Задача. Движение КА по параболе и гиперболе.

[Skipper_NORTON]

Интересная задача.
 
Земля движется вокруг Солнца со скоростью 30 км\с.  (на самом деле это не совсем точно так, но для упрощения примем что такая скорость на круговой орбите вокруг Солнца, на расстоянии 150 млн км).
 
Тогда тело, обращающееся по круговой орбите вокруг Солнца на расстоянии 0,01 а.е. (1,5 млн км), будет иметь там скорость 300 км\с (смотрим законы Кеплера), а пролетающее по параболе с перигелием 0,01 а.е. (1,5 млн км) - 425 км\с в точке перигелия.  (300 умножим на корень из 2).
 
Предположим, космический аппарат вылетел с Земли, изменил направление, скорость, так что потом "провалился" к Солнцу, и пролетает в перигелии со скоростью 425 км\с, т.е. дальше вылетит из Солнечной системы, по параболе.  (это видимо, под силу современным ракетным двигателям, т.к. изменять скорость в районе Земли придется на меньшее значение по направлению к Солнцу, а 425 км\с будет достигнуто уже за счет притяжения Солнца).
 
1) Вопрос - выше описанный КА, вылетая из Солнечной системы по параболе (в перигелии 0,01 а.е., т.е. 1,5 млн км, 425 км\с), КАКУЮ будет иметь скорость удаления от Солнца, находясь в 100 а.е. (15 млрд км) от Солнца (т.е. там где примерно находятся сейчас Вояджеры)?
 
2) Предположим, выше описанный КА, в момент нахождения в перигелии, не меняя направление, условно мгновенно увеличил скорость с 425 км\с до 450 км\с (на 25 км\с, что тоже под силу современным ракетным двигателям). Тогда вылетать из Солнечной системы он будет уже по гиперболе. КАКУЮ будет иметь скорость удаления от Солнца, находясь в 100 а.е. (15 млрд км) от Солнца?
 
3) Есть ли какие нибудь точные формулы, показывающие зависимость скорости от расстояния до Солнца, если КА движется по гиперболе? Самому выводить долго, может кто точно знает

[Skipper_NORTON]

Собственно, решив такую задачу, можно видеть, дает ли выигрыш подобный маневр, если цель - достичь максимальной скорости вылета из Солнечной системы.

[Skipper_NORTON]

Спасибо, сейчас посчитаем...
Значит, если движется по параболе, то скорость равна
V = SQRT(2m/r),
SQRT - это корень квадратный, m  - неизветный гравитационный параметр (для Солнца и тел, имеющих небольшую массу по сравнению с Солнцем, и нашими единицами измерения - секундами, и километрами). r - расстояние между вращающимся телом и центральным телом.
У нас в точке перигелия, r = 1500000 км. V = 425 км\с.
Тогда  2m/r = 180625.   
m = 135468750000.
 
Проверю формулы на правдоподобность   
 
Если движемся по эллипсу с перигелием 1,5 млн км, и афелием 148,5 млн км (в районе орбиты Земли), тогда большая полуось a равна 75 млн км. Какая тогда будет скорость в перигелии и афелии? Для эллипса формула
V = SQRT(2m/r - m/a)
В перигелии 1,5 млн км, скорость тела равна
SQRT(270937500000/1500000 - 135468750000/75000000) = ~422,8 км\с.
похоже на правду, т.к. при скорости 425 км\с, орбита станет параболой, а при 422,8 - сильно вытянутый эллипс.
В афелии 148,5 млн км, скорость тела равна
SQRT(270937500000/148500000 - 135468750000/75000000) = ~4,2 км\с.
тоже верно (смотрим законы Кеплера), скорость меньше ровно в 99 раз, во столько же расстояние в перигелии меньше чем в афелии.
Решив также обратную задачу, на круговой орбите вокруг Солнца, на расстоянии 150 млн км, получим скорость ~30 км\с.
 
Значит, формулы верны.

[Skipper_NORTON]

Вернемся теперь к нашей задаче.
 

1) Вопрос - выше описанный КА, вылетая из Солнечной системы по параболе (в перигелии 0,01 а.е., т.е. 1,5 млн км, 425 км\с), КАКУЮ будет иметь скорость удаления от Солнца, находясь в 100 а.е. (15 млрд км) от Солнца (т.е. там где примерно находятся сейчас Вояджеры)?

 
Для параболы формула V = SQRT(2m/r), и на расстоянии 100 а.е. (15 млрд км) скорость КА будет равна
SQRT(270937500000/15000000000) = 4,25 км\с.
т.е. удалились от перигелия в 10000 раз, а скорость упала в 100 раз. По мере движения в бесконечность, скорость будет стремиться к нулю.
   
Интересно, а если бы на таком расстоянии траектория замкнулась бы в эллипс (вместо параболы), т.е. в 100 а.е. (15 млрд км) - это была бы точка афелия на эллипсе, то скорость упала бы уже в 10000 раз. Т.е. во сколько раз дальше от перигелия афелий, во столько раз меньше скорость. А вот на параболе, скорость падает нелинейно, а в N раз, где N равен корню квадратному от расстояния, выраженного в единицах расстояний между телами в перигелии.

[Skipper_NORTON]

2) Предположим, выше описанный КА, в момент нахождения в перигелии, не меняя направление, условно мгновенно увеличил скорость с 425 км\с до 450 км\с (на 25 км\с, что тоже под силу современным ракетным двигателям). Тогда вылетать из Солнечной системы он будет уже по гиперболе. КАКУЮ будет иметь скорость удаления от Солнца, находясь в 100 а.е. (15 млрд км) от Солнца?

 
Теперь самое интересное. Имея приращение скорости вблизи Солнца в перигелии на 25 км\с, какое приращение получится при вылете из Солнечной системы (на 15 млрд км, считаем условно, там граница, где находятся Вояджеры, и полностью "гасится" солнечный ветер межзвездной средой). Для гиперболы формула V = SQRT(2m/r + m/a).  Но мы не знаем, какой будет параметр a при скорости в перигелии 450 км\с. Найдем этот параметр 450 = SQRT(270937500000/1500000 + 135468750000/a).
Отсюда следует, a = 6192857 км, это действительная полуось гиперболы.
 
Тогда скорость КА на расстоянии 100 а.е. (15 млрд км) от Солнца, будет равна
SQRT(270937500000/15000000000 + 135468750000/6192857) = ~148 км/сек.
 
 
Итак, получилось, если космический корабль летит в перигелии в 1,5 млн км от Солнца по параболе со скоростью 425 км\с, то вылетать из Солнечной системы (в 15 млрд км от Солнца, в 3 раза дальше орбиты Нептуна) он будет со скоростью 4,25 км\с.
 
Если же в точке перигелия в 1,5 млн км от Солнца нарастить скорость всего лишь на 25 км\с,  т.е. увеличить с 425 км\с до 450 км\с, то это приведет к намного большему наращиванию скорости при вылете и более далеких от Солнца расстояних. Например, в 15 млрд км от Солнца космический корабль будет лететь со скоростью 148 км/сек.
 
Получается, подобный маневр вблизи Солнца действительно позволяет достичь огромных космических скоростей, которые недостижимы с помощью современных ракетных двигателей.

[Klapaucius]

Вычисления не проверял, но выглядит вполне возможным. Этот эффект и так давно используется:
ru.wikipedia.org/wiki/Гравитационный_манёвр
Только придать дополнительные 25 км/c всё-таки сейчас сложновато, даже путём тех же предварительных гравитационных манёвров (а не в точке, как требуется). Да и пролететь в полутора миллионах километров от Солнца (даже от поверхности, не то что от центра) никакому современному аппарату не суждено: испортится.

[Skipper_NORTON]

Да и пролететь в полутора миллионах километров от Солнца (даже от поверхности, не то что от центра) никакому современному аппарату не суждено: испортится.

 
Идеальные зеркала на поверхности космического аппарата и нагрева не будет.

[Klapaucius]

http://n-t.ru/tp/it/rnt08.htm

Самая высокая скорость

Первым космическим аппаратом, достигшим 3-й космической скорости, позволяющей выйти за пределы Солнечной системы, стал «Пионер-10». Ракета-носитель «Атлас-СЛВ ЗС» с модйфицированной 2-й ступенью «Центавр-Д» и 3-й ступенью «Тиокол-Те-364-4» 2 марта 1972 г. покинула Землю с небывалой для того времени скоростью 51682 км/ч.

Рекорд скорости космического аппарата (240 тыс. км/ч) был установлен американо-германским солнечным зондом «Гелиос-Б», запущенным 15 января 1976 г.
Максимальное сближение космического аппарата с Солнцем

16 апреля 1976 г. научно-исследовательская автоматическая станция «Гелиос-Б» (США – ФРГ) приблизилась к Солнцу на расстояние 43,4 млн. км.

Сейчас планируется ru.wikipedia.org/wiki/Солнечный_зонд
Оттуда http://www.cybersecurity.ru/prognoz/48543.html

Новый аппарат должен будет приблизится к Солнцу на расстояние в 7 миллионов километров. Ученые говорят, что данное расстояние является рекордом, на таком расстоянии температура уже близка к 1000 градусов, а радиационное излучение в сотни раз превышает показатели при которых может работать обычная электроника.

Но это пока проект.

[Muxa]

в 15 млрд км от Солнца космический корабль будет лететь со скоростью 148 км/сек

Даешь Седну в первой половине этого века!

[Skipper_NORTON]

Причем тут Седна?

[Muxa]

Причем тут Седна?

А куда еще стоило бы запустить КА с такой скоростью?

[Skipper_NORTON]

А куда еще стоило бы запустить КА с такой скоростью?

 
Вообще то это не предел, это всего лишь максимум скорости, который можно "выжать" из ракетных двигателей на химическом топливе. Я вот хочу посчитать, какой максимум можно выжать используя ионные ракетные двигатели со скоростью истечения рабочего тела 30-100 км\с, и с аналогичным гравитационным маневром вблизи Солнца.  Думаю, скорость будет такой, что можно вообще аппарат к другой звезде, (например альфа Центавра) посылать    Хотя и лететь он будет тысячелетия, но вот наши потомки получат космический управляемый аппарат в другой звездной системе.

[Klapaucius]

При такой скорости истечения и манёвры не нужны. Тем более что "аналогичный" скорее всего ничего не добавит, посчитайте.
И даже с Седной засада: пролететь мимо неё может и получится, но за несколько часов вряд ли что пронаблюдаешь (Новые Горизонты тому скоро будет пример). Выход на орбиту, зонды с бурами - надо гасить всю эту скорость обратно. Выгоднее лететь очень долго, с малой скоростью.

[Skipper_NORTON]

Такая скорость нужна не для того чтобы Седну изучать, а для того чтобы изучать внешние области от Солнечной системы, а через тысячелетия - залететь в другую звездную систему.
Наши потомки будут иметь в другой звездной системе КА, и изучать ее.

[Muxa]

Такая скорость нужна не для того чтобы Седну изучать, а для того чтобы изучать внешние области от Солнечной системы

Так одно другому не мешает.

[Михаил MAK]

Да и пролететь в полутора миллионах километров от Солнца (даже от поверхности, не то что от центра) никакому современному аппарату не суждено: испортится.

интересно а можно ли осуществить обмен кинетической энергией между КА?
например на солнечный маневр запустить тугоплавкое вольфрамовое ядро, а потом передать его кинетическую энергию рабочему КА....

[Skipper_NORTON]

Ну это, не знаю как... 

[Klapaucius]

Да и пролететь в полутора миллионах километров от Солнца (даже от поверхности, не то что от центра) никакому современному аппарату не суждено: испортится.

интересно а можно ли осуществить обмен кинетической энергией между КА?
например на солнечный маневр запустить тугоплавкое вольфрамовое ядро, а потом передать его кинетическую энергию рабочему КА....

Проще наверное в это ядро КА и поместить, чем передавать кинетическую энергию через столкновение, как с бильярдными шарами. Практически мгновенное изменение скорости на десятки км в секунду чревато для внутренней структуры даже самых твёрдых тел.
 Вообще, раз скоро обещают реальный пролёт в 7 миллионах км., то и почти над поверхностью лет через 100-200 максимум - не вопрос. В том числе и пилотируемый аппарат.

[Skipper_NORTON]

Даже если разгон осуществлять в 4,5 млн км от Солнца, то можно достичь конечной скорости 115-125 км\сек, и это на химических ракетных двигателях не говоря про ЯРД с рабочим телом водородом.

[Axon]

Хотя и лететь он будет тысячелетия, но вот наши потомки получат космический управляемый аппарат в другой звездной системе.

Не получат. Во-первых, Вы не подумали, как Вы этот аппарат тормозить будете в другой звездной системе. Во-вторых, Ваш аппарат проработает максимум 50 лет, потом у него электроника откажет.