычислять интегралы, но я не знаю, как. Может, нужна вообще другая формула?

Помогите, пожалуйста с расчетами. Спасибо.

Если не секрет, то для какого вывода вам нужны эти данные?

Видимо, для тренировки мозгов... Просто хочется иногда над чем-нибудь подумать

Точный ответ дать сложно, но приблизительно вполне:

P=pgh, где Р -давление, g - ускорение свободного падения, p - плотность воздуха, h - глубина

Формула очень приблизительная, поскольку g и p меняется с глубиной.

Так в том-то и дело, что слишком приблизительно. Уменьшение g до 0 уже игнорировать нельзя.

До глубины 2500 км   g с точностью до 10 % равно  на уровне океана, так что до этой глубины давление возрастает примерно по тому же закону, что и в атмосфере - удваивается каждые 5,5 км. Меж 2500 и 3000 км ускорение свободного падения возрастает до 10,2 м/сек², а с 3000 км уменьшается линейно до центра Земли. Собственно, только с участком 3000-6371 км требуется морока с интегралом.

Это для случая реальной Земли? Я беру идеальную - однородную, так что оно равномерно уменьшается на всем протяжении.

Земля по условиям задачи однородная и холодная, жидкой фазы нет.
Давление 0 атмосфер - это вакуум, откуда он возьмется в туннеле, сообщающемся с земной атмосферой?

Я же не зря показал, что для "нормальной" Земли задача не решаемая.
Для "математической" же Земли, где стенки не схлопываются, вполне решаемая.
Так как давление в центре Земли равно нулю, (так как временно мы убрали газовую составляющую), а стенки (идеальные) не давят на центр тоннеля, то для случая центра Земли задача сводится к определению давления гидростатического газового шара, так, как будто Земли вообще нет, то есть задача похожа на случай сжатия газового облака. Разумеется молекулярные облака в космосе это совсем не то, что сжатый воздух в тоннеле, но думается, что если стенки тоннеля не схлопываются, то давление в центре определяется не массой Земли (если стенки тоннеля сжимают газ), а распределением давлений внутри газового шара, то есть будет промежуточным между состояниями (есть только газовый шар) и (есть газовый шар с помещенным в него просверленным телом Земли).

Интересная у вас теория. А формула есть?

[dob]

Для идеального газа имеем:
\[dP=\rho g dh\]
Где \[\rho \] - плотность воздуха. Она в свою очередь находится из уравнения состояния идеального газа:
\[\rho =\frac{P M}{R T}\]
Итого:
\[\frac{dP}{P}=\frac{M}{R T} g dh = \frac{M}{R T} g_{0}\frac{r-h}{r} dh\]
Здесь я подставил формулу для ускорения свободного падения из первого поста.
Интегрируя получим:
\[P=P_{0} exp\left ( \frac{M g_{0}}{R T} \left ( h - \frac{h^{2}}{2r} \right ) \right )\]
Здесь h - глубина, R - универсальная газовая постоянна, r - радиус Земли.
Но эта формула для случая идеального газа (как я выше написал) и постоянной температуры. Реальный газ на больших глубинах будет, конечно же, создавать совсем другое давление.

Спасибо.
Вы взяли формулу, где берется плотность газа, а не барометрическую? Она точнее?
Итоговая формула не совсем для меня понятна. Как вычислять frac, right и left? Наверно, это глупо звучит, но мне не приходилось иметь дело с такими действиями, поэтому не знаю, как ей пользоваться.

[dob]

Берем тонкий слой (dH) воздуха в шахте у поверхности (r=R). На него давит давление P = P0 (атмосферное)
Это давление он передает следующему слою, добавляя свой вес на единицу площади:
(1) \( P_1 = P + \frac{G  \cdot  m  \cdot  M}{r^2  \cdot S} \)
m - масса слоя
\( m = K  \cdot  P  \cdot  V = K  \cdot  P  \cdot  dH  \cdot  S \) (К - константа, определяется из Менделеева-Клапейрона)
M - масса "Земли" радиуса r   
\( M = \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r^3  \cdot  \rho \)   ( \(\rho \) - плотность материала планеты)
подставляем в (1)
\( P_1 = P + \frac{G  \cdot  m  \cdot  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r^3  \cdot  \rho}{ r^2  \cdot  S} = P + \frac{G  \cdot m  \cdot  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r  \cdot  \rho }{ S} = \)
\( P + \frac{ G \cdot  K  \cdot P  \cdot dH  \cdot S \frac{4}{3} \pi \cdot   r  \cdot  \rho }{ S} = P + G  \cdot  K  \cdot  P \cdot   dH  \frac{4}{3}  \pi  \cdot  r  \cdot  \rho \)
спрячем константы в одну \( Z = G  \cdot  K  \cdot  \frac{4}{3}  \pi \cdot  \rho \)
\(P_1 = P + Z  \cdot  P  \cdot  r  \cdot  dH = P  \cdot  (1 + Z  \cdot  r  \cdot  dH) \)
Следующий слой создаст давление
\(P_2 = P_1  \cdot  (1 + Z  \cdot  (R - dH)  dH) \)
Далее
\( P_3 = P_2 \cdot  (1 + Z  \cdot  (R - 2 dH)  dH) \)
...
\[P(r) = \prod_{i=0}^{\frac{R-r}{dH}}(1+Z(R - i \cdot dH)dH)\]

При устремлении dH к 0, кроме 1 будет только одно слагаемое, не стремящееся к 0:
Z*R*dH (оно будет взято из каждого сомножителя и умножено на 1 из остальных сомножителей)
Т.о. их будет (R-r)/dH штук и
\( Z R \cdot dH \frac{R-r}{dH} = Z R (R-r) \)

Итого, \( P(r) = P0  \cdot  (1 + Z  \cdot  R  \cdot  (R - r)) \)

Так, с Миллиардом разошлись, интересно, где.

Спасибо.
Тот же вопрос насчет frac и cdot, как все это вычислять?

[serega2007]

    А сверлить уже начали ?
    При коммунистах метр проходки стоил 700 руб , или примерно 1000 дол США .

[Streamflow]

Итоговая формула не совсем для меня понятна. Как вычислять frac, right и left?

Да, после суток смешных камланий  наконец, нашёлся Миллиард, написавший нужную формулу, если я правильно понимаю все эти странные символы frac, left, right. Для сферического коня в вакууме - абсолютно жёсткой Земли постоянной плотности и температуры, окруженной идеальным при любых условиях газом, он, кажется, написал, что-то, подобное следующей формуле:

p = p₀ exp[(h/h₀)(1 - h/(2r))],

где p - давление газа, p₀ - давление газа на поверхности Земли, h - глубина погружения в шахту, h₀ - характерная длина атмосферы, около 8 км (h₀ = (Mg₀)/(RT), g₀ - ускорение свободного падения на поверхности Земли), r - радиус Земли, около 6370 км.

[Незван]

Тот же вопрос насчет frac и cdot, как все это вычислять?

У Вас не включена опция форума "Рендеринг формул", поэтому Вы их видите "сырыми" в LaTexовской кодировке.