Положение фокусов эллипсоида, формулы

[INPan]

Уважаемые знатоки, пытался разобраться сам, не получилось. Вот к примеру мы имеем вогнутое зеркало, эллипсоид с известным квадратом эксцентриситета и известным радиусом кривизны ближайшей сферы. Как вычислить, на каком расстоянии от вершины зеркала будут расположены его фокусы?

[AR81]

Уважаемые знатоки, пытался разобраться сам, не получилось. Вот к примеру мы имеем вогнутое зеркало, эллипсоид с известным квадратом эксцентриситета и известным радиусом кривизны ближайшей сферы. Как вычислить, на каком расстоянии от вершины зеркала будут расположены его фокусы?

http://padaread.com/?book=27394&pg=39  Оно?

[INPan]

Похоже оно! Спасибо, Алексей! Это я просто не там искал.

[INPan]

Щас проверю "на кошках".

[INPan]

И так, согласно букварю...

[INPan]

Вопрос следующий, что есть e? Вот к примеру из оптического CAD-а мы имеем Conic=-0,78475. Это и есть e, или это e²?

[ekvi]

на каком расстоянии от вершины зеркала будут расположены его фокусы?

до 1го фокуса: F = R/2,
до 2го фокуса: F + 2c = F*[1 +2*e/(1-e)] = F*(1 + e)/(1 - e).
R - радиус при вершине, e - эксцентриситет { = sqrt(e²) } эллипса.

Внимание!
Здесь неверно определён 1й фокус. Правильное значение указано ИНПан (см. пост 4):
F2 = R/(1 + e).

[INPan]

А что такое 2c?

[INPan]

И что дают оптические программы, e или e²

[ekvi]

2с - расстояние между фокусами эллипса.
Программы используют квадрат эксцентриситета, е².

[yas]

Программы используют квадрат эксцентриситета, е2.

Или коническую константу равную -е2

[ekvi]

Или коническую константу равную -е2

Да, в Земаксе, как и в других программах, знак у квадрата эксцентриситета отрицательный (видимо, их авторы проводят параллель с мнимой единицей). В РОС отрицательный знак имеет только сплюснутый сфероид, у остальных +e².

[Gleb1964]

до 1го фокуса: F = R/2
...
R - радиус при вершине..

Вообщее-то нет, R/2 это фокус для предмета на бесконечности, а вопрос был про положение фокусов эллипса, а они сопряжены и оба на конечном расстоянии

[ekvi]

R/2 это фокус для предмета на бесконечности,

Как ни странно, но положение фокусов не зависит от апертуры, поэтому положение первого фокуса (F = R/2) совпадает с параксиальным фокусом: рассмотрите свойства эллипса.

[yas]

R/2 это фокус для предмета на бесконечности,

Как ни странно, но положение фокусов не зависит от апертуры, поэтому положение первого фокуса (F = R/2) совпадает с параксиальным фокусом: рассмотрите свойства эллипса.

Фокуса эллипса являются его анаберрационными точками, т.е. при нахождении источника в одном из них идеальное изображение будет в другом.
Для эллипса, стремящегося к сфере, разница фокусов стремится к 0, а сами фокуса к R (радиус сферы)
Для эллипса, стремящегося к параболе, один фокус стремится к R/2, а второй к бесконечности.

[INPan]

R/2 это фокус для предмета на бесконечности,

Как ни странно, но положение фокусов не зависит от апертуры, поэтому положение первого фокуса (F = R/2) совпадает с параксиальным фокусом: рассмотрите свойства эллипса.

Получил перелом мозга, пытаясь это понять. 
yas прав, если объект (ну то есть дальний фокус) в бесконечности, то его изображение (с продольной аберацией разумеется) эллипсоидное зеркало построит на расстоянии половины радиуса кривизны ближайшей к вершине эллипсоида сферы. А у нас-то дальний фокус не в бесконечности, а на определённом, достаточно близком к зеркалу расстоянии, а значит и изображение (уже анаберационное) зеркало построит заметно дальше.

[INPan]

В качестве доказательства...
Возьмём к примеру эллипсоидное зеркало с эксцентриситетом равным 0. Оба фокуса этого "эллипсоида" совпадают и находятся в центре кривизны зеркала.
Вопрос.
Где в таком случае такое зеркало построит изображение бесконечно удалённого объекта?
Правильно, на расстоянии половины радиуса кривизны! Но это ведь у нас не эллипсоид, а сфера.
А теперь начнём вытягивать сферу и превратим её в эллипсоид - отделим второй фокус от первого и начнём его удалять.
Что произойдёт?
Правильно! Зеркало превратится в эллипсоидное и у него появится ближайшая сфера с постепенно уменьшающимся радиусом кривизны ближайшей сферы (значительно меньшим по сравнению с тем, который был, когда фокусы совпадали друг с другом и с радиусом сферы). При этом (по мере удаления второго фокуса) первый фокус начнёт приближаться к половине радиуса кривизны ближайшей окружности, и когда изображение в первом фокусе станет анаберационным, это будет означать, что объект прибыл в точку второго фокуса эллипсоида. Но изображение этой точки не достигнет половины радиуса кривизны ближайшей к вершине эллипсоида.
Таким образом вполне очевидно, что изображение точки, расположенной в дальнем фокусе будет построено эллипсоидным зеркалом в ближнем фокусе, который будет расположен где-то на промежутке между центром эллипсоида (частью которого является зеркало) и половиной радиуса кривизны ближайшей к вершине зеркала сферы.

[INPan]

Вот сочинил табличку, которая считает Эксцентриситеты компонентов двухзеркальных систем.
Поместил туда формулы для рассчёта фокусов эллипсоида Д-К.
И вот что получилось. Источник света на расстоянии 2910мм, нож на расстоянии 9408мм. Это при фокусе ГЗ 1200мм. Чёт далековато.

[INPan]

Итак, если принять формулы из "Букваря", то получается, что-то не понятное. Смоделировал я ситуацию с помощью векторной графики, вышло, что ближний фокус находится чуть дальше от зеркала, чем фокус зеркала. Это и понятно. Но почему тогда формулы дают ахинею какую-то?

[INPan]

на каком расстоянии от вершины зеркала будут расположены его фокусы?

до 1го фокуса: F = R/2,
до 2го фокуса: F + 2c = F*[1 +2*e/(1-e)] = F*(1 + e)/(1 - e).
R - радиус при вершине, e - эксцентриситет { = sqrt(e²) } эллипса.

Владимир Ильич, не сочтите за труд, проверьте пожалуйста. "Звезду" ставим в фокусе 1200мм от зеркала. По Вашей формуле выходит, что дальний фокус будет на расстоянии 15м (  ) от зеркала, а это значит, что в обычный теневик форму зеркала будет очень трудно оценить с такого расстояния.