Квадратный градус

[azimuth]

Телесный угол и геодезические координаты - это совсем разные вещи.

Ну, не такие уж разные.
Разница между геодезическими и геоцентрическими широтами небольшая.

Да не в этом дело. Телесные углы - совокупность лучей, исходящих из центра. А в геодезических (геоцентрических сферических для шара) широта определяется углом между лучами, а долгота углом между плоскостями - угол между лучами из центра и угол между плоскостями совпадут только на экваторе.

[Goodricke]

У меня есть два вопроса 

1) Какую площадь неба может увидеть человек?
2) Hubble Ultra Deep Field -  1/13,000,000  Огромная площадь что ли? Как?

Заранее спасибо! 

[Toth]

1) Какую площадь неба может увидеть человек?

Если б человек был рыбой, то видел бы всю верхнюю полусферу, то есть 41253/2 = 20626 градусов.
А так как он не рыба - то примерно 1/5 полусферы.

А у телескопов обычно поле зрения меньше градуса в диаметре. Только у обзорных телескопов, которые ищут страшные астероиды - может быть до нескольких градусов .

[Дрюша]

Если Вики не врёт, то врёт - Сурдин. В этом случае 1 кв. градус - это вовсе не площадь "квадрата" на небесной сфере со стороной 1 градус. И даже про квадратную минуту и секунду - сказать такого нельзя, хотя очень близко. Я же сказал, что на самом деле - не знаю точного определения квадратного градуса, но можно было бы условиться считать либо так, либо эдак (по-сурдински и по-викиевски), разница между этими определениями - хоть небольшая, но есть.

[Дрюша]

1) Какую площадь неба может увидеть человек?

Если б человек был рыбой, то видел бы всю верхнюю полусферу, то есть 41253/2 = 20626 градусов.
А так как он не рыба - то примерно 1/5 полусферы.

А атмосферная рефракция - учтена? А рост человека, стоящего на земле? А если он залезет на Эверест?

[Toth]

А атмосферная рефракция - учтена? А рост человека, стоящего на земле? А если он залезет на Эверест?

Нет. А также не учтены дефекты зрения, облачность, и если он залезет в колодец.

[Дрюша]

Ах, да, и слепое пятно...

Да, кстати, вот, интересно стало: а птицы - видят, куда они летят? Ну, с совой-то всё понятно: она смотрит перед собой и даже бинокулярное зрение имеет. А, вот, утка, чтобы лучше видеть, скажем, - меня, как потенциальную опасность, - поворачивается боком. Ну, это бы ещё ладно, а перед собой-то она - хорошо видит, куда летит? Или как пилот самолёта Т-4 (тоже, кстати, сделанный по аэродинамической схеме "утка") может чуть-чуть посматривать по сторонам, а так - только по приборам...

[Змей Петров]

Сколько квадратных градусов в кубическом дециметре водки?

Тут нужны уже кубические градусы
Впрочем суть - та же.

[leviathan]

Какую площадь неба может увидеть человек?

Всю если повернёт голову.

[Змей Петров]

Если Вики не врёт, то врёт - Сурдин. В этом случае 1 кв. градус - это вовсе не площадь "квадрата" на небесной сфере со стороной 1 градус. И даже про квадратную минуту и секунду - сказать такого нельзя, хотя очень близко.

Для этого существует простое математическое понятие - предел.

[xd]

Подкатываем тяжёлую артиллерию


Нарисуем квадрат с длиной стороны p на полюсе единичной сферы так, чтобы центр квадрата был ровно в полюсе сферы P=(0,0,1), а углы были направлены по ортам X и Y.
При таком построении углы будут находиться в точках \((\pm L, 0, Z)\) и \((0, \pm L, Z)\).

Если теперь соединить полюс (центр квадрата) с его вершинами, то получим 4 равных сферических равнобедренных треугольника с основаниями p и прямым углом при вершине, с боковыми рёбрами длиной r. Площадь каждого из треугольников будет равна их сферическим избыткам, а площадь квадрата - учетверённой площади треугольника.

Параметры L и Z связаны соотношением \(\displaystyle L^2 + Z^2 = 1\) (нормировка вектора), а скалярное произведение смежных векторов даст косинус угла p, то есть \(\displaystyle (L,0,Z)\cdot(0,L,Z) = Z^2 = \cos p\), откуда следует, что \(\displaystyle L^2 = 1 - Z^2 = 1 - \cos p = 2 \sin^2 \frac{p}{2} \), или \(\displaystyle L = \sqrt{2} \sin \frac{p}{2} \).

С другой стороны, проекции L на оси X/Y будут равны синусу дуги боковой стороны треугольника: \( L = \sin r = \sqrt{2} \sin (p/2) \).

По теореме синусов найдём угол, противолежащий стороне r: \(\displaystyle \frac{\sin p}{\sin P} = \frac{\sin r}{\sin R}\), но мы помним, что угол при вершине P - прямой, поэтому \(\displaystyle \sin R = \frac{\sin r}{\sin p} = \frac{\sqrt{2} \sin \frac{p}{2}}{\sin p}\).

Сферический избыток \( \displaystyle \epsilon = \frac{\pi}{2} + 2 R - \pi = 2 R - \frac{\pi}{2} \). А поскольку сфера единичная, то площадь треугольника равна сферическому избытку, а площадь квадрата - учетверённой площади квадрата.

Подставляем всё и получаем: \(\displaystyle S_\Box = 4 \left(2 R - \frac{\pi}{2}\right) = 8 R - 2 \pi = 8 \arcsin \frac{\sqrt{2} \sin \frac{p}{2}}{\sin p} - 2 \pi \).

Построим график \(\displaystyle S_\Box(p)\) (полный/начальный участок) и видим на начальном участке ожидаемую параболу.
Для наглядности построим также график \(\displaystyle \frac{S_\Box}{p^2}(p)\), который отлично демонстрирует отклонение зависимости от линейной. Увеличенный начальный участок показывает, что ошибка в 2% накапливается примерно к 20 градусам, на 30 градусах уже 5% и дальше быстро растёт. Для справки: 1% - 14 градусов, 0.1% - 4.4 градуса, 0.01% - 1,4 градуса. Дальше повышение точности в 100 раз даёт угол в 10 раз меньший.

[Goodricke]

Если Вики не врёт, то врёт - Сурдин.

Это правда. Согласен.

Всю если повернёт голову

360°? 

[nolv]

На заре увлечения ла об квадратные градусы чуть голову не сломал. Пытался разобраться, как яркость из m/кв.сек переводить в кд/м2 и обратно )
Твердо усвоил, что
\[  квадратный градус = (π/180)^2 стерадиан \]

[Абака Тунде]

Если Вики не врёт, то врёт - Сурдин.

Оба правы. Просто тов. Сурдин не раскрывает, что такое угловой размер 1°х1°. 

1. Для начала определимся с тем, что такое угловой размер 1°. Это угловое расстояние между двумя точками на сфере. Как оно вычисляется? Через две точки проводят дугу, часть большого круга. Отношение длины этой дуги к длине большого круга и составит угловой размер.
2. Что такое большой круг? Это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы. (Точнее сказать окружность, но пардон муа.) Через центр сферы можно провести бесконечное число плоскостей, соответственно, больших кругов существует бесконечное множество.
3. Однако в сферической системе координат используется только один большой круг -- экватор. Но Сурдин нигде не ссылается на сферическую систему координат, поэтому он свободен в выборе больших кругов!
4. Что такое угловой размер 1°х1°? Это два угловых размера по одному градусу, взятые перпендикулярно, т.е., через букву х. Говоря другими словами, второй размер также вычисляется по большому кругу, но по другому кругу (их же бесконечное множество). Другой круг образован плоскостью, также проходящей через центр сферы, но перпендикулярно первой плоскости.
5. Таким образом, мы получим на сфере участок, который ни в коей мере не является квадратом (квадрат -- фигура плоская), но ограниченный четырьмя дугами, каждая из которых принадлежит своему собственному большому кругу. При этом плоскости, образующие большие круги, будут взаимно перпендикулярны своим соседям.
6. В таком случае, Википедия и Сурдин совпадут в точности.

Возникает вопрос, зачем же херить сферическую систему координат?  Да ведь, её же нет нигде, кроме как на глобусе. На одной и той же карте, например, может быть сразу несколько разных сферических систем (полярная, эклиптическая, галактическая и др.). Когда же мы производим замер на реальном небе, реальным инструментом (условным транспортиром), то там нет ни одной, мы измеряем дугу большого круга между двумя точками. Сам же круг проходит так, как придётся. Конечно, если измерять сразу две дуги, то можно привязаться к одной из сферических систем, но тут уже нужен серьёзный инструмент, который, между прочим, даст дополнительную погрешность. Одним словом можно считать, что «так сложилось исторически».

[Крупин]

Враньё. В сферической системе координат большие круги - только меридианы. Параллели таковыми не являются. И, соответственно, есть громадная разница, где взят градус широты - на экваторе или около полюса.

Вы как Ходжа Насреддин из анекдота

Приятель Ходжи Насреддина как-то раз пришел к нему
посоветоваться о деле. Изложив ему все, приятель в конце спросил: “Ну
как? Разве я не прав?”
Ходжа заметил: “Ты прав, братец, ты прав…” На следующий день ничего не
знавший об этом противник также пришел к Ходже. И он также рассказал
ему дело, разумеется, в выгодном для себя свете.
“Ну, Ходжа, что ты скажешь? Разве я не прав?” – воскликнул он. И ему Ходжа ответил: “Конечно, ты прав…”
Случайно жена Насреддина слышала оба эти разговора и, вознамерившись пристыдить мужа, воскликнула:
“Эфенди, разве могут быть правы одновременно и истец и ответчик?”
Ходжа спокойно посмотрел на нее и сказал: “Да, жена, и ты тоже права…”

[xd]

1. к радиусу
3. справедливо только для экваториальной СК, и то с оговорками.
5. нет. углы квадрата будут тупыми. см. мой пост выше.
6. но не совпадут в силу сказанного про п.5.

[Mercury127]

1/41252.96125 часть сферы.

- по моему, самый правильный ответ.
а это:

Сколько будет один квадратный градус?

Мало.

А 5000 сколько будет?

Много. 4... 5 крупных созвездий

- самый доходчивый.

[konstkir]

Все это вокруг, да около.
Вопрос, по существу формулируется  просто.
Имеем  4-х-гранную пирамиду .
Все углы при вершине пирамиды равны 1⁰.
Спрашивается, какой телесный угол имеет пирамида при вершине в квадратных градусах?

[Дрюша]

В том-то и дело, что не совсем. А чуть больше. На пять тысячных процента, - а больше. Или угол надо брать не точно один градус, а на две с половиной тысячных процента меньше. Потому что у пирамиды все грани плоские, а тут речь - об участке сферы, который немножко выпячивается. То есть, имеет несколько бОльшую плоцадь, чем имела бы плоская грань пирамиды. А телесный угол - это мера имени площади на единичной сфере.

[konstkir]

Опять же это все около
Хотелось бы точное решение в формулах