Определить время по тени от стены

[felis manul]

А если на Севере, то полночь, но вас занесло за полярный круг. 

Или полдень, но вас занесло за тропик
Проще вбить в забор гвоздь и нарисовать циферблат.

[Крупин]

   Более чем наверняка такой формулы просто не существует в природе.

Но может, существует формула (график) зависимости угла тени шеста (по отношению к меридиану) от угла наклона солнца над горизонтом (принцип солнечных часов)?

  Приведу формулу для расчёта угла тени к меридиану в зависимости от длины тени:

  Обозначим широту вашей местности  - t. Угол склонения Солнца в данный день года обозначим a. (Что такое склонение Солнца и как его посчитать http://pvcdrom.pveducation.org/RU/SUNLIGHT/DECLIN.HTM ).
 
   Пусть L - высота шеста, d - длина тени. v - угол между тенью и меридианом. Тангенс угла Солнца к вертикали - tg(w) = d/L . Тогда sin(w) = d/корень(d^2+L^2) ;    cos(w) = L/корень(d^2+L^2) .
   
  Найдём косинус некоего угла f по формуле:  cos(f) = ( cos(w) - sin(a)*sin(t) )/( cos(a)*cos(t) )
синус этого угла, естественно: sin(f) = корень(1 - cos(f)^2)

  Тогда искомый синус угла к меридиану: sin(v) = cos(a)*sin(f)/sin(w) .
   Фигура симметрична относительно направления на юг, т.е. одному sin(v) соответствуют два угла, один с отклонением от меридиана на восток, другой - на запад.

   Кратчайшая длина тени равна:  d_min = L*tg(t-a) . С неё надо начинать. При ней sin(v) = 0 т.е. тень направлена строго на север. Далее, увеличивая d до бесконечности, получаем при разных значениях разные углы отклонения.

[Эдвард]

  Приведу формулу для расчёта угла тени к меридиану в зависимости от длины тени:

Попробую и я вывести некую закономерность.

Для начала представим себе два прямоугольных треугольника: один расположен по вертикали, а другой – по горизонтали. Смысл первого треугольника заключается в измерении угла наклона солнечных лучей над горизонтом – здесь катетами являются шест и его тень, гипотенузой – направление солнечного луча, а угол, противоположный вертикальному катету, и есть тот самый угол наклона солнца над горизонтом (формула угла: tg H = b/l). Смысл второго (горизонтального) треугольника – в измерении изменения угла направления тени относительно меридиана (или относительно тени, которую шест оставил в условном зените). Здесь длина меридианного катета соответствует длине тени от шеста в абсолютный полдень (когда светило достигает наивысшей точки), и является постоянной в течение одного конкретного светового дня (т. к. конец полуденной тени по параллели будет соответствовать концу повернувшейся тени). Гипотенузой является изменённая тень от шеста. Длина второго катета остаётся неизвестной, но нам пока важен не он, а угол между известным катетом и гипотенузой. Его можно вычислить по формулам: cos a = T1/T2 (или a = 90 – a1, sin a1 = T1/T2). Где a – это искомый угол, a1 – угол, противоположный меридианному катету, T1 – длина тени от шеста в абсолютный полдень, T2 – длина повернувшейся тени от шеста. Соответственно, зная длину меридианной тени в полдень, а так же почасовое изменения углов, по обратной формуле можно вычислять и длину реальной тени (гипотенузы): T2 = T1/cos a (или T2 = T1/sin a1).

Основываясь на геометрии второго треугольника, можно сделать вывод, что, например, тень от стены, расположенной строго по параллели, с утра до вечера практически не изменится, и будет соответствовать полуденной тени от шеста. Стена, расположенная строго по меридиану, в первой половине дня будет отбрасывать тень на запад, во второй – на восток, а в полдень – и вовсе останется без тени (предоставив её торцу). Но! Всё же длина тени от меридианной стены в наших широтах не сможет соответствовать длине тени от обычного шеста: она будет короче на величину угла между меридианным катетом и гипотенузой второго треугольника – т. е., по сути, равна длине второго катета, который вычисляется по пифагоровой формуле: T3 = √ T2^2 - T1^2, где T3 – это длина тени от стены, расположенной строго с юга на север. Соответственно, длину тени от предполагаемого шеста можно вычислить по формуле: T2 = √ T1^2 + T3^2.

Если с тенями от стен, расположенных строго по меридианам и параллелям, в общем-то, всё понятно, то как быть с тенями от стен, расположенных под теми или иными острыми углами? Здесь напрашивается уже строительство дополнительных прямоугольных треугольников, где известными будут выступать один из катетов (теневой перпендикуляр стены) и противоположный ему угол (расположение стены к меридиану или параллели), а искомым – гипотенуза, являющаяся реальной длиной тени от предполагаемого шеста. В данном случае было бы целесообразней применить формулу второго треугольника: T2 = T1/cos a, но, к сожалению, она пригодна для определения зависимости длины тени косой стены от тени шеста лишь в абсолютный полдень – в остальных случаях одно ключевое известное в конструкции фигур (меридианная/полуденная тень) утрачивается, и вступает в силу сопоставление данных, выведенных банальным подбором.

Попробуем реконструировать ситуацию. Предположим, заводская стена высотой 4,6 м пролегает чётко с юго-востока на северо-запад (т. е. под углом 45 градусов к меридиану или параллели) на среднеуральской широте, но для наблюдения доступна только северо-восточная её сторона. Проходя вдоль стены в один из самых длинных дней года, в абсолютный полдень (например, в 14 ч), мы обнаружили, что тень имеет длину около 2 м, а т. к. в кармане не оказалось ни рулетки, ни сантиметра, ни линейки, но сохранились в памяти знания о точном направлении стены и угла наклона солнца над горизонтом на данной широте, решаем воспользоваться формулой: T3 = (b/tg H) x sin a1, где T3 – длина тени от стены, b – высота предполагаемого шеста, равная высоте стены, H - угол наклона солнца над горизонтом, a1 – угол направления стены относительно параллели. Подставляем числа: T3 = (4,6 м/ tg 56,6 º) х sin 45 º = (4,6 м/1,51) х 0,7 = 2,13 м. Теперь представим, что в кармане всё ж таки отыскалась рулетка, и мы смогли замерить точную длину тени от стены, решив по ней вычислить угол наклона солнца над горизонтом (и, соответственно, время): tg H = b/( T3/sin a1) = 4,6 м/(2,13 м/0,7) = 1,51 = 56,6 º = 14 ч. Спустя 4 часа вновь довелось проходить мимо заинтересовавшей нас стены, но на этот раз обнаружилось, что тень значительно удлинилась. Попробуем применить похожий тригонометрический метод: T3 = (b/tg H1) x sin a2 = (b/tg H1) x sin ((90 º – cos (T1/T2)) + a1) = (b/tg H1) x sin ((90 º – cos ((b/tg H)/(b/tg H1))) + a1), где H1 – это угол наклона солнца в 18 ч, a2 – угол направления реальной тени по отношению к стене. Подставляем данные: T3 = (4,6 м/tg 35,66 º) х sin ((90 º - cos ((4,6 м/tg 56,6 º)/(4,6 м/tg 35,66 º))) + 45 º) = 6,47 х sin ((90 º - 62 º) + 45 º) = 6,47 х 0,95 = 6,14 м. Обратную формулу нет смысла выводить, т. к. в ней уже будет содержаться искомое (H1).

Одним словом, на данном этапе пока и застрял. Максимум, что можно сделать, - это построить график/таблицу изменения длины тени стены в зависимости от её высоты, расположения относительно сторон света, и от угла солнца над горизонтом (где, в свою очередь учитываются координаты, дата, время, и другие тонкости).

Продолжаю насиловать мозг...  

[Эдвард]

  Найдём косинус некоего угла f по формуле:

Правильно ли я понял, что некий угол f – это отклонение тени от меридиана?

   Кратчайшая длина тени равна:

Вот здесь непонятки. Что есть кратчайшая длина тени? Тень от какого объекта, и относительно чего имеется в виду? Пока что-то не сходится: тангенс разницы широты местности и угла склонения Солнца 22 июня в 14 ч (условный зенит) равен 0, 06 – соответственно, т. н. d min при высоте шеста 4,6 м = 0, 27 м. Такая величина возможна разве что в тропиках.

[Крупин]

  Найдём косинус некоего угла f по формуле:

Правильно ли я понял, что некий угол f – это отклонение тени от меридиана?

   Нет, неверно. Угол между тенью и меридианом у меня v. Смысл угла  f я потом объясню.

[Крупин]

   Кратчайшая длина тени равна:

Вот здесь непонятки. Что есть кратчайшая длина тени? Тень от какого объекта, и относительно чего имеется в виду? Пока что-то не сходится: тангенс разницы широты местности и угла склонения Солнца 22 июня в 14 ч (условный зенит) равен 0, 06 – соответственно, т. н. d min при высоте шеста 4,6 м = 0, 27 м. Такая величина возможна разве что в тропиках.

   Откуда Вы взяли цифру 0,06 ? Такой тангенс будет при разнице 3,3 градуса, т.е. на широте около 26 градусов - т.е. действительно в тропиках. Но у меня вроде бы не было такой цифры ...

[Крупин]

   Извините, Эдвард, но Вы, на мой взгляд явно заблуждаетесь. Не будучи в состоянии (из-за недостатка времени) разобраться во всех Ваших построениях, приведу один лишь ляпсус насчёт неизменности тени от забора, идущего по параллели. Тень от такого забора к вечеру однозначно увеличивается до бесконечности (в условиях России). Математическая подготовка у Вас слабовата, а задача далеко не проста. Поэтому вместо разбора Ваших построений займусь анализом своего решения.

   Вначале я получил формулы длины тени и угла с меридианом в зависимости от четырёх параметров:  склонения Солнца - a, широты - t, долготы - f, и высоты шеста - L . Эти формулы описывают ситуацию, когда на нулевом (Гринвичском) меридиане солнечный полдень и тень в Гринвиче направлена строго на север.
   Вместо длины тени будем рассматривать однозначно с ней связанный угол w Солнца над горизонтом, определяемый соотношением: tg(w) = d/L . Искомый угол наклона тени к меридиану я обозначил v. Для углов w и v получились следующие соотношения:
   cos(w) = cos(a)*cos(t)*cos(f)+sin(a)*sin(t) , естественно sin(w) = (1-cos(w)^2)
  sin(v) = cos(a)*sin(f)/sin(w)
   Как именно эти формулы получились - обсуждать на форуме невозможно. Но можно провести их проверку в нескольких специальных случаях:
   1. Возьмём полюс. Для него широта t=90 градусов, а долгота f не определена. Угол наклона Солнца к горизонту составляет (90-a) градусов. Значит cos(w) должен равняться sin(a) . Проверим это, подставив соответствующие значения в формулу для cos(w) . Так как для полюса cos(t)=0, а sin(t) = 1 , то так оно и оказывается.
   Если отойти от полюса на шаг в каком-либо направлении, то определится долгота. При этом направление тени не изменится. Угол между направлением тени и меридианом будет равен v = (180 - f) градусов. Синус такого угла совпадает с синусом самого f . Проверим по формулам:
   Так как cos(w) = sin(a) , то наоборот sin(w) = cos(a) . Подставив в формулу sin(v) = cos(a)*sin(f)/sin(w) получим то, что ожидалось.
   Таким образом для полюса проверка удалась.

  2.  Проверим точку на произвольной широте нулевого меридиана, где всюду f=0, а значит sin(f)=0, cos(f) = 1. В этих условиях cos(w) = cos(a)*cos(t)+sin(a)*sin(t) = cos(t - a)  (формула косинуса разности). Значит угол Солнца над горизонтом равен w = (t - a), что и следует из наглядных соображений. Очевидно, что поскольку sin(f) = 0, то и sin(v)=0, т.е. тень направлена по меридиану. Проверка и для этой точки прошла.

  3. Опять же из наглядных соображений следует, что за широтой t = (90 - a) - в данное время полярный день, т.е. на этой широте тень должна быть для любой точки. Самый критический случай - долгота t=180 градусов, для которой sin(f) = 0, cos(f) = -1. Подставляя в формулу для cos(w), получим:
   cos(w) = - cos(a)*cos(t)+sin(a)*sin(t) = - cos(t + a) . В случае критической широты (t + a) = 90 и cos(w) = 0, что соответствует бесконечно длинной тени. Всё опятm же согласуется c наглядными ожиданиями.
   Я выполнил ещё пару подобных наглядных проверок, которые опять же удались. Серия таких совпадений говорит, что мои формулы наверняка правильны (по крайней мере эти исходные из которых я далее выводил зависимость sin(v) от длины тени (а значит от угла w наклона Солнца над горизонтом).

   Теперь насчёт смысла угла f, про который Вы подумали, что это угол наклона тени к горизонту. На самом деле угол f пропорционален времени, отсчитываемому от полудня. Углу f = 360 градусов, соответствует, естественно, 24 часа. Т.е. для того, чтобы расчитать тень в 3 часа после солнечного полдня, требуется взять угол f = 3/24*360 = 45 градусов.

[Эдвард]

 

   Откуда Вы взяли цифру 0,06 ? Такой тангенс будет при разнице 3,3 градуса

Широта местности минус угол наклона солнца = 3,4 градуса. Тангенс этого угла равен 0,06. Что я делаю не так?

[Крупин]

 

   Откуда Вы взяли цифру 0,06 ? Такой тангенс будет при разнице 3,3 градуса

Широта местности минус угол наклона солнца = 3,4 градуса. Тангенс этого угла равен 0,06. Что я делаю не так?

   Извините, но с на какой широте находится ваш забор и в какой день года он отбрасывает тень?

[Эдвард]

   Извините, но с на какой широте находится ваш забор и в какой день года он отбрасывает тень?

Координаты местности: 56°50′00″ с. ш. 60°35′00″ в. д., дата 22 июня, время 14 ч. (Пардон, ранее немного ошибся с широтой) Впрочем, суть d min, кроме того, что в абсолютный полдень это значение будет равно нулю, не раскрыта. По моим вычислениям, длина тени от шеста при данных условиях будет равна трём метрам.

Простой расчёт. Дано: длина шеста – 4,6 м, широта 56,6 º, угол склонения Солнца равен 35,66 º (18 ч). Т. о., согласно Вашей формуле, d min = 1,8 м. Что это за величина, не совсем понятно.

[Эдвард]

   Теперь насчёт смысла угла f, про который Вы подумали, что это угол наклона тени к горизонту. На самом деле угол f пропорционален времени, отсчитываемому от полудня. Углу f = 360 градусов, соответствует, естественно, 24 часа. Т.е. для того, чтобы расчитать тень в 3 часа после солнечного полдня, требуется взять угол f = 3/24*360 = 45 градусов.

Немного запутался: f в формулах выше присутствует, как долгота, здесь же это некий угол, который не находит пока какого-либо применения в глобальных формулах.   

[Крупин]

   Извините, но с на какой широте находится ваш забор и в какой день года он отбрасывает тень?

Дано: длина шеста – 4,6 м, широта 56,6 º, угол склонения Солнца равен 35,66 º (18 ч).

    Цитата из http://pvcdrom.pveducation.org/RU/SUNLIGHT/DECLIN.HTM :

Максимума, равного 23.45° склонение достигает  22 июня (летнее солнцестояние в северном полушарии) и минимума, -23.45°, 22 декабря (зимнее солнцестояние в северном полушарии).

   Т.е. углов склонения 35 градусов для Земли не существует. И в пределах одного дня угол склонения практически неизменен (при чём здесь 18ч.?).

[Крупин]

   Извините, но с на какой широте находится ваш забор и в какой день года он отбрасывает тень?

    Координаты местности: 56°50′00″ с. ш. 60°35′00″ в. д., дата 22 июня, время 14 ч. (Пардон, ранее немного ошибся с широтой) Впрочем, суть d min, кроме того, что в абсолютный полдень это значение будет равно нулю, не раскрыта. По моим вычислениям, длина тени от шеста при данных условиях будет равна трём метрам. С чего Вы взяли, что по моей формуле получится 1,8 метра.
   
    Вот моя формула: cos(w) = cos(a)*cos(t)*cos(f)+sin(a)*sin(t) . В полдень f=0 значит cos(f) = 1. Тогда cos(w) = cos(a)*cos(t)+sin(a)*sin(t) = cos(t-a), т.е. w=t-a=3градуса, как ему и положено быть. И моя полуденная тень = 3,1метра.

Простой расчёт. Дано: длина шеста – 4,6 м, широта 56,6 º, угол склонения Солнца равен 35,66 º (18 ч). Т. о., согласно Вашей формуле, d min = 1,8 м. Что это за величина, не совсем понятно.

   Не буду возиться с минутами и секундами. На данной широте в солнечный полдень наклон Солнца к горизонту примерно равен w = (57-23) = 34 градуса. Значит, минимальная длина тени равна d = L*tg(w) = 4,6*tg(34градус.) = 3,10метров.

[Эдвард]

Максимума, равного 23.45° склонение достигает  22 июня (летнее солнцестояние в северном полушарии) и минимума, -23.45°, 22 декабря (зимнее солнцестояние в северном полушарии).

   Т.е. углов склонения 35 градусов для Земли не существует. И в пределах одного дня угол склонения практически неизменен (при чём здесь 18ч.?).

  Обозначим широту вашей местности  - t. Угол склонения Солнца в данный день года обозначим a.
   Кратчайшая длина тени равна:  d_min = L*tg(t-a) .

Про угол склонения к земной оси здесь ничего не было сказано. Видимо, отсюда и пошла путаница. А формула выглядит примерно так: δ = 23.45 x sin ((360/365) x (d – 81)), где d – номер дня года от 1 января, 23,45 градуса – максимальный угол наклона земной оси, 360 градусов – окружность земного шара, 365 – количество дней в году, 81 – количество дней от начала года до дня весеннего равноденствия.

[Крупин]

Про угол склонения к земной оси здесь ничего не было сказано. Видимо, отсюда и пошла путаница. А формула выглядит примерно так: δ = 23.45 x sin ((360/365) x (d – 81)), где d – номер дня года от 1 января, 23,45 градуса – максимальный угол наклона земной оси, 360 градусов – окружность земного шара, 365 – количество дней в году, 81 – количество дней от начала года до дня весеннего равноденствия.

   Так из этой формулы сразу видно, каков максимальный угол. Синус ведь больше единицы быть не может. Значит 23*sin(чего бы то ни было)<=23 .

[Эдвард]

А формула выглядит примерно так: δ = 23.45 x sin ((360/365) x (d – 81)), где d – номер дня года от 1 января, 23,45 градуса – максимальный угол наклона земной оси, 360 градусов – окружность земного шара, 365 – количество дней в году, 81 – количество дней от начала года до дня весеннего равноденствия.

Отсюда можно вычислить и максимально прямой угол наклона Солнца над горизонтом (условный зенит): δ1 = (90 – φ) + δ, где φ – широта местности, а δ – угол склонения Солнца к земной оси.

[Эдвард]

   Так из этой формулы сразу видно, каков максимальный угол. Синус ведь больше единицы быть не может. Значит 23*sin(чего бы то ни было)<=23 .

Так в чём противоречие? Это же формула вычисления истинного угла склонения светила к земной оси. Максимальный угол (23,45 гр.) может быть лишь в день летнего солнцестояния.

[Крупин]

   Так из этой формулы сразу видно, каков максимальный угол. Синус ведь больше единицы быть не может. Значит 23*sin(чего бы то ни было)<=23 .

Так в чём противоречие? Это же формула вычисления истинного угла склонения светила к земной оси. Максимальный угол (23,45 гр.) может быть лишь в день летнего солнцестояния.

   Всё правильно. Но ведь в посте #29 Вы употребили выражение "угол склонения Солнца 35 градусов 18ч." . Вот это абсурд. Возможно, Вы подразумевали наклон Солнца к горизонту?
   Давайте так. Я через некоторое время приведу несколько конкретных вычислений по своей формуле для вашего конкретного случая.

[Эдвард]

Вы употребили выражение "угол склонения Солнца 35 градусов 18ч." . Вот это абсурд. Возможно, Вы подразумевали наклон Солнца к горизонту?

Да, именно так. Просто чуток заплутал в терминах.
 

   Давайте так. Я через некоторое время приведу несколько конкретных вычислений по своей формуле для вашего конкретного случая.

Жду с нетерпением!

[Крупин]

   Итак, ваши исходные данные (округляю):
   Склонение Солнца a = 23 градуса, cos(a) = 0,92 , sin(a) = 0,39 .
   Широта (северная разумеется) t = 57 градусов, cos(t) = 0,54 , sin(t) = 0,84 .
   С полднем (солнечным) разобрались ранее. Допустим, он был ровно в 12.00 . Рассчитаем  для интервала 2 часа от полудня туда-сюда, т.е. для времён 10.00 и 14.00:
   Находим угол f:  f = 2(часа)/24*360 = 30 градусов, cos(f) = 0,87 , sin(f) = 0,5 .

   Начинаем расчёт. Находим угол w наклона Солнца  к горизонту к зениту по формуле:
   cos(w) = cos(a)*cos(t)*cos(f)+sin(a)*sin(t) = 0,92*0,54*0,87+0,39*0,84 = 0,76 , значит w =40,5 градусов. sin(w) = 0,65 , tg(w) = 0,86 .
   Находим угол v наклона тени к меридиану по формуле:
   sin(v) = cos(a)*sin(f)/sin(w) = 0,92*0,5/0,65 = 0,71 . Значит, v = 45,2 градуса.

   Длина тени d = L*tg(w) = 4,6*0,86 = 3,96 метра

   Ранее я употреблял для w выражение угол наклона к горизонту. На самом деле в такой записи формул это угол к зениту. Можно записать и для наклона к горизонту, заменив синус на косинус и наоборот и написав L = d*tg(w) вместо d = L*tg(w) .