Определить время по тени от стены

[Эдвард]

   Итак, ваши исходные данные (округляю):
   Склонение Солнца a = 23 градуса, cos(a) = 0,92 , sin(a) = 0,39 .
   Широта (северная разумеется) t = 57 градусов, cos(t) = 0,54 , sin(t) = 0,84 .
   С полднем (солнечным) разобрались ранее. Допустим, он был ровно в 12.00 . Рассчитаем  для интервала 2 часа от полудня туда-сюда, т.е. для времён 10.00 и 14.00:
   Находим угол f:  f = 2(часа)/24*360 = 30 градусов, cos(f) = 0,87 , sin(f) = 0,5 .

   Начинаем расчёт. Находим угол w наклона Солнца  к горизонту к зениту по формуле:
   cos(w) = cos(a)*cos(t)*cos(f)+sin(a)*sin(t) = 0,92*0,54*0,87+0,39*0,84 = 0,76 , значит w =40,5 градусов. sin(w) = 0,65 , tg(w) = 0,86 .
   Находим угол v наклона тени к меридиану по формуле:
   sin(v) = cos(a)*sin(f)/sin(w) = 0,92*0,5/0,65 = 0,71 . Значит, v = 45,2 градуса.

   Длина тени d = L*tg(w) = 4,6*0,86 = 3,96 метра

Вычисление, конечно, интересное. Спасибо. Только вот тема стены, по-моему, недораскрыта. Насколько я понял, Ваши формулы выполняют примерно ту же функцию, что и этот калькулятор: http://planetcalc.ru/320/ - т. е. находят длину тени от шеста (угол наклона Солнца над горизонтом, и т. д.). Но как длина тени от шеста соотносится с длиной тени от повёрнутой стены, всё же остаётся пока загадкой.

Кстати, воспользовавшись результатами калькулятора, мне без особого труда ранее удалось вычислить длины теней от шеста (для определённого дня, разумеется) на каждый час. Только вот значение 3,86 м соответствует не 10-ти и 14-ти часам, а 12-ти и 16-ти (т. е. как раз с интервалом по два часа от реального полудня, а не часового). 

[Эдвард]

А вот так решение моей задачи может выглядеть геометрически.

Пояснение: a - углы, d - тени, L - стены, p - проекции, pd - проекции теней, центральная точка - предполагаемый шест (гномон). Особое внимание здесь стоит обратить на проекции теней от косых стен – они меняются в зависимости от направления Солнца, а значит, эти изменения можно как-то математически вычислить. Наиболее оптимального метода пока не придумал, но продолжаю искать...  

[Крупин]

   Я уже писал в ответе #11 как надо решать задачу графически. Повторю ответ ещё раз:

    Если Вы мыслите в большей степени наглядно-графически, чем аналитически, то поступите так: Изобразите на карте забор. И один и кольев этого забора будет гномоном. Нарисуйте на карте линию, пробегающую концом тени гномона за день. Нарисуйте линию тени от забора в интересующий Вас момент. Точка в которой линия гномона пересечётся с прямой линией края тени от забора и даст Вам информацию. Линия от гномона до точки пересечения и будет тенью гномона в искомый момент.

[Эдвард]

А теперь с помощью Ваших формул попробую доказать или опровергнуть свою теорию о том, что в каком бы положении не находилось Солнце в течение одного светового дня, концы теней от шеста будут проходить по одной и той же параллели.

Обозначения:

a – угол склонения Солнца к земной оси
d – длина тени от шеста
f – угол временного отклонения от абсолютного (реального) полдня
L – высота шеста
n – номер дня года от 1 января
t – широта
T – обоюдный интервал времени отклонения от абсолютного полдня
v – угол наклона тени к меридиану
w – угол наклона Солнца к зениту (к шесту)
23,45º – максимальный угол склонения Солнца к земной оси
360º – окружность земного шара
365 – количество дней в году (кроме високосного)
81 – количество дней от начала года до дня весеннего равноденствия
24 – количество часов в сутках

Выведение полной формулы длины тени от шеста: 

d = L*tg(w)
d = L*tg(acos((cos(a)*cos(t)*cos(f))+(sin(a)*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*cos(t)*cos(f))+(sin(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*sin(t))))

Вычисление (для удобства введу те же данные, что присутствовали и в Ваших формулах):

d = L*tg(acos((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(173-81)))*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(173-81)))*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(asin(sin(23,45º)*sin(0,98*92))*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(asin(sin(23,45º)*sin(0,98*92))*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(asin(sin(23,45º)*sin(90º))*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(asin(sin(23,45º)*sin(90º))*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(asin(0,39*1)*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(asin(0,39*1)*sin(t))))
d = L*tg(acos((cos(23,45º)*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(sin(23,45º)*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(t)*cos((T/24)*360º))+(0,39*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(t)*cos((2/24)*360º))+(0,39*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(t)*cos(0,08*360º))+(0,39*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(t)*cos(30º))+(0,39*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(t)*0,87)+(0,39*sin(t))))
d = L*tg(acos((0,92*cos(56,6º)*0,87)+(0,39*sin(56,6º))))
d = L*tg(acos((0,92*0,55*0,87)+(0,39*0,83)))
d = L*tg(acos(0,44+0,32))
d = L*tg(acos(0,76))
d = L*tg(40,5º)
d = L*0,85
d = 4,6м*0,85
d = 3,91м

Всё сошлось! (Хотя формулу, наверное, можно было бы как-то и подсократить)

Выведение полной формулы угла тени к меридиану:

sin(v) = (cos(a)*sin(f))/sin(w)
v = asin((cos(a)*sin(f))/sin(w))
v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*sin(f))/sin(w))
v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*sin((T/24)*360º)))/sin(w))
v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81)))*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))

Вычисление:

v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(173-81)))*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin(0,98*92))*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((cos(asin(sin(23,45º)*sin(90º))*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((cos(asin(0,39*1)*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((cos(asin(0,39)*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((cos(23,45º)*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((0,92*sin((T/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((0,92*sin((2/24)*360º)))/sin(atg(d/L)))
v = asin((0,92*sin(0,08*360º))/sin(atg(d/L)))
v = asin((0,92*sin(30º))/sin(atg(d/L)))
v = asin((0,92*0,5)/sin(atg(d/L)))
v = asin(0,46/sin(atg(d/L)))
v = asin(0,46/sin(atg(3,91м/4,6м)))
v = asin(0,46/sin(atg(0,85)))
v = asin(0,46/sin(40,3º))
v = asin(0,46/0,64)
v = asin(1,25)
v = asin(0,71)
v = 45,2º

Надо же! Опять сошлось.

Теперь применим тригонометрически вычисленные данные к моей геометрической проекции. Рассмотрим в качестве наглядного примера треугольник со сторонами d1-p1-d3, где d1 – длина тени в полдень (d = L*tg(w) = L*tg(90º-56,6º) = L*tg(33,4º) = 4,6*0,66 = 3м), p1 – неизвестно, а d3 – длина тени спустя (за) 2 часа после (до) истинного полдня (3,91м). Кроме того, известен угол двухчасовой тени по отношению к меридиану (или полуденной тени) (45,2º). Предположим, что треугольник d1-p1-d3 является прямоугольным, а посему попробуем проверить это известными свойствами прямоугольных треугольников, основанными на теореме Пифагора. Как известно, косинус острого угла равен результату деления прилежащего катета на гипотенузу. Проделаем эту незатейливую операцию: cos(a1) = d1/d3 = 0,76, что соответствует углу 40,5º, и входит в явное противоречие с углом v, найденным по правильной формуле.

Отсюда вывод: моя теория неверна, а проекция ошибочна. Концы меняющихся теней от шеста не следуют по одной параллели, а описывают некую дугу. Вопрос лишь в том, что это за дуга, постоянная ли она в течение года, и можно ли её как-то геометрически спроецировать и измерить...   

[Крупин]

А теперь с помощью Ваших формул попробую доказать или опровергнуть свою теорию о том, что в каком бы положении не находилось Солнце в течение одного светового дня, концы теней от шеста будут проходить по одной и той же параллели.

    Я выводил формулы сам из-за того, что навскидку не нашёл их в сети, да и для некоторого упражнения. Но формулы, разумеется, известны давно. В теме https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,84818.0.html есть ссылка на сайт http://www.astronet.ru/db/msg/1177040/chapter3_5.html эти формулы содержащий. Это первые две формулы переходыа из экваториальных координат в горизонтальные:

[30 апреля]

Проблема в том, что необходимо определить время по тени на фотографии. Реконструкция запечатлённого момента в данное время не представляется возможной. Посему вся надежда на науку.

Это первые две формулы переходыа из экваториальных координат в горизонтальные:

 Наконец-то, пришли к сферической тригонометрии..
Проблема в том, что мы имеем не шест, а стену. Но проблема невелика.
Установим свой глаз на край тени стены и… взглянем на небо. Проекция стены на небо даст кривую линию, координаты которых (азимутальные) будут Аst, Гst (азимут и высота стены). Для удобства заменим Гst на Zst (зенитное расстояние, Гст =  90-Zст)

 Понятно, что эту кривую линию Солнце может пересекать в течении года в разных местах, таким образом, определить время не зная даты снимка, невозможно.

Если дата известна, то для Солнца известно склонение для этого дня. В этом случае Солнце может пересечь кривую до 2 раз в сутки, имея азимутальные координаты
 Аs, Zs.
Этим координатам будут соответствовать экваториальные – Ds, Ts. Пересчёт одних в другие осуществляется по формулам сферической тригонометрии.

Таким образом, известные данные:
Act, Zct – азимут и зенитное расстояние точек стены
As, Zs – то же для Солнца
Ds, Ts – экваториальные координаты Солнца (склонение, часовой угол)
L, Fi – долгота и широта пункта, необходимая для пересчёта As, Zs в Ds, Ts и обратно.
Если высокой точности не требуется, то можно просто высчитать склонение Солнца по упрощенной формуле, приведённой Эдвардом
    Ds = 23.45 x sin ((360/365) x (d – 81)), где d – номер дня года от 1 января,
 А Ts считать функцией времени (0 – если Солнце в меридиане, в кульминации). При этом знание долготы L не понадобится.

Обозначим:
Hct – высота стены
Lct – длина тени стены, считаемая от стены перепендикулярно её направлению
Аct0 – азимут направления стены (примем тот азимут, что идёт к югу, например на ю-з будет Аct0=45°)

DA = Аct0 – As разность азимутов направления стены и на Солнце.

Из простеших соображений, длина тени стены в любой момент

  Lct = Hct * (sin(DA)/(tg(90-Zs)), или

   sin(DA)/(tg(90-Zs)= Lct / Hct

Получили соотношение, которое проще всего решается подбором, хотя возможно и решение системы уравнений
Напомним, как вычисляется азимут и высота Солнца (Крупин уже привёл)
  Cos(Zs)=sin(Fi) * sin(Ds) + cos(Fi) * cos(Ds) * cos (Ts)
  Sin(As) = cos(Ds) * sin(Ts)/sin(Zs)
  Cos(As)=-cos(Fi) * sin(Ds) + sin(Fi)*cos(Ds)*cos(Ts)
Здесь задаёмся часовым углом Солнца (временем после верхней кульминации, выраженном в градусах 15° = 1 ч); вычисляем азимут и высоту Солнца, далее смотрим длину тени.. и подбираем, что вполне достаточно.

 Для точного решения можно принять проекцию верхнего края стены на небо большим кругом, и составить систему уравнений…

PS Не забываем, что четверть азимута Солнца подбирается в соответствии со знаками синуса и косинуса.. Именно поэтому в сферической тригонометрии для неизвестной величины всегда приводится 2 значения

[Эдвард]

Наконец-то, пришли к сферической тригонометрии.

Огромное спасибо за столь углублённое рассмотрение данной темы с точки зрения сферический тригонометрии. Учитывая дефицит информации в Сети, выглядит действительно грандиозно. Но честно признаюсь: понимание сферической геометрии порой ускользает. Возможно, это вызвано путаницей в терминологии, возможно, элементарным незнанием предмета. Например, если есть чёткое представление о проекции теней на горизонтальной плоскости Земли, то не совсем понятно, что значит «проекция стены на небо»: «небо» – это плоскость (математический горизонт) или купол?. Так же двоякое понимание складывается об «азимуте стены» («зенитном расстоянии стены») и «азимуте Солнца» («зенитном расстоянии Солнца»), ибо это может быть рассмотрено и как дуга, и как угол. В этом плане гораздо удобнее было бы оперировать такими категориями, как меридианы, параллели, вертикали.   

В связи с этим хотелось бы сделать некоторые уточнения. Правильно ли я пониманию, что:

«Азимут точек стены» (Act, Act0) – это горизонтальный угол поворота стены относительно меридиана?
«Зенитное расстояние точек стены» (Zct) – это острый угол между катетом и гипотенузой вертикального прямоугольного треугольника, углами которого являются: точка вершины стены, точка края тени на уровне вершины стены и точка соединения на небе вертикальной линии от точки тени и диагональной линии от точки вершины стены? (Правда, в таком случае необходимо знать высоту неба (или плоскости математического горизонта))
Чем азимутальные координаты отличаются от географических, и как их вычислить (в градусах)?
Почему проекция прямой стены на небо будет выглядеть в виде кривой?
Как перевести в градусы высоту стены?
 
А лучше бы, конечно, всё это изобразить графически на плоскостях в разных относительностях. По крайней мере, будет хоть какое-то представление о правилах сферической геометрии. Пока же приходится только путаться в догадках.

[Маринер-9]

В связи с этим хотелось бы сделать некоторые уточнения. Правильно ли я пониманию, что:

«Азимут точек стены» (Act, Act0) – это горизонтальный угол поворота стены относительно меридиана?

Act0 – это горизонтальный угол поворота стены относительно меридиана (азимут, отсчитываемый от направления на юг)
 Act - это видимый азимут с границы тени.

«Зенитное расстояние точек стены» (Zct) – это острый угол между катетом и гипотенузой вертикального прямоугольного треугольника, углами которого являются: точка вершины стены, точка края тени на уровне вершины стены и точка соединения на небе вертикальной линии от точки тени и диагональной линии от точки вершины стены? (Правда, в таком случае необходимо знать высоту неба (или плоскости математического горизонта))
 

Это угол при центре тени между направлениями на зенит и край стены

Чем азимутальные координаты отличаются от географических, и как их вычислить (в градусах)?

  Ну, батенька, Вы задачки задаёте..

Почему проекция прямой стены на небо будет выглядеть в виде кривой?
Как перевести в градусы высоту стены?

  Она идёт по поверхности Земли в виде дуги. Проекция будет кривой
Тангенс отношения высоты к расстоянию

А лучше бы, конечно, всё это изобразить графически на плоскостях в разных относительностях. По крайней мере, будет хоть какое-то представление о правилах сферической геометрии. Пока же приходится только путаться в догадках.

   Ну дак карты Вам в руки!

А если серьёзно:
1. Вам удалось определить время по фотографии (то есть решить Вашу задачу?)
2. Если хотите изучить сферическую тригонометрию, наберите в поисковике.. Мне лично ничего не понравилось. Поэтому прилагаю фото из книги П. Г. Куликовского «справочник любителя астрономии». Собственно, когда-то я всё это изучил самостоятельно, без проблем. На этом всё. Успехов!

[Эдвард]

А если серьёзно:
Вам удалось определить время по фотографии (то есть решить Вашу задачу?)

Если бы края теней от предполагаемого шеста проходили в течение отдельного светового дня по одной и той же параллели (как это изображено на моей проекции), возможно, подошла бы такая формула зависимости длины тени шеста от тени стены (и, соответственно, другая - формула зависимости времени от длины тени шеста и его высоты):

d = √d1²+d2²
d = √d1²+(d4-d3)²
d = √d1²+((d1*tga1)-(d5/cosa1))²
d = √d1²+((d1*tga1)-(d5/cosa1))²
d = √d1²+((d1*tga1)-(L*tg(t-a)/cosa1))²
d = √d1²+((d1*tga1)-(L*tg(t-(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81))))/cosa1))²

Где (кроме известных обозначений):

a1 – острый угол поворота стены относительно меридиана
d – длина тени от шеста
d1 – длина тени от стены
d2 – катет, противоположный углу между линиями длин теней стены и шеста
d3 – длина тени от торца стены при условиях, когда направление лучей Солнца совпадает с направлением стены
d4 - катет, противоположный углу между линиями параллели и длины тени от стены
d5 – длина полуденной тени от шеста

В свою очередь:

T = (f/360º)*24
T = (acos(cos(w)-(sin(a)*sin(t)))/( cos(a)*cos(t))/360º)*24
T = (acos(cos(atg(d/L))-(sin(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81))))*sin(t)))/(cos(asin(sin(23,45º)*sin((360º/365)*(n-81))))*cos(t) )/360º)*24

Где:

a – угол склонения Солнца к земной оси
d – длина тени от шеста
f – угол часового отклонения от абсолютного (реального) полдня
L – высота шеста
n – номер дня года от 1 января
t – широта
T – обоюдный интервал времени отклонения от абсолютного полдня
w – угол наклона Солнца к зениту (к шесту)
23,45º – максимальный угол склонения Солнца к земной оси
360º – окружность земного шара
365 – количество дней в году (кроме високосного)
81 – количество дней от начала года до дня весеннего равноденствия
24 – количество часов в сутках

Вычисление (данные те же, что и в прежних решениях):

T = (acos(cos(atg(d/L))-(sin(23,45º)*sin(56,6º)))/(cos(23,45º)*cos(56,6º))/360º)*24
T = (acos(cos(atg(3,91м/4,6м))-(0,39*0,83))/(0,91*0,55))/360º)*24
T = (acos(cos(atg(0,85))-0,32)/0,5)/360º)*24
T = (acos(cos(40º)-0,32)/0,5)/360º)*24
T = (acos(0,76-0,32)/0,5)/360º)*24
T = (acos(0,44)/0,5)/360º)*24
T = (acos(0,88)/360º)*24
T = (28º/360º)*24
T = 1,86 ч.

(0,14 часа спишем на погрешности округлённых данных внутри вычислений)

Но т. к. края теней от шеста в течение дня, на самом деле, вычерчивают некую дугу, задача несколько усложняется (а смысл формулы «d = √d1²+d2²» утрачивается). Хотя, в общем-то, всё сводится к вычислению некоторой постоянной прогрессии коэффициентов соотношения между длиной тени от стены, совпадающей с длиной тени от предполагаемого шеста, и реальной длиной тени от шеста на данный момент. Кстати, в этой связи практически безупречным выглядит устройство солнечных часов, где в любой день «стрелка» будет поворачиваться на один и тот же угол – правда, здесь в качестве гномона служит не вертикальный шест, а прямоугольный треугольник, своей гипотенузой направленный на полуденно-наклонённое Солнце. И полагаю, изобретатели солнечных часов обошлись без сферической тригонометрии. Может, и мою задачу возможно решить, не прибегая к столь сложной и невнятной (для меня пока) теме?.. 

[Эдвард]

Act0 – это горизонтальный угол поворота стены относительно меридиана (азимут, отсчитываемый от направления на юг)
 Act - это видимый азимут с границы тени.

Ничего непонятно. Требуется графическое пояснение.

Что есть азимут в сферической тригонометрии? Это прямая, дуга, или угол между прямыми или кривыми? Куда и откуда идёт его направление? Почему азимут может быть видимым и невидимым? Граница тени и край тени – это одно и то же, или разные понятия?

Это угол при центре тени между направлениями на зенит и край стены

Что такое «зенит» в привычном представлении, понимаю. Но какова его роль в сферическом контексте? Опять же не совсем ясно, что Вы называете краем стены: боковой торец или верхний? А «угол при центре тени» - это вообще взрыв мозга.

  Она идёт по поверхности Земли в виде дуги. Проекция будет кривой

А если т. н. стена представляет собой всего лишь ровную (прямоугольную) бетонную плиту, её проекция на небе тоже будет выглядеть в виде кривой?

Тангенс отношения высоты к расстоянию

Если имеется в виду высота стены, то о каком расстоянии речь? От чего к чему оно измеряется, и как именно?

[30 апреля]

Что есть азимут в сферической тригонометрии? Это прямая, дуга, или угол между прямыми или кривыми? Куда и откуда идёт его направление? Почему азимут может быть видимым и невидимым? Граница тени и край тени – это одно и то же, или разные понятия?
 
Что такое «зенит» в привычном представлении, понимаю. Но какова его роль в сферическом контексте? Опять же не совсем ясно, что Вы называете краем стены: боковой торец или верхний? А «угол при центре тени» - это вообще взрыв мозга.

А если т. н. стена представляет собой всего лишь ровную (прямоугольную) бетонную плиту, её проекция на небе тоже будет выглядеть в виде кривой?

Если имеется в виду высота стены, то о каком расстоянии речь? От чего к чему оно измеряется, и как именно?

  Эдвард, а Вы набирали в поисковике «азимутальные координаты»? Это, в принципе, азы, без которых нет смысла браться за такие задачи.. Найдите «постоянную часть астрономического календаря», или тот же «справочник..» Куликовского. Всё несложно. Успехов!
PS

Вам удалось определить время по фотографии (то есть решить Вашу задачу?)

Если бы края теней от предполагаемого шеста проходили в течение отдельного светового дня по одной и той же параллели

  Нет. Не проходит тень по параллели. А алгоритм в ответе №45 почему не использовали?

[Эдвард]

  Эдвард, а Вы набирали в поисковике «азимутальные координаты»?

Разумеется. Только в Сети информации по данной теме крайне мало, да и то, что имеется, весьма скудно описывает понятия. Что-то более-менее внятное нашёл здесь: http://www.compress.ru/Article.aspx?id=12151 . Насколько понял из этой статьи, азимут – это круг горизонта вокруг точки наблюдения на Земле (360º), азимут небесного объекта – горизонтальная дуга относительно точки наблюдения на Земле, которую описывает вертикальная проекция объекта на круге горизонта от восхода до заката; высота небесного объекта – острый угол между косой линией (гипотенузой), направленной от наблюдателя к объекту, и вертикалью (катетом), направленный от объекта к плоскости круга горизонта (пользуясь обозначениями Крупина, т. н. высота объекта соответствует углу w, который, в свою очередь, равен 90º минус угол наклона небесного объекта над горизонтом). Т. о., получается, что если географические координаты Земли являются постоянными, то азимутальные (азимут и высота небесного объекта относительно точки наблюдения) меняются по мере вращения земного шара. Надеюсь, пока правильно всё понимаю?

Проблема же в следующем: если относительно наблюдения небесных объектов с Земли какая-никакая ясность вырисовывается, то т. н. проекции земных объектов на небо просто вводят в ступор. Самое непонятное состоят в том, с какой именно точки я должен наблюдать за такими проекциями – с Земли или из космоса? Если с Земли, то в какой точке относительно земного объекта должен находиться? Если из космоса, по какой вертикали (под каким углом к земному объекту) должен быть направлен мой взгляд сквозь купол небосвода, на котором конструируется проекция?

А алгоритм в ответе №45 почему не использовали?

Как я могу использовать алгоритм, не зная его сути? Вслепую применить выведенную формулу, не понимая значения её составляющих – не мой метод. Да и потом: по Вашей формуле я могу вычислить лишь длину тени стены, но как по тени стены определить длину тени шеста (или время суток), не совсем понятно.

[30 апреля]

Как я могу использовать алгоритм, не зная его сути? Вслепую применить выведенную формулу, не понимая значения её составляющих – не мой метод. Да и потом: по Вашей формуле я могу вычислить лишь длину тени стены, но как по тени стены определить длину тени шеста (или время суток), не совсем понятно.

 Похвально, в принципе. Но всё уже было рассказано. Дальше сами. Засим откланиваюсь

[Эдвард]

Ну ладно, раз никто не пожелал помочь в познании сути сферической геометрии, пришлось сварганить калькулятор на основе обычной тригонометрии: http://med-75.narod.ru/28/g.xls , по которому можно проследить зависимость длины тени стены от длины тени предполагаемого шеста.