Решение задачи двух сталкивающихся тел

[СТРОБОСКОП]

Да все просто.
Есть формула (по Ньютону-Кеплеру) периода вращения  для двойных звезд. Так определяют обратную задачу - массу звезд по измерениям расстояний и периоду

\[P=2\pi \sqrt{a^{3}/G(m_{1}+m_{2})}\]

Ребята   в этой формуле    Р- это время полного оборота, а нам надо найти половину этого периода.  а-большая полуось системы. Подставьте а=R/2. И найдете ответ.

Т.е.
\[t=P(R/2)/2=\pi \sqrt{(R/2)^{3}/G(m_{1}+m_{2})}=\pi /2\sqrt{R^{3}/2G(m_{1}+m_{2})}\]
Получили выражение , которое позже вывел Geen.
Неудачно записал, ну все поняли, что G(m₁+m₂) стоит в знаменателе подкоренного выражения.

[ulitkanasklone]

В данном случае время является аналитической функцией расстояния.

Ну так я и писал об этом.
Для функции y=f(t)  выражение в виде формулы найти невозможно. А для обратной t=f(y) - возможно.
А ulitkanasklone утверждает , что нашел формулу y=f(t).

Зачем мне  y=f(t). Мне нужно время. Для него решение точное. t=f(r)

[Toth]

Для него решение точное. t=f(r)

Ну тогда надо читать внимательнее, что я писал в посте #82

[ulitkanasklone]

Для него решение точное. t=f(r)

Ну тогда надо читать внимательнее, что я писал в посте #82

Вы написали:

Само диф. уравнение y''(t)=-G(M1+M2)/y^2  не имеет аналитического решения,

Я это понял именно так, как написано, и никак иначе.

[Toth]

Вы написали:

а дальше я писал но можно найти обратную функцию t=f(y)  (где y - расстояние, t - время)
и привел ссылу на формулу .

[ulitkanasklone]

Вы написали:

а дальше я писал но можно найти обратную функцию t=f(y)  (где y - расстояние, t - время)
и привел ссылу на формулу .

Это и есть аналитической решение. Спор чисто формальный.

[Toth]

Это и есть аналитической решение. Спор чисто формальный.

Ну хорошо. Пусть будет так. И так натоптали уже 7 страниц по простому вопросу.

[ulitkanasklone]

Это и есть аналитической решение. Спор чисто формальный.

Ну хорошо. Пусть будет так. И так натоптали уже 7 страниц по простому вопросу.

Я именно такой дифур и решал и получил другой ответ, а почему , не могу понять.

[sharp]

Я именно такой дифур и решал и получил другой ответ, а почему , не могу понять.

Напишите сюда как решали, возможно найдем ошибку коллективно)

[ulitkanasklone]

Напишите сюда как решали, возможно найдем ошибку коллективно)

Я начало отсчета  поместил в центр симметрии и упросил себе задачу - массы одинаковые. Тогда
\[ \ddot{r}=-\frac{GM}{(2r)^2} \quad(1) \]
в знаменателе взял удвоенное расстояние и рассматриваю движение одного тела справа. Точка сверху - производная по времени. Они должны встретиться в центре, расстояние от центра : \( r_0 = 1/2 м \) .
Первый интеграл :
\[ \dot{r}^2=\frac{GM}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0})  \]
\[ \dot{r}=-\sqrt{\frac{GM}{2}}\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}} \quad(2)  \]
Постоянная интегрирования выбрана исходя из того, что тела покоились в \( t=0 , r=r_0 , \dot{r}=0 \)

Дальнейшее интегрирование (матпакетом) дает точную формулу:

\[ t=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{MG}}[r_0^{3/2}arctg{\sqrt{\frac{r_0}{r}-1}}+r\sqrt{r_0}\sqrt{\frac{r_0}{r}-1}] \quad(3) \]

Постоянная интегрирование ноль, исходя из начальных условий.
в предельном случае при \( r=0 \) второй член отбрасываем, а \( arctg(\infty)=\pi/2 \)
Получаем:

\[ T=\frac{{\pi}r_0^{3/2}}{\sqrt{2GM}} \quad(4) \]

\( r_0=1/2, M=1, G=6.67*10^{-11} \) получаем \( T=96167 \)  сек.

Теперь  ответ совпал. Если бы по формуле Toth решал , то не совпал бы.

[Toth]

Если бы по формуле Toth решал , то не совпал бы.

В той формуле - координаты относительно одного из тел. Поэтому там G умножается на сумму масс. Там все совпадает.

[ulitkanasklone]

Если бы по формуле Toth решал , то не совпал бы.

В той формуле - координаты относительно одного из тел. Поэтому там G умножается на сумму масс. Там все совпадает.

А где у вас начало отсчета и чему равно расстояние между телами в нулевой момент времени \( y_0 \) ?

[Toth]

и чему равно расстояние между телами в нулевой момент времени y0y0 ?

y0 - это и есть начальное расстояние между телами при t=0.
Там же букафкой t обозначено время. Если подставить y=0 получим время до столкновения.

[ulitkanasklone]

и чему равно расстояние между телами в нулевой момент времени y0y0 ?

y0 - это и есть начальное расстояние между телами при t=0.
Там же букафкой t обозначено время. Если подставить y=0 получим время до столкновения.

Правильно я понял, что вы связали оси координат с одним из тел и начало координат совпадает с центром этого шара?

[Toth]

равильно я понял, что вы связали оси координат с одним из тел и начало координат совпадает с центром этого шара?

Я уже неоднократно об этом писал, поэтому буду сам себя цитировать, уж простите

Так вы определитесь, в какой системе считаете.
Если в барицентрической - то и полуось относит. барицентра, и масса - по формуле приведенной массы
Если с центром в одном теле - то полуось одного отн. другого, и масса = сумме масс.
И будет вам счастье, то есть один и тот же ответ.

Да, правильно. В этой формуле из англоязыкой вики принята относительная система координат. Центр координат - в центре одного из тел.

[Крупин]

Если в барицентрической - то и полуось относит. барицентра, и масса - по формуле приведенной массы

А что Вы понимаете под приведённой массой?

[ulitkanasklone]

Да, правильно. В этой формуле из англоязыкой вики принята относительная система координат. Центр координат - в центре одного из тел.

Это неинерциальная система отсчета и я не знаю , как выглядит в ней классический закон гравитации.

[Toth]

А что Вы понимаете под приведённой массой?

Вот - уже показывал. Вроде называется приведенная масса.

[Крупин]

Да, правильно. В этой формуле из англоязыкой вики принята относительная система координат. Центр координат - в центре одного из тел.

Это неинерциальная система отсчета и я не знаю , как выглядит в ней классический закон гравитации.

    Оказывается расстояние (и вообще радиус-вектор) между телами в исходной задаче меняется точно так же, как если бы вместо одного тела была прикреплённая масса (m1+M2), а другое тело было бы на своём месте (масса этого тела в случае гравитации безразлична, поскольку, как известно, g от массы падающего тела не зависит.

[Крупин]

А что Вы понимаете под приведённой массой?

Вот - уже показывал. Вроде называется приведенная масса.

Пардон, так это Вы и есть СТРОБОСКОП?
Вы тупо идёте у него в поводу. Эта приведённая масса не в дугу, что показывает следующее рассуждение.

Вы сами написали, что в относительной системе центральная масса, закреплённая в одном из тел равна сумме масс - т.е. удвоена = 2m. При этом расстояния между телами те же - 1м.

О барицентрической системе Вы пишете, что расстояния половинные, т.е. 0, 5м. А в барицентре сидит закреплённая приведённая масса m1*m2/(m1+m2)=0,5m.

Но в выражение для времени входит подкоренная комбинация "полуось в кубе, делённая на массу центрального тела.
В первом случае a=0,5м , M=2m

во втором случае a вдвое меньше a=0,25м. , M=0,5m (приведённая масса). Но тогда вверху куб полуоси уменьшился в восемь раз, а внизу масса - только вчетверо. Времена отличаются в корень из двух раз.

Правильная масса для барицентрической системы M=m/4 (а не половинная). Решение Л-Л - это решение первое (для относительной системы). К барицентрической системе оно никакого отношения не имеет.