Колонизация Титана

[Андрей Астрофизический]

Общего не будут. Частные, какие посчитались.
Все остальное - загонять в виртуальную симуляцию, и считать  внутре нее. По другому никак.

[alex_semenov]

А кстати даже не трех. Как минимум надо учесть Солнце, Землю, Сатурн, и кораблик.
Ну и Юпитер из такого расчета выкидывать как то некрасиво. Он ведь, как подсобить, так и напакостить может.

Не надо. Мы не считаем абсолютно точно траекторию. Нам нужна оценка плюс-минус "лапоть" ну 10-20% погрешности. Допустимо. Главное не промахнуться в разы.
При таких прикидках все считается как задача двух тел. А целостный полет разбивается на изолированые этапы. В частности Гомановский переход это энергетически лучший переход с низкой орбиты вокруг Солнца на высокую или обратно. Собственно гравитация тела покидания (Земли) и прилета (Сатурна) при этом "обнуляются" и фактически весь расчет разбивается на три упрощения (везде - задача двух тел):
1 Выход из поля тяготения Земли (тут те корни квадратные, пифагоровы штаны) на бесконечность (относительно Земли). Два тела Земля и наш корабль.
2 Полет со сменой орбит вокруг Солнца (опять задача двух тел, ее то мы и решаем сйчас, пытаясь уйти от Гомана и перейди на более "прямые" и быстрые трассы. Два тела Солнце и наш корабль)
3 Встреча корабля с целью. Корабль-тело из бесконечности (в системе Сатурна) приближается и падает в гравитационный колодец планеты-цели. Опять задача двух тел: корабля и Сатурна. Остальные тело не учитываются, так как их влияние на данном этапе пренебрежимо мало (для нас).
Всё оценивается  достаточно грубо. Но нам очень точно и не надо. Нам нужна оценка возможности перелета на том или ином транспортном средстве. Именно оценка. У вас есть метода такой оценки?
Я ведь межзвездник! Я за планеты берусь в первый раз в жизни!
Но судя по тому как много тут говорят о всяких там колонизациях Марса, Луны и прочее и прочее, то  местные обитатели должны быть просто до зубов вооружены  всей этой расчетно-аппроксимирующей эллептически-параболическйо хренью! Это же основа основ! Нет?
Вот вы хотите долететь до Марса за 4.5 месяца. Допустим. Как вы оцените энергетические затраты? Как понять какой корабль? Какая у него заправка?
Без умения такое прикидывать - никак!

Общего не будут. Частные, какие посчитались.
Все остальное - загонять в виртуальную симуляцию, и считать  внутре нее. По другому никак.

Эх батенька! Избалованы вы всякого рода симуляторами!!!
Хорошо. Допустим. И?
Как вы там будете ПОДГОНЯТЬ расчет? Методом тыка? Вам ведь все равно надо взять для начала некую приблизительную оценку и выплясывая от нее грубый контур траектории, проект полета, а уже потом точно считать все поправки (так это и делается на самом деле). Все равно без первичных аппроксимаций по старым добрым методам вы  никак не обойдетесь. Даже с супер-пупер вычислительными машинами и моделями.

[Андрей Астрофизический]

1 Выход из поля тяготения Земли (тут те корни квадратные, пифагоровы штаны) на бесконечность (относительно Земли). Два тела Земля и наш корабль.
2 Полет со сменой орбит вокруг Солнца (опять задача двух тел, ее то мы и решаем сйчас, пытаясь уйти от Гомана и перейди на более "прямые" и быстрые трассы. Два тела Солнце и наш корабль)
3 Встреча корабля с целью. Корабль-тело из бесконечности (в системе Сатурна) приближается и падает в гравитационный колодец планеты-цели. Опять задача двух тел: корабля и Сатурна.

В принципе так можно. Только это будет что-то между параболой и гиперболой во всех трех случаях. Во втором наверняка.
Про Гомана забыть, как страшный сон. Если хотите чтоб гаврики добрались до Сатурна раньше пенсионного возраста.

У вас есть метода такой оценки?

Посчитать то я могу. А надо?)
Если честно, лень. Я ж не фанат освоения системы Сатурна.

Но судя по тому как много тут говорят о всяких там колонизациях Марса, Луны и прочее и прочее, то  местные обитатели должны быть просто до зубов вооружены  всей этой расчетно-аппроксимирующей эллептически-параболическйо хренью! Это же основа основ!

По идее да... По факту азы орбитальной механики не всем известны.

[alex_semenov]

Посчитать то я могу. А надо?)
Если честно, лень. Я ж не фанат освоения системы Сатурна.

Так разве в Сатурне дело?
Мы просто обычно имеем дело с Гоманом, который, разумеется "по зубам" только автоматам. Пусть Марс. Вы можете взять и на вскидку решить задачу перелета к нему за произвольное время Т?
Мне самому лень садиться делать разностную модель "в столбик" для проверки своих прикидок. Хотя когда-то я уже на Паскале писал и даже запускал на экране, наблюдая реально движение спутника по орбите тела. Ничего сложного там нет. Ньютоновская механика, закон тяготения, декартовы проекции. Но надо садиться и корпеть. Никакая модель с первого запуска "не летает". Я знаю что в том же "Орбитере" все это есть. Но изучать это - легче в Еxcele сварганить с нуля.
Как желаете.
Просто после того как я сильно ошибся с аппроксимацией по  Гоману, хочу проверить ту же аппроксимацию уже по данным Левантовского. Насколько я с ним промазал? Вообще насколько адекватна моё упрощение? Где границы доверия ему, если оно в чем-то таки адекватно?
Меня интересует только решение 2-го этапа. Перелет Земля-планета. Остальные этапы описаны в книжках и сомнения не вызывают. Поэтому мне даже не важно куда-то попасть. Я стартую с орбиты Земли с прикидочной скоростью и слежу с какими параметрами (за какое время) я пересекаю орбиту Сатурна (или иного тела) и сравниваю полученный результат с тем что дает моё упрошение. Собственно задача попадания в планету - это уже вопрос взаимного расположения. Это меня вообще не волнует (это задача баллистиков, а я инженер-двигателист).

[Ulkolainen]

А НА ДАННОМ этапе и нет необходимости учитывать вектора.

Дело хозяйское. Я как сумел – так предупредил...

Насколько я понимаю,  эта разница как раз возникает именно из гомановского ЭЛЛИПСА. То есть Vпл - это апогелий эллипса Гомана. VЗ - перигелий эллипса Гомана. Собственные грав ямы планет тут уже "вычтены" (сведены к 0).

Ямы-то сведены. А орбитальная скорость в этих самых 35,84 учтена Вами или нет? У Земли она 29,7, у Сатурна 9,7. Земную Вы плюсуете при отлёте, а с Сатурнианской что делаете? 
«Vпл - скорость подлета к планете» - это она относительно планеты назначения (т.е. Сатурна)  4,2 км/с? или «всего» (т.е. в той же СО, в которой VЗ ранее была  40,02)??
*[Ниже выберу посчитать, что как будто в той же, хотя и подозреваю, что по факту она не там]

Конечно, если сюда заглянет AlexAV, то они быстро возьмет интеграл (как и надо по-уму) и внесет все поправки. Но мы же простых путей не ищем?
Нам бы ПОНЯТЬ как это работает "на пальцах"!

А на пальцах Вам первый же комментатор порекомендовал: считайте через энергии.
У нас же нет Закона Сохранения Скорости. А ЗСЭ  есть!
При отлетной с Земли  40 км/с наш КА будет энерговооружен на 800 МДж/кг, достигнув орбиты Сатурна сохранит  4,2 км/с (8,8МДж) – т.е., 791 переведёт в потенциальную.  Грубо те же 800 для дальнейших прикидок
Вам надо долететь быстрее? ОК, энерготрансформация будет та же, а со скоростями  получится вот что:
Старт 50 км/с (1250МДж) >>  финиш 450 МДж  (30 км/с)
Старт 60 км/с (1800) >> финиш 1000 (44,7км/с).
И так далее...
Т.е. *гравияму* удобнее представлять не как колодец с фигурно выполненными стенками, а как бездонную воронку с песком, непрестанно сыплящимся навстречу. Чем быстрее Вы из неё выскакиваете – тем меньше он успевает Вам помешать. ∆V=at , даже когда а переменное.

Проблема лишь в том, что недо-убывшую скорость на финише придется гасить принудительно, след-но, отправлять туда не только посадочный модуль, но и полноценный разгонный (в смысле – тормозной)  блок.

Если a - константа, то (чисто геометрически) интеграл пути - это среднее арифметическое от начальной и конечной скорости умноженное на время.

Никаких  «если».  а – НЕ констата, оно падает по квадрату расстояния до гравитирующего тела – ну, Третий Ньютон же!

[Кремальера]

след-но, отправлять туда не только посадочный модуль, но и полноценный разгонный (в смысле – тормозной)  блок.

Какой-такой еще тормозной?Титан тело с плотной атмосферой.Аэробрэкинг,причем гораздо более полезный чем в случае с той же Землей.Можно на эллипс вокруг Титана,а можно в системе Сатурна остаться.Единственно Александр Анатольевич предлагает какие-то невменяемые скорости перелета(зачем?),поэтому сразу не сядешь,но со второго,третьего нырка вполне.

[cybertron]

Бросайте вы эти ядерные космолеты

Ионные двигатели + солнечные батареи освещаемые лазерами с Луны. 100 мегаватт лазерный комплекс. И вы достигаете Юпитера за год. А Плутон за 3.5 года.

https://www.nasa.gov/directorates/spacetech/niac/2017_Phase_I_Phase_II/Propulsion_Architecture_for_Interstellar_Precursor_Missions/

 - 10-километровый лазерный массив 100 МВт,
 - 70% эффективная фотоэлектрическая матрица, настроенная на частоту лазера, генерирующую мощность при 12 кВ.
 - Ионный директ-драйв мощностью 70 МВт на основе лития (не ксенона) с удельным импульсом 58 000 с.

[Кремальера]

- 10-километровый лазерный массив 100 МВт,
 - 70% эффективная фотоэлектрическая матрица, настроенная на частоту лазера, генерирующую мощность при 12 кВ.
 - Ионный директ-драйв мощностью 70 МВт на основе лития (не ксенона) с удельным импульсом 58 000 с.

Ионные двигатели для пилотируемой экспедиции к внешним телам  не годятся.Там нужна ПН в 100 тонн.,если экипаж хотя бы из трех гавриков.Если говорить о ионной тяге,я бы для начала отправил бы туда мини-изыскателей на базе несколько проапгреденного 12U-сатика на йоде.Там очень простой движок,дешевый,а главное -запас дельты приличный. https://www.nasa.gov/sites/default/files/atoms/files/vlad_busek_iodine_rf_ion_thruster_tagged.pdf
http://www.busek.com/
Вполне хватит чтобы аппаратик сам ушел с земной НОО по Гоману в систему Сатурна.
Что же до самого пилотируемого корабля.,то здесь проще апрейдить Starship.Делать из него изыскатель внешних планет.,с ваккумными Рапторами 4-метрового диаметра,с у/и в 400 сек.Полностью заправленный на земной НОО такой корабль может дать 10 км/сек дельты.Если лететь в синод,то добраться можно будет за 3 года 7 месяцев,а не за 6 лет,как по Гоману.

[Проходящий Кот]

А трупам какая разница, за сколько они прилетят к Сатурну?

[Кремальера]

Ну только вот не надо тут.Александр Анатольевич сказал что короновируса не существует.Поэтому нам какие-то домыслы о страшной радиации вообще фиолетовы.

[Проходящий Кот]

Нам может быть. Только вот радиация не в курсе.

[SpaceEngineer]

Нашел точное решение. Ну как точное, в приближении круговых орбит, игнорируя взаимные наклонения и прочие планеты. Все формулы есть в википедии. Стартуем мощным импульсом с орбиты Земли (которая вокруг Солнца), где-то на границе её сферы действия. Получится гиперболическая орбита, пересекающая орбиту Сатурна. Гравитацией Земли и Сатурна пренебрегаем (это уже отдельные задачи ухода и захвата). Пока только сама траектория в поле тяготения Солнца.

Дано:

Rp = 1.0 а.е. (прицельный параметр)
Rs = 9.58 а.е. (точка рандеву)
t = 1 год (по условию задачи)
μ = 1.327*10²⁰ м³/сек² = 37.8439 а.е.³/год² (грав. параметр Солнца)

Найти:

a (большая полуось - будет отрицательной!)
e (эксцентриситет - будет заметно больше 1!)
\( v_{esc} \) (скорость убегания - скорость старта с орбиты Земли)
\( v_{inf} \) (скорость на бесконечности)
\( v_{s} \) (скорость рандеву с Сатурном - относительно Солнца!)

Из уравнений гиперболического движения выбираем те, которые связывают все эти параметры:

\( R_s=\frac{l}{1+e\cos \vartheta }=\frac{a(1+e^2)}{1+e\cos \vartheta } \)

\( \cosh E=\frac{\cos \vartheta +e}{1+e\cos \vartheta }\Rightarrow \cos \vartheta=\frac{e-\cosh E}{e\cosh E-1} \)

Подставляем в первое, упрощаем, находим:

\( R_s=a(1-e\cosh E) \)

И еще два:

\( R_p=a(1-e) \)
\( M=t\sqrt\frac{\mu}{-a^3}=e\sinh E-E \)

Подставляем числа, решаем систему, получаем:

a = -0.503946 а.е.
e = 2.9843384
E = 2.5903915 (хотя оно нам не нужно)

Уравнения для скорости:

\( v(r)=\sqrt{\mu\left ( \frac{2}{r}-\frac{1}{a} \right )} \)

\( v_{esc}=v(Rp)=59.4498 \) км/с
\( v_{s}=v(Rs)=44.1065 \) км/с
\( v_{inf}=\sqrt\frac{-\mu}{a}=41.9547 \) км/с

Если из \( v_{esc} \) вычесть орбитальную скорость Земли 29.783 км/c, получится 29.6668 км/с - такой импульс надо дать для отлёта (без учета гравитации Земли - чтобы из неё выбраться, нужна почти вторая космическая 11.2 км/с, плюс гравипотери).
Скорость сближения с системой Сатурна относительно самого Сатурна надо считать векторно (орбитальная скорость Сатурна 9.69 км/с). В первом приближении, корабль приближается перпендикулярно, тогда выходит 43.06 км/с. Но это без учёта падения в грав. яму.

Еще одно полезное уравнение, к вопросу о зависимости скорости от расстояния:

\( v^2=v_{esc}^2+v_{inf}^2 \)

[SpaceEngineer]

Что же до самого пилотируемого корабля.,то здесь проще апрейдить Starship.Делать из него изыскатель внешних планет.,с ваккумными Рапторами 4-метрового диаметра,с у/и в 400 сек.Полностью заправленный на земной НОО такой корабль может дать 10 км/сек дельты.Если лететь в синод,то добраться можно будет за 3 года 7 месяцев,а не за 6 лет,как по Гоману.

Зачем с НОО. Стартовать надо с далёкого залунья, где-то из точки Лагранжа, где должно болтаться топливное депо. Причём стартовать к Земле, совершив манёвр Оберта:

\( v^2=v_{esc}^2+v_{inf}^2 \)

\( v_{esc}=11.2 km/s \)

\( \Delta v=10 km/s \)

\( v=v_{esc}+\Delta v=21.2 km/s \)

следовательно,

\( v_{inf}=\sqrt{v^2-v_{esc}^2}=18 km/s \)

имеем профит 8 км/с по сравнению с тупым отлётом сразу на межпланетную траекторию! (Здесь я не учёл импульс, нужный для падения на Землю, но он там меньше 1 км/с).

[alex_semenov]

SpaceEngineer, пытаюсь найти знакомые буквы (блин, всегда было в лом в этом разбираться, но придется), но первое недоумение: где у вас вводится в расчет время перелета t (от которого мы все считаем)?

[SpaceEngineer]

Итак, имеем 18 км/с. Чтобы получить заветные 29.6668 км/с, осталось добавить всего каких-то 12. Значит, надо притащить к нашему залунному депо целый Falcon superheavy, заправить его, соединить со старшипом, и в две ступени пульнуть к Сатурну. Выйдет может не год, но уже достаточно близко (29.12 км/с, если считать, что дельта вэ у нас 20 км/с).

[SpaceEngineer]

SpaceEngineer, пытаюсь найти знакомые буквы (блин, всегда было в лом в этом разбираться, но придется), но первое недоумение: где у вас вводится в расчет время перелета t (от которого мы все считаем)?

Упс, опечатка в формуле:
\( M=t\sqrt\frac{\mu}{-a^3}=e\sinh E-E \)

[alex_semenov]

Подставляем в первое, упрощаем, находим:

\( R_s=a(1-e\cosh E) \)

И еще два:

\( R_p=a(1-e) \)
\( M=t\sqrt\frac{\mu}{-a^3}=e\sinh E-E \)

Подставляем числа, решаем систему, получаем:

a = -0.503946 а.е.
e = 2.9843384
E = 2.5903915 (хотя оно нам не нужно)

Батенька, а вы бы не были бы любезны сразу выложить решения  для всех этих трех параметров? a = f(t,  Rp, Rs ), e = k(t,  Rp, Rs), E=l(t,  Rp, Rs) хотя последнее и не очень надо.
Ну раз вы уже сами это проделали, то почему бы не выложить собственно решение?
Гиперболические косинусы-синусы... забыл уже все. Повеситься можно же это выкручивать!
Нас что интересует? Нас интересует общее решение для любых t,  Rp, Rs. То есть любых планет и любых интервалов времени.
Там  все считается в СИ, надеюсь?

[Проходящий Кот]

Так эта система считается только методом последовательного приближения.

[библиограф]

Как считать - см. учебник Баллистика космических аппаратов
http://a5.bstu.spb.su/wp-content/uploads/Lib/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%203.pdf

[SpaceEngineer]

Я считал в математике (Wolfram Mathematica). Там есть встроенная функция для решения систем уравнений. Т.е. функций a = f(t,  Rp, Rs ), e = k(t,  Rp, Rs), E=l(t,  Rp, Rs) как таковых нету, решение итеративное. Там же уравнения Кеплера.
Наверное, нетрудно переделать для маткада, например. Эксель не просите - я в нём не шарю.