Результаты взвешивания на экваторе и на полюсе Земли.

[xd]

Я имею в виду что довольно уже умозрительных рассуждений.

[Earth-2]

  Deimos, согласен с вами. Последние мои "рассуждения" по этой теме - в пятницу постараюсь привести цифры.
  По мере сплющивания эллипсоида его масса всё больше будет "выдавливаться" в сторооны, то есть центры масс расчётных объёмов всё больше будут удаляться от объекта на полюсе и всё меньшее гравитационное воздействие будут на него оказывать. Уменьшение этого воздействия будет обусловлено ещё и тем, что равнодействующие пар гравитационных сил (диагонали параллелограммов) будут укорочиваться, то есть величины равнодействующих будут уменьшаться.
 

[Ivan-V]

Если я не ошибся это Ваш вопрос?
Серега прав. Запуск ближе к эватору дает сразу скорость 0,5км/сек, что заметно ближе к нужным космическим скоростям.

Слышал, что и Байконур имеет свойства, почти как на экваторе.

[xd]

Это не соответствует действительности.

[Earth-2]

  Через геометрическое построение попытался обосновать утверждение о том, что ускорение свободного падения на экваторе больше, чем на полюсе для невращающегоя эллипсоида. Тут нужно понять, можно ли применить такой подход для решения вопроса темы.

  Примем за модель эллипсоида эллипс. Впишем в него окружность, как модель вписанного в эллипсоид шара.
  Теперь сравним результирующие сил гравитации, действующих на тело массой  m  в точке  A  (что соответствует положению на экваторе эллипсоида) и в точке  B  (что соответствует положению на полюсе эллипсоида).

  Принимаем:
  M – масса вписанного шара.
  M’ – масса вырезанного эллипсоида (эллипсоида без шара).
  Оттношение M’/ M принимаем равным отношению площади вырезанного эллипса к площади круга - это можно доказать, но, я думаю, никто возражать не будет (см. сообщение Earthman "Ответ #88"). По результатам измерений это отношение равно 0,72.
  (.)  О – центр круга (соответствует центру масс шара).
  (..) E и F – геометрические центры вырезанных полуэллипсов (соответствуют центрам масс расчетных объёмов эллипсоида).

  Принимаем:
  F_1 – суммарная сила тяжести, действующая на тело массой m в (.) A. Она равна сумме трёх сил:  силы, действующей в направлении к центру масс E (это сила F_ae), силы, действующей в направлении к центру масс F (сила  F_af) и силы, действующей в направлении к центру масс O (сила  F_ao).
  F_2 – суммарная сила тяжести, действующая на тело в (.) B. Она равна сумме силы  F_be,bf  (на чертеже вектор BK) и силы, действующей в направлении центра масс O (это F_bo). Сила  F_be,bf – результирующая сил F_be (на чертеже вектор BG), действующей по линии BE,  и силы F_bf  (на чертеже вектор BH), действующей по линии BF. То есть:

  F_1 = F_ae + F_af + F_ao;
  F_2 = F_be,bf +F_bo.

  По мере сплющивания эллипсоида силы  F_1 и  F_2  будут  уменьшаться, так как будут уменьшаться величины слагаемых в формулах.
  Для слагаемых силы F_1:
  Сила  F_ae  определяется дробью  GmM×0,5M’/(AE)^2.  При сплющивании эллипсоида величина M будет снижаться, величина M’ – увеличиваться, при этом значение знаменателя будет увеличиваться в квадратичной зависимости. Поэтому величина дроби, то есть значение F_ae, будет падать. Аналогично будет падать значение  F_af.
  Величина силы F_ao  будет уменьшаться  и  из-за увеличения расстояния AO, и из-за уменьшения массы  M  вписанного шара.
  Для слагаемых силы F_2:
Силы  F_be  и F_bf  будут уменьшаться по той же причине, что и силы  F_ae  и  F_af.  По мере сплющивания эллипсоида угол между их векторами будет увеличиваться,  то есть диагональ параллелограмма (см. чертёж) будет уменьшаться. По этим причинам величина силы  F_be,bf  будет падать.
  Величина силы F_bo  будет уменьшаться из-за уменьшения массы  M  вписанного шара.
Из этого можно сделать вывод, что величина ускорения свободного падения на полюсе тонкого диска будет иметь величину, близкую к 0.
  Да, при сплющивании эллипсоида величины сил тяготения для тел с одинаковой массой будут уменьшаться и на экваторе, и на полюсе. Но как будет меняться их соотношение?
Для предельного случая эллипсоида (шара)  AE = 0;  F_1/F_2 = 1. Если удастся показать, что при  AE >0, то есть при полюсном сжатии шара, отношение  F_1/F_2  принимает значения больше единицы, то можно будет сделать такие выводы: величина ускорения свободного падения на экваторе больше, чем на полюсе для невращающегося эллипсоида,  и что по мере сплющивания эллипсоида отношение величины свободного падения на экваторе к такой же величине на полюсе увеличивается.

  Принимаем радиус вписанного шара (отрезок BO) за единицу.

  Тогда по результатам измерений:

  AE = 0, 51;                        AF = 3, 09;                       AO = 1, 81;
  BE = 1, 63;                        BF = 1, 63;                       BO = 1, 00.

  Тогда по расчёту:

  AE^2 = 0, 26;                    AF^2 = 9, 55;                   AO^2 = 3, 28;
  BE^2 = 2, 66;                    BF^2 = 2, 66;                   BO^2 = 1, 00.

  По формуле силы гравитации  F= GmM / R^2  находим (с учётом того, что M’ = 0,72 M  и использованием при расчете сил  F_ae,  F_af,  F_be  и  F_bf величины массы  0,5 M’):

  F_ae = Gm×0, 5 M’/AE^2 = Gm×0, 36 M / AE^2 = 1, 38 GmM;
  F_af = Gm×0, 5 M’/AF^2 = Gm×0, 36 M / AF^2 = 0, 04 GmM;
  F_ao = Gm×M/AO^2 = 0, 30 GmM.
  F_be = Gm×0, 5 M’/ BE^2 = Gm×0, 36 M / BE^2 = 0, 14 GmM;
  F_bf = Gm×0, 5 M’/ BF^2 = Gm×0, 36 M / BF^2 = 0, 14 GmM;
  F_bo = Gm×M / BO^2 = GmM.

  Находим силу  F_be,bf – как равнодействующую сил  F_be  и  F_bf  после измерения диагонали параллелограмма на чертеже и решения соответствующей пропорции (значения сил  F_be  и  F_bf  можно отложить на осях BE и BF в любом масштабе):

  F_be  = F_bf = 0, 14 GmM;    тогда
  F_be,bf = 0, 18 GmM.

  По мере сплющивания эллипсоида диагональ параллелограмма  со сторонами на векторах BE и BF будет всё больше укорачиваться, то есть результирующая  F_be,bf  сил F_be  и  F_bf  будет всё больше уменьшаться. При этом гравитационное воздействие вписанного в эллипсоид шара на объект в (.) B  тоже будет уменьшаться, потому что будет уменьшаться величина массы M.

  По полученным данным имеем:

  F_1 = F_ae + F_af + F_ao = 1, 38 GmM+0, 04 GmM+0, 30 GmM = 1, 72 GmM;
  F_2 = F_be,bf +F_bo = 0,18 GmM+1,00 GmM = 1,18 GmM;

  То есть  отношение силы  F_1  к силе  F_2  будет равно:

  F_1: F_2 = 1, 72 GmM : 1, 18 GmM = 1, 46.

  Можно было бы в единицах измерения (в длинах радиуса вписанного шара) принять определённые параметры и для эллипса, и для вписанного круга, и получить нужные для дальнейшего расчета данные через тригонометрические функции и с использованием программы по определению площадей плоских фигур. "Измерений по чертежу" в этом случае не было бы, но результаты от этого изменились бы очень мало.

  На основе сказанного можно сделать, как минимум, три вывода:

  1). Для невращающегося эллипсоида ускорение свободного падения на экваторе будет больше, чем на полюсе. И для вращающегося тоже – до определённой величины угловой скорости вращения.

  2). По мере сжатия эллипсоида отношение величины ускорения свободного падения на экваторе к той же величине на полюсе будет увеличиваться.

  3). Ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска будет иметь величину, близкую к 0.

  Нельзя формулу силы гравитации использовать формально. Если бы Земной шар не вращался, результат взвешивания на экваторе был бы больше, чем на полюсе.

  Прошу высказываться. Насколько убедительно удалось обосновать заключительные выводы? Как их подтвердить (или опровергнуть) с использованием возможностей математики?
 

[Geen]

Оттношение M’/ M принимаем равным отношению площади вырезанного эллипса к площади круга (это можно доказать, но, я думаю, никто возражать не будет).

Я возражаю.

Она равна сумме трёх сил:

Пропущены "полуэллипсоиды" за и перед картинкой.

Тут нужно понять, можно ли применить такой подход для решения вопроса темы.

Не годится - "потеря" объёма существенно искажает результат. Если не согласны, то докажите.

И вообще, стоило бы вместо "измерений" приводить рассчёты.

[xd]

Зачем все эти прикидки, сделанные исходя из очень грубых предположений?

[Earth-2]

Оттношение M’/ M принимаем равным отношению площади вырезанного эллипса к площади круга (это можно доказать, но, я думаю, никто возражать не будет).

  Я возражаю.
  К о н е ц   ц и т а т ы   Geen.

  Ответ  Earthman:   

  Объём тела – это сумма объёмов тонких срезов (в нашем случае – срезов, симметричных относительно оси вращения эллипсоида). Объём каждого среза – произведение его площади на толщину.
 
     Примем:

  M’ –    масса вырезанного эллипсоида.
  M –     масса вписанного шара.
  S_э –  площадь вырезанного эллипса (она же – площадь среза вырезанного эллипсоида).
  S_к –  площадь круга (она же – площадь среза шара).
  V_э –  объём вырезанного эллипсоида.
  V_ш – объём шара.
  h  –    толщина среза.
  n  –    количество срезов.

  При одинаковой удельной массе отношение масс равно отношению объёмов, то есть:

  M’ / M = V_э / V_ш =  S_э×h× n / S_ш× h× n = S_э / S_к,   то есть
  M’ / M = S_э / S_к.

  Получается, что отношение массы вырезанного эллипсоида к массе вписанного шара равно отношению площади вырезанного эллипса к площади круга.
  Именно об этом я и говорил (см. сообщения Earthman "Ответ #79" и "Ответ #88").

[it]

Зачем все эти прикидки, сделанные исходя из очень грубых предположений?

А Вы ожидали, что кто-то будет интегрировать?
Не надо искать лёгких путей!

[Earth-2]

  Использование в расчётах результатов измерений по чертежу – допустимый инженерный приём. Но в данном случае его, возможно, применять не стоило.

  Кто-нибудь сможет посчитать эту тему?

  По поводу расчётов: в теме «Коррекция орбиты Земли» я сделал расчёт, в отличие от вчерашнего, по программе на ФОРТРАН 90. И никому он оказался не нужен.
  Последнее сообщение по этой теме было 14 июля этого года (на 4-ой стр.), кто захочет – сможет посмотреть.

 

[Earth-2]

  Geen, что вы скажете по сообщению Earthman "Ответ #67"Я смог вас убедить?
  Ведь действительно получается, что  M’ / M = S_э / S_к.  И никаких дополнительных "полуэллипсоидов за и перед картинкой" здесь не надо (см. сообщения Earthman "Ответ #79" и "Ответ #88").

 

   На основе сказанного можно сделать, как минимум, три вывода:

  1). Для невращающегося эллипсоида ускорение свободного падения на экваторе будет больше, чем на полюсе. И для вращающегося тоже – до определённой величины угловой скорости вращения.
  2). По мере сжатия эллипсоида отношение величины ускорения свободного падения на экваторе к такой же величине на полюсе будет увеличиваться.
  3). Ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска будет иметь величину, близкую к 0.

  Нельзя формулу силы гравитации использовать формально. Если бы Земной шар не вращался, результат взвешивания на экваторе был бы больше, чем на полюсе.

 
  Если кто-то не согласен с этими выводами – сделайте, пожалуйста, в подтверждение своей позиции расчёт на более высоком уровне!

[Интересующийся Дед]

На основе сказанного можно сделать, как минимум, три вывода:
  2). По мере сжатия эллипсоида отношение величины ускорения свободного падения на экваторе к такой же величине на полюсе будет увеличиваться.
  3). Ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска будет иметь величину, близкую к 0.

Коль скоро, как Вы утверждаете, \(g\) “на полюсе тонкого диска” стремится к нулю, то:
 а) Разве это не означает, что толщина диска стремится к нулю?
 б) Коль скоро толщина диска стремится к нулю, разве это не означает, что радиус диска стремится к бесконечности? Уловили неполноту/ошибку Ваших рассуждений?
 в) бремя доказательства лежит на авторе утверждения. Это даже не обсуждается. Расчёт за Вами.

[Earth-2]

 

Коль скоро, как Вы утверждаете, \(g\) “на полюсе тонкого диска” стремится к нулю, то:
 а) Разве это не означает, что толщина диска стремится к нулю?
 б) Коль скоро толщина диска стремится к нулю, разве это не означает, что радиус диска стремится к бесконечности? Уловили неполноту/ошибку Ваших рассуждений?
 в) бремя доказательства лежит на авторе утверждения. Это даже не обсуждается. Расчёт за Вами.

  Отвечаю по пункту "a".  Конечно же, означает! С единственным уточнением. Я никогда и нигде не говорил, что ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска  с т р е м и т с я  к 0 (то есть из моих слов не следует, что толщина диска стремится к 0). Я говорил, что ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска  и м е е т  в е л и ч и н у, близкую к 0. Это разные понятия: "стремится" – это динамика, а "имеет величину" – это статика. Под "тонким диском" я понимаю диск с большим отношением диаметра к толщине. "Большое отношение" – субъективное понятие. Для меня диск с этим отношением, равным 100 – уже тонкий.
  Отвечаю по пункту "б". Конечно же, означает! С единственным уточнением. В нашем случае толщина тонкого диска не стремится к 0 (см. п. "a").
  Отвечаю по пункту "в": как автор утверждений, точнее, выводов (см. цитату),
 

  1). Для невращающегося эллипсоида ускорение свободного падения на экваторе будет больше, чем на полюсе. И для вращающегося тоже – до определённой величины угловой скорости вращения.
  2). По мере сжатия эллипсоида отношение величины ускорения свободного падения на экваторе к такой же величине на полюсе будет увеличиваться.
  3). Ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска будет иметь величину, близкую к 0.

  … я принял на себя "бремя": это или бремя их доказательства, или бремя их опровержения.
      "Это даже не обсуждается"!

       С уважением, Earthman.
   

                                                                                                                                                     
 

[Руслан Мухутдинов]

   

На экваторе самое большое центростремительное ускорение из-за наибольшего радиуса вращения точки.
   
   Центростремительное ускорение при увеличении радиуса кривизны не увеличивается, а, наоборот,  у м е н ь ш а е т с я.  Потому что оно выражается отношением квадрата линейной скорости к радиусу:

                                                    a_n = V^2/R

   Зная, что угловая скорость вращения Земли всего лишь 15 градусов в час, можно было предположить, что это будет незначительная величина (потому что центростремительное ускорение пропорционально квадрату угловой скорости). Так и оказалось. Если в эту формулу подставить соответствующие значения (V = 463,8 м/сек, экваториальный радиус Земли R = 6, 3711x10^6 м), то получим значение центростремительного ускорения всего лишь 3 см(!)/сек^2. 
 

Автор цитаты Руслан Мухутдинов лихо путает угловую скорость и линейную, отсюда и никакой результат.
Для справки, линейная скорость на экваторе 1666,67 км/час

Расчет центростремительного ускорения точки на экваторе верен и составляет около 3,5 см/с^2- можете посчитать на досуге, прежде, чем ссылаться на мои слова, с чего взяли, что она является большой величиной?

[Geen]

Получается, что отношение массы вырезанного эллипсоида к массе вписанного шара равно отношению площади вырезанного эллипса к площади круга.

Нет, не получается, Ваши рассуждения неверны - либо толщина переменная (при осевой системе сечений), либо фигуры сильно не соответствуют показанным на картинке (при параллельных сечениях).

К слову, формулы площади эллипса (\(\pi a b\)) и объёма эллипсоида (\(\frac{4}{3}\pi a b c\)) есть даже в википедии.

[Erg Noor]

Я говорил, что ускорение свободного падения на полюсе тонкого диска  и м е е т  в е л и ч и н у, близкую к 0. Это разные понятия: "стремится" – это динамика, а "имеет" – это статика. Под "тонким диском" я понимаю диск с большим отношением диаметра к толщине. "Большое отношение" – субъективное понятие. Для меня диск с этим отношением, равным 100 – уже тонкий.

Близкое к нулю -- тоже субъективное.

В конце концов мы можем устремить R в бесконечность и получить поле бесконечной плоскости.
В вашей терминологии этот диск будет бесконечно тонок.
Однако, как известно из курса физики, мы получим ускорение
\[
g_{pl} = 2\pi G \rho h
 \]
Выбирая любую конечную h -- толщину диска, мы можем регулировать ускорение.

Такой "супердиск", как известно(и как видно из формулы), кошмарен тем, что создает равное ускорение везде и всем.

[Earth-2]

  Спасибо за информацию последних сообщений.
  По центростремительному ускорению: Руслан Мухутдинов, мы пришли к единому мнению? В этой теме величина центростремительномго ускорения была посчитана и для экваториального радиуса (3 см/сек_2), и для радиуса 8 тыс. км (4см/сек_2). Да, оно увеличивается при неизменной угловой скорости вращения, потому что прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу (a_n = V_2/R). Но незначительно. Верно?

  По пропорциональности масс и площадей боковых поверхностей вырезов. Geen, почему, по-вашему, при параллельных сечениях, будет несоответствие изображения на чертеже реальной боковой поверхности выреза эллипсоида?
  Представьте: вырезы имеют одинаковую, на много порядков меньшую, чем величина оси эллипсоида, толщину "h" - и вертикальная ось симметрии  к а ж д о г о  из них  с о в п а д а е т  с вертикальной осью эллипсоида. Делаем "n" вырезов. И ведь получаем, что сумма объёмов вырезов – это объём эллипсоида!
  С учётом этого получаем, что M' / M = S_э / S_ш, то есть отношение массы вырезанного эллипсоида к массе вписанного шара равно отношению площади вырезанного эллипса к площади круга. Что, по-вашему, здесь неверно? (См. сообщения Earthman "Ответ #79" и "Ответ #88")

   Erg Noor, я бы не стал сейчас "устремлять радиус в бесконечность и получать поле бесконечной плоскости". Потому что, прежде всего, хочется понять, как будет вести себя тело при падении на полюс диска с массой Земли и с толщиной скажем, в 1000 км (при такой толщине диск с объёмом Земли будет иметь диаметр 1,17×10_9 м, что составляет примерно 92 диаметра Земного шара).
   Хотелось бы определиться с ответом на вопрос: в этом случае тело будет падать на полюс диска с ускорением, превышающим величину "g" (что, вроде бы, следует из формулы силы тяготения), или оно будет падать с ускорением, меньшим "g"?
   
   И ещё: к сожалению, не было высказано  н и  о д н о г о  мнения по поводу утверждения: в центре объёма – и шара, и диска – тело будет находиться в состоянии невесомости. 
   Потому что все векторы сил гравитации, действующих на тело, уравновесят друг друга.

[Geen]

почему, по-вашему, при параллельных сечениях, будет несоответствие изображения на чертеже реальной боковой поверхности выреза эллипсоида?

Потому что если разрезать на расстоянии b (малая полуось) от "базовой" плоскости, то в сечение попадёт только "полуэллипсоид"...

вырезы имеют одинаковую, на много порядков меньшую, чем величина оси эллипсоида, толщину "h" - и вертикальная ось симметрии  к а ж д о г о  из них  с о в п а д а е т  с вертикальной осью эллипсоида.

Все разрезы проходят через ось эллипсоида?? - тогда что такое "толщина"?

Что, по-вашему, здесь неверно?

Формулы для площади и объёма я уже приводил... Простите, но больше я об этом не буду.

диска с массой Земли и с толщиной скажем, в 1000 км (при такой толщине диск с объёмом Земли будет иметь диаметр 1,17×10_9 м, что составляет примерно 92 диаметра Земного шара).

неверные рассчёты...

[Руслан Мухутдинов]

  Спасибо за информацию последних сообщений.
  По центростремительному ускорению: Руслан Мухутдинов, мы пришли к единому мнению? В этой теме величина центростремительного ускорения была посчитана и для экваториального радиуса (3 см/сек_2), и для радиуса 8 тыс. км (4см/сек_2). Да, оно увеличивается при неизменной угловой скорости вращения, потому что прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу (a_n = V_2/R). Но незначительно. Верно?

Согласен, но мне проще было оперировать формулой квадрат угл. скорости, умноженный на радиус вращения). В остальную полемику даже не буду вступать, это уже слишком сложновато, да и не люблю (и не помню) тригонометрию и интегрирования.

[Earth-2]

  При выполнении вырезов в эллипсоиде параллельными плоскостями (когда оси вырезов совпадают с осью эллипсоида) повторно учитывается один и тот же объём (см. чертёж в приложенном файле). Действительно, так объём определить нельзя.

  Правильный расчёт диаметра диска с объёмом Земли и толщиной 1000 км будет такой.

  Возьмём за радиус Земного шара средний радиус Земли, принятой за шар (6 371,1 км, или  6,37×10^6 м).
  Найдём объём Земного шара:

  V_з = 4πR^3 / 3 = 4,19×R^3 = 4,19×(6,37×10^6 м)^3 = 4,19×258,47×10^18 м^3 = 1082,99×10^18 м^3 = 1,083×10^21 м^3.

  Тогда площадь диска с этим объёмом и толщиной  h = 1000 км будет равна:

  S_д = V_з / h = 1,083×10^21 м^3 / 10^6 м = 1,083×10^15 м^2.

  Диаметр D_д  этого диска будет равен по формуле площади круга (S = πD^2/4)  квадратному корню из выражения  4 S_д / π, или квадратному корню из:

  4×1,083×10^15 м^2 / π = 1,379×10^15 м^2 = 13,79×10^14 м^2, то есть диаметр диска будет равен:
  D_д = 3,713×10^7 м = 37 130 000 м = 37 130 км.

  Диаметр Земли, принятой за шар, равен 12 742, 2 км. Поэтому диаметр диска с объёмом Земли и толщиной 1000 км будет больше диаметра Земного шара всего лишь в 2,91 раза.

  Но сути вопроса это не меняет: с каким ускорением свободного падения будет падать тело на полюс диска с объёмом и массой Земли и толщиной 1000 км – больше, или всё-таки меньше, чем "g"?