Так.
Н чем мы остановились?
Эффективность ЖРД-двигателей.
И так. Наиболее важное повторим и продолжим.
Привод. Высшая инженерная абстракция.
Привод состоит:
А: Движителя.
Б: Двигателя.
Эффективность привода k есть произведение эффективностей двигателя k'' и дижетеля k'
k = k'' k'
И теперь мы готовы СВЯЗАТЬ полезную работу K+Н, совершенную ракетой при выходе на орбиту с теплотой сгорания топлива Q.
Все эти показатели легко считаются.
К - выше дана формула.
Н- тоже примитивно.
Что бы посчитать Q, мы берем массу топлива, заправленного в ракету и умножаем на теплоту его сгорания. Некоторая сложность лишь в случае, если у вас на разных ступенях разное топливо и тут надо все считать отдельно и складывать. Так, как я делал в случае с ракетой Сатурн-5.
Но обратите внимание. Если у нас часть окислителя поступает извне, из атмосферы, то нас это не волнует. Нас волнует только суммарная теплота сгорания топлива.
Исходя из этого мы легко считаем общую эффективность любой химической ракетной системы (с крыльями или без, с забортным воздухом или без) при выходе на орбиту:
Например.
В октябре 1957-го в СССР был выведен первый искусственный спутник Земли массой 86 кг. Но как я уже сказал выше, за ним следом летела 6-и тонная вторая ступень, которая и создавала яркую всем заметную точку на небе.
Посчитаем эффективность этого запуска.
Сначала полезную работу K+H.
Примем за орбиту
"Спутника-1" усредненную круговую 577 км (Апогей - 939 км, перигей - 215 км) и орбитальную скорость 8 км/с.
Особая точность тут не нужна.
K = 6 100 * 8002/2 =1,952E+11 Дж
H = 6 100 * 570 000* 9,8 = 4,469E+10 Дж (18,5 % от всей полезной работы. Выше орбита - выше доля!)
Вся полезная работа 2,399E+11 Дж
Теперь посчитает затраченную энергию Q
Масса топлива (тут это вся рабочая масса) 253 тонны. Из графика выше мы видим что удельная теплота сгорания керосин-кислородного топлива 9,7 МДж/кг.
Q=2,45E+12 Дж
В итоге k = 0,098.
Эффективность привода первого полета в космос чуть меньше 10%!
Я когда-то считал что 13-14% но я неверно оценил тогда массу второй ступени в 7 тонн.
То есть 1-k = 0,9 - это потери в приводе.
Эффективность привода - это эффективность двигателя умноженная на эффективность движителя.
k = k'k''
А учитывая формулу (1) мы имеем:
k = k
1k
2k
3k''
Так эффективность k'' двигателей РД-107 (108) мы знаем из графика выше, где-то 0.39-0.4. Невысокое давление в камере сгорания, невысокая степень расширения сопле, тяжелая молярная масса продуктов сгорания (в общем нездоровый образ жизни!).
k
3 мы договорились пренебречь (она больше 0.99, то есть почти 1)
Но как определить k
1 и k
2?
На самом деле оценка этого - сложная задача. Особенно для многоступенчатой ракеты.
Но сделать огрубленную оценку можно. Тем более что особая точность нам и не нужна. Будем считать ракету одноступенчатой, а параметры двигателей на всех ступенях усредним (в некоторых случаях это даже не надо делать, как в случае Р-7)
И так. Инерция.
Прежде всего представим что ракета разгоняется от 0 до 8000 км/с уже находясь на нужной высоте ориентированная в нужном направлении (по касательной к поверхности Земли) и так быстро что падением за время разгона мы можем пренебречь.
Это
идиотезация идеализация, но куда мы без нее?
Какие тут возникают потери при разгоне до v, у одноступенчатой ракеты, скорость истечения u ракетной массы из двигателя которой мы знаем?
Зависимость инерционной эффективности k
1 легко выводится из формулы Циолковского и закона сохранения энергии:
Для Р-7 скорость истечения оценим по скорости РД-108.
Уровень моря - 2430 м/с
В вакууме - 3087 м/с
Усредненно 2760 м/с. Хотя точней было бы взять в вакууме, так как разгон ракеты осуществляется действительно уже на большой высоте.
Тогда отношение скорости истечения к конечной скорости u/v составялет 0,35-0,38
Из формулы (не спутать u/v с v/u!):
^2[e^{v/u}-1]^{-1})
Мы получаем k
1 в диапазоне 0,54-0,49.
Прекрасно. Осталось посчитать гравитационные потери. Совсем малость. Верно?
Но тут возникают сложности.
Давайте сначала поймем что это за потеря вообще. Гравитационная энергия
консервативна потенциальна.
Поднимая тело массой m на высоту h вы запасаете энергию, опуская - выделяете все запасенное до копейки. Так какие тут потери?
Для начала.
Давайте уточним что мы поняли откуда потери при разгоне (если потери в двигателе мы уже учли!)
Понять откуда берутся потери при борьбе с инерцией легко, имея воображение. Возьмите систему отсчета старта в вакууме без гравитации. Если бы по отсечке двигателя ракета летела со скоростью v относительно старта, а вся ракетная масса в системе отчета старта покоилась, это означало что вся полезная энергия струи K' ушла в разгон ракеты K.
Представили?
Это вообще то невозможная ситуация, хотя к ней можно достаточно близко приблизиться.
Для этого надо отбрасывать ракетную массу ну почти с текущей скоростью ракеты (чуть быстрей или чуть медленней, не суть).
Однако это не наш случай. У нас ракета отбрасывает ракетную массу с постоянной скоростью. И вот теперь представьте (все попили воды, кто-то даже голову под кран сунул?)
Старт. Сначала ракета движется медленно, а ракетная масса движется относительно старта назад почти с -u. Но по мере роста скорости ракеты, у вас скорость отброшенной массы (в системе отсчета старта) становится все медленней и медленней. В конце концов, когда скорость самой ракеты достигает скорости истечения u, v=u, отброшенная в этот момент порция ракетной масса в системе старта покоится. Только эта небольшая часть! Но ракета продолжает разгоняться и теперь отброшенная масса движется за ракетой. Все быстрей и быстрей (в системе отсчета старта). И вот эта суммарная кинетическая энергия движения отброшенной ракетной массы туда-сюда (в системе старта) и есть ПОТЕРЯ движителя при разгоне. Если скрупулезно всю эту массу сложить и учесть ее скорость, ее энергию... Понятно?
Тепловое движение струи мы тут не учитываем. Мы это учли при расчете потерь двигателя. Но теперь мы считаем потери в движителе. Инерционные потери. Они есть и у Р-7 достаточно большие.
Но гравитация. Какие тут потери.
Они тоже немалые.
Представьте. Ракета зависла над Луной. Любая. Первая что попалась:
Двигатель работает. Его тяга строго равна лунному весу ракеты. Расходуется топливо. Масса уменьшается (поэтому висеть - крайне тяжело, над все время снижать тягу двигателя). Но ... полезной работы такое висение не совершает. Ракета не поднимается на новую высоту dh (то есть не запасает потенциальную энергию) не набирает дополнительную скорость dv (не запасает кинетическую энергию).
Вся работа ракеты превращается в ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ.
Но если ракета начнет подниматься и разгоняться?
Все равно. Гравитационные потери остаются. Такими же. Абсолютно такими же. До тех пор пока вы не вышли на орбиту ваши гравитационные потери НАКАПЛИВАЮТСЯ.
И чем дольше вы возитесь с подъемом и разгоном, тем больше ваше топливо и ваша ракета сливает долю полезной энергии Q в гравитационые потери k
2-1.
Ужас!
А как это посчитать для нормально взлетающей ракеты ее гравитационную эффективность k
2 и потерю 1-k
2? Она же постепенно наклоняет свой курс, теряет вес (не только с ракетной массой но и отброшенными ступенями)...
В принципе можно. Есть ряд подходов, вплоть до пошагового моделирования (где можно учесть все в том числе и сопротивление воздуха). Но мы поступим проще.
Нам же известно все эффективности (и потери) кроме k
2.
Зная k'', k
1, (k
3 ~1) и k, мы легко найдем k
2!
Для Р-7, которая выводит спутник:
k
2=0,098/0,4/0,53=0,46
А значит гравитационные потери при запуске "Спутник-1" были 54%
Гравитационные потери хорошо оценивать на глаз прикинув ускорение, с каким ракета уходит со стартового стола. Чем быстрей, тем ниже гравитационные потери.
Так при началной массе Р-7 280 тонн пять двигателей (четыре РД-107 и один РД-108) создали тягу 5*76 =380 тонн. То есть 280/380 = 1,357
Гм...
Это меньше чем у Сатурн-5 , там тяга к массе 1.362. Но мы и подсчитали. Общий КПД тоже ниже оказался в итоге. Тем не менее... Там гравитационные затраты все равно оказались больше.
Напомню:
Эффективнсть всех двигателей Сатурн-5 мы на глаз оценили-усреднили в 0.7 (это -самый сомнительный показатель в наших расчетах)
Эффективность борьбы с инерцией вышла по формуле 0.61 (опять таки "средняя по больнице").
Но эффективность подъема на высоту (из того что итоговая эффективность нам известна достовоерно - 0.109): 0,255.
У Р-7 - 0.46!
Почему у Сатурна-5 так мало?
Видимо тут сыграла роль поперечная схем или то, что ракета в итоге все же ДОЛЬШЕ выходила на орбиту чем Р-7?
То же пересчет для перспективной одноступенчатой водородной многоразовой "Короны":
Эффективность:
Двигатель - 0,75 (достаточно точно)
Инерция - 0.62 (вполне точно)
Гравитация - 0.67
Итого 0.314 (точно)
Теперь. Самое прикольное. Если бы у всех этих ракет были бы волшебные крылья (которые ничего не весят)? То есть не было бы гравитационных потерь (или они были бы сравнимы с потерями на сопротивления атмосфере). Просто в графу гравитация подставляем 1 и сравниваем что было что стало.
Эффективность Р-7 составила бы 0,212. То есть вывела бы в 2,16 раз большую массу на орбиту (доставила бы "тепла и света" на другой конец мира в... мегатонн больше : ) ).
Эффективность "Сатурн-5" составила бы ... фантастические 0,427 вместо 0.109!!! Она бы вывела на орбиту в 3,92 раза больше... 470 тонн!!! Вау!!!
Где этот Знайка с его чудо-прибором?!!!!
Ну и "Корона". Как предел совершенства. Для нее суммарная эффективность возросла бы с 0,314 до 0,465. В 1,48 раз. Даже у нее почти в полтора раза!
При этом на орбиту вышло бы не 45 тонн а 67. При этом, если бы сухая масса (у нас прибор Знайки же!) составила бы все те же 38 тонн, то значит мы вывели бы на орбиту не 7 тонн а сразу 29 тонн!
Чудеса да и только!!!!
Верно?
И шо никаких тебе интегралов?
Вай! ДАрАгой! Зачем тИбе интегралЬ-мимигралЬ!
Ты же знаешь, каждая формула - уменьшает читателей на половину.
А каждый интегралЬ - это умножить еще на икс-куб на трЫ да ещО и плюс константа же! ДАрАгой!!! Вай!!!! Зачем же ж?!!!
