Как изменятся сутки?

[Маринер-9]

Решение где?

[konstkir]

Если у Вас за плечами школа, то это трудно объяснить. Ранее, я переоценил программу школы. Нужны знания 1-го курса тех.Вуза.
Или самостоятельное изучение главы - вращение твердого тела.
Далее, все просто.

[Маринер-9]

Далее, все просто.

  Ну и.. Решение где?

[Маринер-9]

Хорошая задача для школьников. По-моему, встречались пачками в детстве.

Встречались, возможно, да. Но вот не решались - точно

[konstkir]

Хорошая задача для школьников. По-моему, встречались пачками в детстве.

Встречались, возможно, да. Но вот не решались - точно

Я же уже написал, что переоценил базовую программу школы. А я готовился в серьезный ВУЗ и это решал.

Что касается решения, то Вы посмотрели главу о вращении твердоготела?
Если и после этого не осилите, тогда приведу решение.
Кстати, кратко на него уже указал Крупин вслед за Вашей половиной.

[Маринер-9]

А я готовился в серьезный ВУЗ и это решал.

  Решали, возможно, да. Но вот не решили - точно.
И не думайте, что приведя известную формулу для вращения твёрдого тела, Вы всё скажете. Формулы у меня есть

[konstkir]

 
И что тогда Вам не ясно?
Нужно знать такие понятия:
Момент инерции твердого тела. ( В данном случае шара)
Момент импульса твердого тела и как он выражается через момент инерции.
Закон сохранения момента импульса, т.к. именно он работает в этой задаче.

Как у Вас с этим?

[Маринер-9]

И что тогда Вам не ясно?
Нужно знать такие понятия:
Момент инерции твердого тела. ( В данном случае шара)
Момент импульса твердого тела и как он выражается через момент инерции.
Закон сохранения момента импульса, т.к. именно он работает в этой задаче.

Как у Вас с этим?

  Да плохо. Нужно связь момента инерции с угловой скоростью. Но на конкретной данной задаче, если можно

[taurus]

Между прочим, ответ исходной задачи зависит от распределения плотноти. Подразумевается, конечно, что планета однородная.

[konstkir]

И что тогда Вам не ясно?
Нужно знать такие понятия:
Момент инерции твердого тела. ( В данном случае шара)
Момент импульса твердого тела и как он выражается через момент инерции.
Закон сохранения момента импульса, т.к. именно он работает в этой задаче.

Как у Вас с этим?

  Да плохо. Нужно связь момента инерции с угловой скоростью. Но на конкретной данной задаче, если можно

Ну хорошо, вспомню для красоты как пишутся формулы на нашем форуме и подробно напишу сегодня к вечеру, если топикастер будет не против или не напишет сам.

[konstkir]

Между прочим, ответ исходной задачи зависит от распределения плотноти. Подразумевается, конечно, что планета однородная.

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

[Маринер-9]

Между прочим, ответ исходной задачи зависит от распределения плотноти. Подразумевается, конечно, что планета однородная.

  Пусть однородная и жёсткая

Ну хорошо, вспомню для красоты как пишутся формулы на нашем форуме и подробно напишу сегодня к вечеру, если топикастер будет не против или не напишет сам.

  Папаша топикстартер не против. А вообще, уже лучше - не пачка в школе, а в наше время и только к вечеру.. Ну пусть к вечеру...

[Маринер-9]

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

  Да!  Да!! Да!!!    Ну и ...?

[taurus]

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

Ну да, это простой случай.

А вот нетривиальная задача: найти вариант распределения плотности, при которой обитатели планеты не смогут заметить изменения продолжительности суток.

Проще всего, наверное, часть массы сосредоточить в центре, а оставшееся равномерно распределить по объему...

[konstkir]

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

  Да!  Да!! Да!!!    Ну и ...?

  Есть такая штука у любого твердого тела - момент инерции. который является аналогом массы в поступательном движении. Чем он больше, тем труднее раскрутить тело и тем большей энергией он будет обладать при одной и той же угловой скорости.
В частности для шара он высчитывается так:

  \[\textit{J}=\frac{2}{5}mR^{2}\]

Вращающееся тело обладает также моментом импульса (аналог импульса для поступательного движения), который обладает свойством сохранятся для изолированного тела. Вычисляется он по формуле:

\[\textit{L}=J\varpi\]

В нашей задаче меняется момент инерции и угловая скорость, но момент импульса сохраняется:
Отсюда - приравниваем моменты импульса для начального и конечного вращения (1) и(2) получаем:

\[\varpi_{2}=\varpi _{1}\left (\frac{R_{1}}{R_{2}}  \right )^{2}\]

Т.е. угловая скорость уменьшается обратно пропорционально квадрату радиуса
Обычное дело, вспомните как раскручивается фигурист, сжимая руки. Также нейтронная звезда получает вращение сотни оборотов в сек, когда сжимается звезда.

Разбираемся с маятниковыми часами, зная закон всемирного тяготения:

\[T_{1}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{1}}}\; \; \; \; T_{2}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{2}}}\; \; \; \; \rightarrow\; \;  T_2=T_1\sqrt{\frac{g_1}{g_2}}= T_1\frac{R_2}{R_1}\]

Т.е. период маятника пропорционален радиусу.
Т.е наблюдатель, имея кварцевые часы, увидит заходы Солнца чаще пропорционально уменьшению квадрата радиуса.
Имея только маятниковые часы он также заметит, что заходы Солнца стали чаще, но пропорционально уменьшению просто радиуса.

Например, радиус Земли уменьшился 2 раза. Солнце по маятниковым часам будет чаще заходить –  каждые 12 часов. По кварцевым часам ( и биениям своего сердца) каждые 6 часов. Трудновато ему режим выбрать. Тем более, что его вес увеличится в 4 раза.

Конечно, при учете центробежного эффекта уменьшения ускорения свободного падения решение задачи сложнее и зависит от начальной угловой скорости вращения и широты. Но качественно вывод такой же.

[konstkir]

Да просто однородный шар сжимается. Причем, сам процесс и причины сжатия не рассматриваются.

Ну да, это простой случай.

А вот нетривиальная задача: найти вариант распределения плотности, при которой обитатели планеты не смогут заметить изменения продолжительности суток.

Проще всего, наверное, часть массы сосредоточить в центре, а оставшееся равномерно распределить по объему...

То же нетрудно посчитать, подобрав нужный окончательный момент инерции. От него зависит угловая скорость, но не зависит ускорение свободного падения при одинаковом конечном радиусе. И массу надо будет сосредотачивать больше в облочке, оставив газы в центре.

[taurus]

И массу надо будет сосредотачивать больше в облочке, оставив газы в центре.

Почему же? Планета и так быстрее раскручивается, чем маятник раскачивается. Если Всю массу в оболочке собрать, то ситуация только усугубится.

P.S. Похоже, распределение массы по радиусу не влияет на результат. Момент каждого сферического слоя пропорционален квадрату радуса, так что все равно после интегрирования тоже самое получится.

[konstkir]

С точностью до наоборот. Момент инерции полой сферы  J = 2/3 mR², больше чем у однородного шара, поэтомы угловая скорость упадет меньше.

Нам необходимо, чтобы угловая скорость возросла ровно обратно пропорционально R_X
 Поэтому уменьшаем радиус и смещаем массу в сферическую облочку. Искомый радиус находим из ур-я:
 
2/5mR² *w = 2/3 mR_X²* (w*R/R_X)

R_X = 3/5 R

Т.е. уменьшая радиус до 3/5 и сосредоточив массу в оболочке, мы получаем синхронизацию суток с показаниями часов. Было 24часа и осталось на маятнике 24 часа.
Но сердце не обманешь.

[Маринер-9]

Вращающееся тело обладает также моментом импульса (аналог импульса для поступательного движения), который обладает свойством сохранятся для изолированного тела. Вычисляется он по формуле:

\[\textit{L}=J\varpi\]

 Спасибо. Связь между моментом инерции и моментом импульса.. М_да. Надо было лучше в школе учиться

[taurus]

Поэтому уменьшаем радиус и смещаем массу в сферическую облочку.

Я не понял эту фразу.

Предполагается, что при уменьшении радиуса (=сжатии планеты) распределение плотности не меняется. Если мы И уменьшаем радиус, И меняем распределение масс, то вы правы. Если распределение плотности не меняется, то конечный результат не зависит от начального распределения плотности.