Как изменятся сутки?

[konstkir]

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

Ну да, это простой случай.

А вот нетривиальная задача: найти вариант распределения плотности, при которой обитатели планеты не смогут заметить изменения продолжительности суток.

Проще всего, наверное, часть массы сосредоточить в центре, а оставшееся равномерно распределить по объему...

И я Вас не понял. Вы же сами изменили условия, вот здесь.

[taurus]

И я Вас не понял. Вы же сами изменили условия, вот здесь.

Да, но я имел в виду не конечное, а начальное распределение плотности. В общем, разобрались. 

[taurus]

В связи с этим есть еще интересная задачка, уже не образовательная, а вполне научная. Она уже где-то обсуждалась, но до цифр дело не дошло.

Известно, что в объеме Земли происходит дифференциация вещества. В частности, из первоначально однородной массы (плотность 5,5 г/см³) выделяется железное ядро (плотность 7,9 г/см³). Насколько уменьшится продолжительность суток? Тут еще радиус нужно знать: 6.000 км.

Интересно, как это соотносится с увеличением суток от приливного трения?

И совсем сложный вопрос. Ясное дело, что не вся гравитационная энергия дифференциации ядра преобразуется в импульс, часть, как водится, уйдет в тепло. Так вот - какая часть? хватит ли ее на нагрев планеты? (Вопросы инициированы чтением Еськова.)

[konstkir]

Не, это вопросы к геофизикам. Надо вникать в материал сложный и разноречивый. До такой степени любопытства я не дошел.

[Маринер-9]

В общем, разобрались. 

  Кто разобрался пусть объяснит тем, кто не разобрался..
Я рассуждал так. Тело массой m вращается вокруг центра на расстоянии R
Его линейная скорость при уменьшении радиуса сохраняется. Угловая возрастает пропорционально длине окружности, то есть пропорционально R..

  Если взять момент инерции, для тела при вращении J=m*R^2
(пропорционально квадрату радиуса, как тут показали).
Возьмём камень на верёвке = 10м и будет его вращать со скоростью 10 м/с
отпустив верёвку, пошлём камень в космос с этой скоростью..
  Теперь быстро перехватив верёвку на R=1м, получим угловую скорость в 100 раз больше (10^2). Но так как длина окружности уменьшилась пропорционально радиусу, получим линейную скорость камня 100 м/с.  Спрашивается, откуда энергия?
 
  Более строго
L1=w1*R1  (L1 - линейная скорость на радиусе R1)
L2=w2*R2  (линейная скорость на радиусе R2)
  из приведённой konstkir формулы
w2=w1*(R1/R2)^2
  отсюда высчитываем отношение L1/L2 = R2/R1
то есть линейная скорость будет увеличиваться. За счёт чего?
 

[taurus]

Не, это вопросы к геофизикам. Надо вникать в материал сложный и разноречивый. До такой степени любопытства я не дошел.

Вопрос соотношения ускорения от дифференциации недр и приливного торможения довольно астрономический.  Обычно говорят только о влиянии последнего, о приливном трении. Вроде бы, в этой части задача несложная, нужно только аккуратно считать и не ошибиться в арифметике. 

Вот досуг будет... 

[taurus]

Первый случай

Я рассуждал так. Тело массой m вращается вокруг центра на расстоянии R
Его линейная скорость при уменьшении радиуса сохраняется. Угловая возрастает пропорционально длине окружности, то есть пропорционально R..

Линейная скорость при уменьшении радиуса НЕ сохраняется, она увеличивается  обратно R. Выбирая веревку, вы тянете тело с некоторой силой на какое-то расстояние. Эта работа переходит в кинетическую энергию тела, в его скорость.

Теперь второй случай.

Возьмём камень на верёвке = 10м и будет его вращать со скоростью 10 м/с
отпустив верёвку, пошлём камень в космос с этой скоростью..
  Теперь быстро перехватив верёвку на R=1м, получим угловую скорость в 100 раз больше (10^2).
. . . . .
то есть линейная скорость будет увеличиваться. За счёт чего?

Он отличен от первого: мы энергию не тратили, веревку не тянули, а просто "перехватили" ее. Соответственно, линейная скорость после "перехвата" останется той же, угловая - увеличится чисто "геометрически" в 10 раз.

[AstroNick]

В связи с этим есть еще интересная задачка, уже не образовательная, а вполне научная. Она уже где-то обсуждалась, но до цифр дело не дошло.

Известно, что в объеме Земли происходит дифференциация вещества. В частности, из первоначально однородной массы (плотность 5,5 г/см³) выделяется железное ядро (плотность 7,9 г/см³). Насколько уменьшится продолжительность суток? Тут еще радиус нужно знать: 6.000 км.

Ну отчего же, в одном месте дело дошло и до цифр! Только знать ещё нужно радиус ядра.

[taurus]

Ну отчего же, в одном месте дело дошло и до цифр! Только знать ещё нужно радиус ядра.

О, я это пропустил! Здорово.

Я предполагал, что раскрутка будет невелика.

[Маринер-9]

Первый случай
Линейная скорость при уменьшении радиуса НЕ сохраняется, она увеличивается  обратно R.
 Теперь второй случай.
Он отличен от первого: мы энергию не тратили, веревку не тянули, а просто "перехватили" ее. Соответственно, линейная скорость после "перехвата" останется той же, угловая - увеличится чисто "геометрически" в 10 раз.

  А откуда верёвка с камнем «знает» способ, которым уменьшили его радиус?
То есть, в этих формулах

  Более строго
L1=w1*R1  (L1 - линейная скорость на радиусе R1)
L2=w2*R2  (линейная скорость на радиусе R2)
 

способ изменения радиуса не учитывается. По-Вашему, в одних случаях L1=L2, в других нет. В каких?

Выбирая веревку, вы тянете тело с некоторой силой на какое-то расстояние. Эта работа переходит в кинетическую энергию тела, в его скорость.

Ну пусть вращаются 2 камня в противоположных направлениях. И никто их не тянет, пусть сами наматываются на ось.. И очень скоро будет космическая скорость!

 Опять же, не притягивая верёвку к себе, мы вынуждены крепко её держать, совершая работу (компенсируя центростремительное ускорение). Чёй-то тут не то

[Крупин]

Простое удержание верёвки не требует совершения работы (сила есть но перемещения вдоль линии силы нет - груз движется перпендикулярно силе). Если же раскрученный камень подтягивать, у него появляется радиальная скорость - по линии силы и совершается работа. Когда камень пассивно наматывается на барабан - сила направлена не строго в центр барабана. У неё есть тангенциальная (касательная) составляющая, неправленная против движения (по окружности). Поэтому, хотя за счёт приближения к центру совершается положительная работа, она в точности компенсируется отрицательной работой за счёт касательной составляющей силы. В итоге всё по нулям.

Можно сказать по другому: в кажый момент камень вращается вокруг точки касания троса с барабаном, так что линия силы в каждый момент строго перпендикулярна направлению скорости. Кстати говоря, линия, прочерчиваемая камнем при наматывании его на барабан называется эвольвентой (в данном случае к окружности). И именно по такой линии нарезаются зубья большинство зубчатых колёс - эвольвентное зацепление.

[Маринер-9]

Если же раскрученный камень подтягивать, у него появляется радиальная скорость - по линии силы и совершается работа. Когда камень пассивно наматывается на барабан - сила направлена не строго в центр барабана. У неё есть тангенциальная (касательная) составляющая, неправленная против движения (по окружности). Поэтому, хотя за счёт приближения к центру совершается положительная работа, она в точности компенсируется отрицательной работой за счёт касательной составляющей силы. В итоге всё по нулям.

  Значит, если Вы тянете верёвку на себя, угловая скорость пропорциональна квадрату расстояния.. А если чуть дёрнулись вбок (рука дрожит после вчерашнего) все усилия насмарку - пропорционально расстоянию..?
  А если части вашей сжимающейся планеты не точно к центру движутся, а (все вместе) слегка по касательной? Результат задачи будет другим?

[Крупин]

Если же раскрученный камень подтягивать, у него появляется радиальная скорость - по линии силы и совершается работа. Когда камень пассивно наматывается на барабан - сила направлена не строго в центр барабана. У неё есть тангенциальная (касательная) составляющая, неправленная против движения (по окружности). Поэтому, хотя за счёт приближения к центру совершается положительная работа, она в точности компенсируется отрицательной работой за счёт касательной составляющей силы. В итоге всё по нулям.

  Значит, если Вы тянете верёвку на себя, угловая скорость пропорциональна квадрату расстояния.. А если чуть дёрнулись вбок (рука дрожит после вчерашнего) все усилия насмарку - пропорционально расстоянию..?
  А если части вашей сжимающейся планеты не точно к центру движутся, а (все вместе) слегка по касательной? Результат задачи будет другим?

   С перепою руки дрожат хаотично, а при наматывании на барабан - действует систематический тормозящий момент, уменьшающий момент импульса камня. Как двигались части сжимающейся планеты для скорости вращения безразлично. Важно лишь конечное установившееся состояние, определяющее конечный момент инерции. В том и прелесть законов сохранения, что можно не вникать в подробности переходных процессов.

[Незнайка-1]

Как двигались части сжимающейся планеты для скорости вращения безразлично. Важно лишь конечное установившееся состояние, определяющее конечный момент инерции. В том и прелесть законов сохранения, что можно не вникать в подробности переходных процессов.

   А если "части сжимающейся планеты" точно так же наматывались на барабан - ядро?

В том и прелесть законов сохранения, что можно не вникать в подробности переходных процессов.

  То есть не важно, совершалась работа гравитацией по «стягиванию» планеты или нет? То есть тянем на себя или мотаем на барабан – не важно?

[konstkir]

Как двигались части сжимающейся планеты для скорости вращения безразлично. Важно лишь конечное установившееся состояние, определяющее конечный момент инерции. В том и прелесть законов сохранения, что можно не вникать в подробности переходных процессов.

   А если "части сжимающейся планеты" точно так же наматывались на барабан - ядро?

В том и прелесть законов сохранения, что можно не вникать в подробности переходных процессов.

  То есть не важно, совершалась работа гравитацией по «стягиванию» планеты или нет? То есть тянем на себя или мотаем на барабан – не важно?

 В физике не надо лирики. Каждая задача требует строгой постановки и только после этого обсуждается.

Диссипативные силы, конечно, могут уменьшить момент импульса. Попробуйте покрутить свежее яйцо.

При гравитационном "стягиванни" момент импульса, в основном, сохраняется. ( Хотя также могут вмешиваться силы трения вращающихся соев). Энергия вращения нет. Она увеличивается за счет гравитации.

[Крупин]

Диссипативные силы, конечно, могут уменьшить момент импульса. Попробуйте покрутить свежее яйцо.

При гравитационном "стягиванни" момент импульса, в основном, сохраняется. ( Хотя также могут вмешиваться силы трения вращающихся соев). Энергия вращения нет. Она увеличивается за счет гравитации.

   Момент импульса замкнутой системы (на которую не действуют внешние тела) сохраняется железно вне зависимости какие это силы.

[konstkir]

Да, это верно при абсолютно точном знании начального момента. Но при вращении жидких тел его трудно установить точно. Поэтому и возникает эффект свежего яйца даже при неизменном моменте инерции. Не уверен что момент импульса Солнца, Юпитера.. измеренный по геометрии, массе и видимой угловой скорости, сейчас не меняется по этой причине. Он может немного релаксировать миллиарды лет.

[Крупин]

   Но какое отношение это имеет к данной конкретной задаче? Я же подразумеваю, что как в начальный момент, так и после передряг планета вращается как монолитное тело.

[konstkir]

Никакого. Я пытался ответить на вопросы.

Хотя можно также пояснить, что условия задачи подразумевали затраты энергии.

[Маринер-9]

Хотя можно также пояснить, что условия задачи подразумевали затраты энергии.

 Ну да. Мы уже видели, что подтягивая камень на верёвке к себе и совершая работу, увеличиваем скорость (угловую) пропорционально R^2. А наматывая на барабан - R.

  Вопрос: при сжатии любого тела обязательно должна совершаться работа, коль момент импульса пропорционален R^2 ?