Решение задачи двух сталкивающихся тел

[Toth]

Так вы определитесь, в какой системе считаете.
Если в барицентрической - то и полуось относит. барицентра, и масса - по формуле приведенной массы
Если с центром в одном теле - то полуось одного отн. другого, и масса = сумме масс.
И будет вам счастье, то есть один и тот же ответ.

[СТРОБОСКОП]

Орбиты 1 и 2   (диаметр орбиты 1, и большая полуось равен 0.5м, большая полуось системы случая 2 равна  1м)) , это формула ответа 85.  Наш случай орбиты 3, и большая полуось системы здесь 0.5м)

[sharp]

Считается период одного эллипса из двух растянутых. А у него полуось - 0,25м(при вырождении).

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Orbital_period
Раздел "Two bodies orbiting each orher, читаем внимательно что есть "а" в этой формуле.

[AlAn 3/4+]

Ребята   в этой формуле  (ответ 85)  Р- это время полного оборота, а нам надо найти половину этого периода.  а-большая полуось системы. Подставьте а=R/2. И найдете ответ. (R =1м)

Вообще-то время падения в центр орбиты (будем считать орбиту круговой) равно 1/4 периода орбитального обращения.

[konstkir]

Тела начинают падать с 1м и разбегаются на метр. Значит полуось каждого эллипса 0,25м.

[Крупин]

Даю свои параметры согласно ссылке:
Решение задачи двух сталкивающихся тел

Заменяем второе тело четвертинкой и при этом переносим в центр масс. Сила воздействия второго тела на первое ничут не менется, поскольку четверное уменьшение массы компенсируется в точности двукратным сокращением дистанции. так что первое тело движется точно так же.

В итоге постановка задачи: найти время падения тела (любой малой массы) на планетку (очень малого радиуса) массы уменьшенной вчетверо и приближенной вдвое.

По моему так попроще для школного понимания...

 
« Последнее редактирование: 24.11.2017 [16:52:00] от Крупин »

Итак, постановка эквивалентной задачи:
На планету массой m/4=0,25кг падает небольшое тело (поскольку моя эквивалентная масса жёстко закреплена в ц.м. исходной системы, масса падающего тела безразлична) с половинного расстояния (0,5м). Найти время падения.
Полуось a=0,25м. M=0,25кг. Если a увеличить вдвое (сделать равным 0,5m/), а массу увосьмерить M=2кг.=(m1+m2), то подкоренная комбинация в формуле для периода a³/M не изменится. Т.е мои времена такие же как при условии a=0,5. M=(m1+m2)=2кг.

[СТРОБОСКОП]

Вообще-то время падения в центр орбиты (будем считать орбиту круговой) равно 1/4 периода орбитального обращения.

На рисунке: 1 круговая орбита двух тел, 2 орбиты этих же двух тел при приближении к вырождению эллипса. Но периоды обращения у них разные (полуоси системы отличаются в два раза)  В случае вращения маленького тела вокруг большого орбиты получаются похожие, Но там величина полуоси орбиты не меняется, и период обращения не меняется. Поэтому  в случае падения неподвижных тел друг на друга (случай 3), сравнивать надо с круговой орбитой двух тел с равной полуосью системы ( т.е. с орбитой двух тел 1), и там и там время падения будет равно половине периода. (При выводе формулы решение сводится к случаю неподвижного центра , поэтому сравнивается с круговой орбитой R/2)
Просто одинаковые орбиты вращения двух одинаковых тел друг вокруг друга, отличаются по временным параметрам от таких же (по геометрии) орбит малых тел вокруг массивного центра.

[AlAn 3/4+]

Вообще-то время падения в центр орбиты (будем считать орбиту круговой) равно 1/4 периода орбитального обращения.

На рисунке: 1 круговая орбита двух тел, 2 орбиты этих же двух тел при приближении к вырождению эллипса. Но периоды обращения у них разные (полуоси системы отличаются в два раза)  В случае вращения маленького тела вокруг большого орбиты получаются похожие, Но там величина полуоси орбиты не меняется, и период обращения не меняется. Поэтому  в случае падения неподвижных тел друг на друга (случай 3), сравнивать надо с круговой орбитой двух тел с равной полуосью системы ( т.е. с орбитой двух тел 1), и там и там время падения будет равно половине периода. (При выводе формулы решение сводится к случаю неподвижного центра , поэтому сравнивается с круговой орбитой R/2)

Возможно, Вы правы, тут тела сравнимой массы, а я в своё время решал подобную задачу для тела, падающего в туннеле, сквозь центр Земли (для простоты через ось "глобуса", чтобы исключить влияние вращения). Естественно, массу Земли можно считать в этом случае бесконечной, как никак 5,97×10²⁴ кг. Любая мыслимая масса пробного тела много меньше. Кроме того, в такой задаче сила, тянущая к центру уменьшается, а в предложенной задаче, должна расти.

[AlAn 3/4+]

Я тут вот ещё о чём подумал. Массы тел -- невелики, расстояние тоже.  Каждое тело пролетит всего 0,5м. Нельзя ли гравитационную силу приближённо считать постоянной, и тогда просто останавливаем одно тело. Его ускорение прибавляем к ускорению второго тела с обратным знаком и берём расстояние R/2.  Далее -- равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью.
Интересно, насколько будут отличаться результаты?

[Geen]

Для ТС.


Пусть вдоль оси \(X\) движутся два тела массами \(m_1\) и \(m_2\) так, что их общий центр масс неподвижен и находится в начале координат.
Пусть координата первого тела \(x\), тогда координата второго будет \(-x\frac{m_1}{m_2}\). Обозначим скорость первого тела \(v=\frac{dx}{dt}\), тогда скорость второго будет \(-v\frac{m_1}{m_2}\). Расстояние между телами будет \(|x|\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)\). Обозначим его \(r\). Без ограничения общности можем считать, что \(x\gt0\). Тогда, \(x=\frac{m_2}{m_1+m_2}r\), а \(v=\frac{m_2}{m_1+m_2}\dot{r}\).
Кинетическая энергия системы тел будет \(m_1\frac{v^2}{2}+m_2\frac{m_1^2}{m_2^2}\frac{v^2}{2}=\frac{m_1}{m_2}\frac{v^2}{2}(m_1+m_2)=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\frac{\dot{r}^2}{2}\).
Потенциальная энергия будет \(-G\frac{m_1m_2}{r}\).
Сумма этих энергий будет константой, или \(\dot{r}^2=C+2G\frac{m_1+m_2}{r}\). Считая, что тела начинаются двигаться из состояния покоя на расстоянии \(R\) друг то друга в нулевой момент времени, имеем \(dr=-\sqrt{2G(m_1+m_2)}\sqrt{1/r-1/R}dt\) и \(\sqrt{rR(R-r)}+R^{3/2}\arctan\sqrt{R/r-1}=\sqrt{2G(m_1+m_2)}t\).
Подставляя \(r=0\) находим \(T=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{2G(m_1+m_2)}}\).
Беря \(G\approx 2/3\cdot10^{-10} m^3s^{-2}kg^{-1}\) и \(\pi\approx 3.14\) получим \(T\approx 1.57\cdot10^5\sqrt{3/8}s\approx96000s\)

[Toth]

Да как будто компьютеров ни у кого нет. Взяли бы, хотя бы в Эксцель по самому простому методу - Эйлера.
Вот результаты - я считал, правда по методу Эрмита ( что-то вроде " супер Рунге-Кутта " ). Шаг интегрирования брал порядка секунды, но чтоб не слишком много данных было - сами данные с шагом 1 минута. Расстояния между телами в метрах.
Проверяйте.

PS Пока писал, появилось от Geen. Ну да, все совпадает.

[СТРОБОСКОП]

Считая, что тела начинаются двигаться из состояния покоя на расстоянии R

Geen,  R-расстояние от центра координат (Х=0), или между телами?

[Geen]

Считая, что тела начинаются двигаться из состояния покоя на расстоянии R

Geen,  R-расстояние от центра координат (Х=0), или между телами?

Фраза относилась к уравнению из предыдущего предложения (того же абзаца). Т.е. \(r=R\) (и \(\dot r=0\)) при \(t=0\).

[gree3x]

Для Geen.


Спасибо огромное за ответ. Помог конкретно.

[gree3x]

Всем неранодушным тоже спасибо.

[ulitkanasklone]

Само диф. уравнение y''(t)=-G(M1+M2)/y^2

почему же , имеет аналитическое решение. Я его нашел, только получил в \( \sqrt{2} \) больше, чем нужно, не могу понять где ошибка, а так бы привел.

Geen, я получал похожий результат, но с точностью до корень из двух.

Вот результаты - я считал, правда по методу Эрмита ( что-то вроде " супер Рунге-Кутта " ).

Не надо было так сложно, есть решение точное.

[Toth]

есть решение точное.

Ну так - формулу в студию.

[Крупин]

есть решение точное.

Ну так - формулу в студию.

Если одна переменная ДУ (неважно какая) выражена через другую, значит аналитическое решение имеется. В данном случае время является аналитической функцией расстояния.

[Toth]

В данном случае время является аналитической функцией расстояния.

Ну так я и писал об этом.
Для функции y=f(t)  выражение в виде формулы найти невозможно. А для обратной t=f(y) - возможно.
А ulitkanasklone утверждает , что нашел формулу y=f(t).

[Крупин]

Он неправ. Расстояние через время выражается в виде замудрёного бесконечного гармонического ряда с коэффициентами, в которых задействованы функции Бесселя.