Кое что о мышлении. Почему математика - эмпирическая наука?

[Дед Моррозоу]

насколько разными могут быть эти абстракции? как выглядит арифметика "с точки зрения" электрона, например?

Понятное дело - что совершенно другая арифметика будет. А третья арифметика будет на субсветовых скоростях и галактических масштабах. А четвёртая - ещё как-нибудь.
Наша арифметика подстроена под хомосаповский масштаб вселенной и совершенно неподстроена под другие масштабы. Однако... такое чувство, что она всё же имеет исключительный характер.
Однако,

[LUKA]

Даже если канонически понимать слово "арифметика", то и тогда мы можем встретиться с разными арифметиками - например, с арифметикой целых гауссовых или действительных чисел (по сути - евклидовой  геометрией). Мы можем просто взять нитку, бутылку и линейку и физическим измерением оценить число Пи.

Кстати, арифметика действительных чисел полна и теорема Геделя к ней неприменима. Это так, вдруг вспомнилось.

В самой логике, кстати, эмпиризм цветет и пахнет.
Опустим тривиальность, связанную с физическим манипулированием символами при формальном выводе.
В логике первого порядка нет алгоритма поиска общезначимых логических теорем.
А логика второго порядка вообще неполна - ищем истины сколько угодно. Прямо как в неполной арифметике.

[LUKA]

Я написал ответ только на вторую часть темы. Но она - для меня вступление и в первую: "кое-что о мышлении".
Из того, что написал, следует, что манипулирование макродискретностями (символами) - это по сути наша свобода делать физические эксперименты определенного рода. Мы их можем делать даже в голове. Наша голова - тоже физическая лаборатория.
Но здесь задался вопрос - а всю ли физику можно оцифровать - представить в виде символов.
Предполагаю - точно нет.
Не все закономерности выразимо символикой.
Возможно - невыразимо и понятие "Я", хотя и описуема частично феноменология его проявление - ощущение свободы выбора действий.

[незлой]

интересная ситуация:

некто мотидзуки представил доказательство теории, которое однако никто не понимает, кроме самого мотидзуки. вообще никто.

так доказана ли теория?

[chiahua]

некто мотидзуки представил доказательство теории, которое однако никто не понимает, кроме самого мотидзуки. вообще никто.

некто мотидзуки представил доказательство теории в терминах, которых никто кроме него не понимает, термины раскрывать он то же не желает.
И какая цена этому доказательству? Ему остается как Пифагору создать тайное общество и открыть знание избранным.

Если задано подмножество слов формального языка, называемых аксиомами, а также -  правила вывода, каждое из которых представляет собой совокупность конечного множества слов, называемых посылками и одного слова, которое  называется заключением, то доказательством или выводом  в такой системе называется конечная последовательность слов, каждое из которых является либо аксиомой, либо заключением правила вывода, посылками которого являются некоторые слова из предшествующих данному слову в этой последовательности. Это общее понятие доказательства относится к любой формальной теории и в каждом конкретном случае является математическим объектом.
Для всякой рекурсивно аксиоматизированной теории множество доказательств разрешимо, т.е. существует эффективный формальный способ отличить доказательство от цепочки слов, не являющейся таковым. Это означает, что для таких теорий правильность доказательства всегда может быть эффективно проверена, и следовательно, гарантирована.

http://www.keldysh.ru/papers/2006/prep77/prep2006_77.html
И похоже стьюдэнт ушел в свободный полет, и его доказательство целиком состоит из неизвестных аксиом. Чем черт не шутит - может действительно чел изобрёл новую математику. У японцев вообще доминирует другое полушарие, может он своим левым и дошел до чего то, до чего правое дойти не в силах.

[незлой]

И какая цена этому доказательству?

а какова цена наших оценок?

[chiahua]

а какова цена наших оценок?

Объективно оценить Мисс Неочевидность? Это нереально. И грош цена в базарный день этому доказательству.
Нужно признать, что некоторые признанные теории (множеств, к примеру) получили одобрение, но не имеют до сих пор непротиворечивой системы посылок (аксиом). Но, они - по крайней мере понятны.

Что касается теории множеств, то в настоящее время существует несколько версий её аксиоматизации, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками, так что говорить о её окончательном построении ещё рано. Наиболее вероятно, что различные варианты будут существовать и развиваться параллельно, подобно тому, как существуют различные геометрии. На это указывает, например, несовместимость аксиом выбора и детерминированности, каждая из которых даёт важные положительные результаты, так что нет оснований для предпочтения какой-либо одной. 

Оттуда же. Спасибо ИПМовцам (написано просто о сложных вещах).
А развитие ситуации я вижу так - японцы имеют женскую психику, т.е. поломается-поломается и наконец объяснит все. С другой стороны, может дорабатывает еще что-то и до поры до времени не хочет
сырой матерьял объяснять.
Оказывается долгострой и в математике существует.

[незлой]

Нужно признать, что некоторые признанные теории (множеств, к примеру) получили одобрение, но не имеют до сих пор непротиворечивой системы посылок (аксиом).

т.е. математика -- наука эмпирическая.
в чём, собственно, и состоит поинт данной темы

[chiahua]

т.е. математика -- наука эмпирическая.

Ну уж нет. Почитайте статью для начала. Там все очень хорошо расписано (с математической точностью).
Эмпиризм за пределами математики, он как бы приобщается походу, там где может это сделать. А, там где не может, это его проблемы. Тем хуже для факта, как говорил один известный человек.
 

[незлой]

Эмпиризм за пределами математики

дану? а на основании чего тогда теория множеств общепризнана без доказательств? она "правдоподобно выглядит"?
а что это значит "правдоподобно выглядеть"?

[chiahua]

а на основании чего тогда теория множеств общепризнана без доказательств? она "правдоподобно выглядит"?

Страшного в этом ничего нет. Базовые аксиоматические абстракции с этого начинали. Точка или прямая? Приняли же без доказательств. И без эмпиризма-вампиризма. 

[незлой]

т.е. откуда берётся эта "правдоподобность" и "аксиоматика" вам неинтересно. берутся себе и берутся.
ну, ладно.

[chiahua]

Берутся легко потому, что мозг работает на той же логике. Отсюда и вся "загадочная из себя" интуиция. И к бабке не ходи! Вот здесь я с т.Яновым категорически не согласен.
А то додумались -

Если обратиться к истории не только математики, но и науки вообще, то легко убедиться в том, что большинство кардинальных научных открытий произошло путём неожиданных «прозрений», т.е. интуитивно, а не путём логических умозаключений. Сам термин «интуиция», обозначающий в переводе на русский язык «усмотрение» или «видение», т.е. непосредственное восприятие объекта, даёт основание утверждать существование у человека определённой способности «интеллектуального умозрения», наподобие чувственного зрения.

Оккультизм в математике? Третий глаз, тыры пыры.

[незлой]

Берутся легко потому, что мозг работает на той же логике.

а, так мозг у нас тоже продукт математики?.. или, по крайней мере, находится с ней в непостижимом родстве.. ?
сколько сразу предположений появляется, вместо одного простого: математика -- эмпирическая наука, 2*2=4 -- эмпирический, бесчисленное множество раз экспериментально подтверждённый факт, как и a²+b²=c², например (и вся прочая геометрия)
процесс эволюции тоже можно считать эмпирическим процессом (т.е. грубо говоря мозги, для которых 2+2=5 вычёркиваются отбором как несоответсвующие среде), отсюда берётся "таже логика"

[chiahua]

Ну, если хотите, то где-то так. Только, перефразирую - логика, на которой работает мозг и которую использует математика - идентичны. Напрягите ваше чувственное зрение, плиз.

[chiahua]

грубо говоря мозги, для которых 2+2=5 вычёркиваются отбором как несоответсвующие среде

А с чего вы вдруг решили, что отбор меняет основополагающие принципы работы мозга. Он конечно могуч, но не всемогущий. Хотя я не раз встречал людей которым "2+2= "семь-восемь где то так". Есть люди которым логика вообще чужда, и что с того.

[незлой]

А с чего вы вдруг решили, что отбор меняет основополагающие принципы работы мозга.

извините, не понял постановки задачи.
чего я решил?

[chiahua]

извините, не понял постановки задачи.
чего я решил?

Да, не ставил я никакой задачи. Ну, не решили пока, и ладушки.

[незлой]

[уточняя] т.е. эволюция мозга не имеет отношения к его функционированию? или отбор не участвует в эволюционном процессе? или вы о чём?

[гравицап]

это компьютерное доказательство того, что географическую карту, разделённую на области, мы всегда можем раскрасить не более, чем 4 цветами, так, чтобы все соприкасающиеся области были разных цветов.

непонятно какое тут может быть компьютерное доказательство. если разделить на области так, что одна из областей будет граничить с четырьмя другими, то 4 цвета не хватит... можно разделить так, что хватит двух...
Математика - наука, изучающая основополагающий закон мироздания о причинно-следственных связях