Количество энергии, получаемое планетой в течение года.

[xd]

Но в одной части эллипса планета движется быстрее. Она проводит больше времени там, где расстояние больше среднего.

...получая при этом энергии меньше среднего.
Потом переходит в область перигелия, где проводит меньше времени получая при этом за единицу времени больше энергии.

Тут есть один момент... Который я сначала не учёл. При движении по орбите меняется расстояние, а, следовательно, перекрываемый планетой телесный угол на небесной сфере. Правда я что-то туплю сегодня - не соображу, как строго математически выразить зависимость энергии от эксцентриситета.
В общем случае зависимость будет иметь вид:

\[
E = \int_T \frac{dt}{r^2(\nu(t))}
\]

Зы: формулы не рендерятся только у меня? 

[Vulpecula Polaris]

С этим то как раз проблем нет. Площадки, видимые с солнца под равными телесными углами получат равное количество энергии вне зависимости от расстояния до них. Поэтому количество энергии как и полагается будет изменятся пропорционально квадрату расстояния до источника.
ЗЫ У меня формулы рендерятся.

[Маринер-9]

Надо признать, что прав Крупин – круговая орбита самая холодная. Хотя в среднем при ненулевом эксцентриситете планета находится дальше, но она действительно успевает схватить больше энергии. Это моя ошибка. Если суммировать не R, а 1/R^2, получается именно так:
  е = 0    примем за 1, тогда
  е=0.1  получит больше тепла на 0,5%
  е=0.2    на 2%
  е=0.4    на 9%
  е=0.8   на 67%
   е=0.95 на 320%       

[Крупин]

Надо признать, что прав Крупин – круговая орбита самая холодная. Хотя в среднем при ненулевом эксцентриситете планета находится дальше, но она действительно успевает схватить больше энергии. Это моя ошибка. Если суммировать не R, а 1/R^2, получается именно так:
  е = 0    примем за 1, тогда
  е=0.1  получит больше тепла на 0,5%
  е=0.2    на 2%
  е=0.4    на 9%
  е=0.8   на 67%
   е=0.95 на 320%       

      Сравнимся с моими данными: В посте Ответ #2 : 16.08.2010 [11:17:56]  приведено выражение для удельного момента импульса:  L = Корень(-2*E*R1*R2). В этом выражении R1 - радиус перигелия, а R2 - радиус афелия. Они равны R1 = (1-e)*a/2 и R2 = (1+e)*a/2 , соответственно. Значит, L = C*корень(1- e^2) , где С - какая-то, несущественная в данном случае, константа.
  Значит 1/L = 1/(C*корень(1-e^2)). Уберём C, получим 1/корень(1-e^2) . Вычтем единицу, получим выражение K= 1/корень(1-e^2)-1 . Вот с этим K и сравним данные лейтенанта Коломбо.
  В общем, всё прекрасно сходится, кроме последней строки, где у меня получается 220%, вместо 320% от Маринер-9. Может, в данном случае уважаемый лейтенант просто забыл вычесть единицу=100% ?

[Vulpecula Polaris]

Блин. Не верный ответ.
Угол, покрываемый планетой при движении по орбите и количество получаемой ей энергии связаны следующим соотношением:
\[\frac{2A}{r^2}dt=d\theta                                      (1)\]
где A - это константа, так называемый инвариант покрываемой площади = ΔS/Δt, θ - угол между радиус векторами.
Оно выводится напрямую из второго закона Кеплера и того факта, что прирост получаемой планетой энергии есть функция непрерывная (если надо могу вывести это соотношение прямо здесь). Это соотношение означает, что при прохождении равных углов орбиты, планета получает равное количество энергии.
Теперь чтобы получить полную энергию, получаемую планетой за оборот, достаточно это соотношение проинтегрировать по всей орбите. Либо левую часть по полному обороту, либо правую на интервале [0, 2π]:
\[W=\int_{0}^{T}\frac{2A}{{r}^{2}}\,dt=\int_{0}^{2\pi}\,d\theta\]
Очевидно, что величина 
\[\int_{0}^{2\pi}\,d\theta\]
это константа, стало быть и полная энергия, полученная планетой за оборот - это тоже константа, которая НЕ зависит от эксцентриситета.

Маринер, приведите пожалуйста алгоритм, который вы использовали для расчетов.

[Крупин]

Уважаемый Vulpecula Polaris, в вашем последнем посте есть одно правильное и одно ложное утверждения. Начну с лжи:

...  стало быть и полная энергия, полученная планетой за оборот - это тоже константа, которая НЕ зависит от эксцентриситета.
 

    А вот это утверждение абсолютно верное. Именно оно позволяет решить задачу даже продвинутому школьнику без всякого интегрирования.

... при прохождении равных углов орбиты, планета получает равное количество энергии.
 

    Вычисления Маринера-9, похоже, совершенно правильны (если конечно, как я указывал он написал 320% в последней строчке случайно).

[Vulpecula Polaris]

Уважаемый Vulpecula Polaris, в вашем последнем посте есть одно правильное и одно ложное утверждения. Начну с лжи:

...  стало быть и полная энергия, полученная планетой за оборот - это тоже константа, которая НЕ зависит от эксцентриситета.
 

Его истинность напрямую следует из первой формулы.
Так что для доказательства его ложности вам придется доказать ложность первого соотношения.
\[\frac{2A}{r^2}dt=d\theta                                      (1)\]

Из этой фразы

... при прохождении равных углов орбиты, планета получает равное количество энергии.

независимость годовой энергии от эксцентриситета кстати тоже следует напрямую. Так что эти утверждения могут быть либо оба ложными, либо оба истинными.

Маринер пусть приведет алгоритм расчетов.

[Крупин]

                                               Ответ для Vulpecula Polaris:

    Приведу элементарный контрпример, демонстрирующий зависимость годовой энергии (за один оборот) от эксцентриситета (разумеется при равенстве больших осей, а следовательно, периодов обращения).
     Возьмём круговую и предельную эксцентрическую орбиты (падение на Солнце) и сравним получаемую энергию. Если круговую орбиту отодвигать в бесконечность, годовая энергия будет падать (период растёт как корень(R^3)=R^(3/2) , а освещённость падает как R^2, а 2>3/2 ).
     При отодвижении же в бесконечность предельно-эксцентричной орбиты (падении на Солнце из бесконечности, очевидно, получаемая энергия не равна нулю. Более того, она бесконечна, поскольку выражается расходящимся (в нуле) интегралом от 1/R^(3/2) по dR в пределах от нуля до бесконечности.
   Падение не из бесконечности, а с некоторого расстояния ничего не меняет - энергия всё равно бесконечна, поскольку при приближении к Солнцу скорость поменьше и время пребывания на каждом элементарном участке больше.

[Vulpecula Polaris]

Согласен. В предельном случае это так. В предельном случае эксцентриситета =1 и второй закон кеплера не выполняется и вообще ни один закон кеплера не выполняется. И вообще орбита с ε=1 - это не кеплеровская орбита (даже больше - это вообще не орбита).
Тем не менее соотношение (1) не будет выполняться только при ε=1 (в реальности понятно, что и при ε не равных 1, но достаточно близких к единице планета просто упадет на солнце). Во всех остальных случаях энергия получаемая планетой не будет зависить от эксцентриситета.

[Маринер-9]

  В общем, всё прекрасно сходится, кроме последней строки, где у меня получается 220%, вместо 320% от Маринер-9. Может, в данном случае уважаемый лейтенант просто забыл вычесть единицу=100% ?

  Всё правильно. Именно так. 220%

Маринер, приведите пожалуйста алгоритм, который вы использовали для расчетов.

Так очень просто. Просчитываем R (радиус-вектор) в зависимости от М (средней аномалии), решая уравнение Кеплера. М будет в данном случае функцией времени, R – получаемый радиус-вектор, 1/R^2 – функцией получаемого тепла по сравнению с круговой орбитой. Суммируем все R и 1/R^2, а затем делим на число точек измерений.
 С математической точки зрения это не совсем верно (предел не будет достигнут), но в принципе можно произвести вычисления с любой заданной наперёд степенью точности.
 Задавшись очень маленьким шагом (а какая разница, пол-секунды подождать или секунду) можно получить практически верный результат.

Единственное, против чего можно возразить – это о бесконечной энергии. Здесь просто математическая неопределённость, связанная с делением на 0. От неё можно избавиться, считая Солнце не точкой, а шаром. При движении внутри шара энергия уже не будет бесконечной. Но это частности

[Vulpecula Polaris]

Не единственное.

Во-первых мне очень интересно как вы посчитали среднюю аномалию и длину радиус-вектора. Известно, что уравнение Кеплера трансцендентно, поэтому решение его приходится искать приближенно. Причем, стоит помнить, что большинство методов имеет ограничения, т.е дает удовлетворительную погрешность только для ограниченного набора данных (скажем только для орбит не сильно отличающихся от круговой).
Дам вам совет - чтобы убедится, что программа правильно считает радиусы, просто просуммируйте их и поделите на количество, т.е найдите средний радиус. По свойствам эллипса он не должен зависеть от эксцентриситета и по величине должен быть близок к длине большой полуоси.

Во-вторых, "просуммировав все R и 1/R^2, а затем поделив на число точек измерений" вы вычислили не полную энергию, а среднее арифметическое величины (R + 1/R²).
Приближенно интеграл можно посчитать так
\[W\approx W_0\sum_{i=0}^{n-1}\frac{r(t_i)+r(t_{i+1})}{2}\Delta t,     r(t_n)=r(t_0)\]
W₀ - это плотность потока на расстоянии равном длине большой полуоси (т.е на среднем расстоянии от центрального светила).

[Маринер-9]

Не единственное.

Во-первых мне очень интересно как вы посчитали среднюю аномалию и длину радиус-вектора. Известно, что уравнение Кеплера трансцендентно, поэтому решение его приходится искать приближенно. Причем, стоит помнить, что большинство методов имеет ограничения, т.е дает удовлетворительную погрешность только для ограниченного набора данных (скажем только для орбит не сильно отличающихся от круговой).
Дам вам совет - чтобы убедится, что программа правильно считает радиусы, просто просуммируйте их и поделите на количество, т.е найдите средний радиус. По свойствам эллипса он не должен зависеть от эксцентриситета и по величине должен быть близок к длине большой полуоси.

Во-вторых, "просуммировав все R и 1/R^2, а затем поделив на число точек измерений" вы вычислили не полную энергию, а среднее арифметическое величины (R + 1/R²).
Приближенно интеграл можно посчитать так
\[W\approx W_0\sum_{i=0}^{n-1}\frac{r(t_i)+r(t_{i+1})}{2}\Delta t,     r(t_n)=r(t_0)\]
W₀ - это плотность потока на расстоянии равном длине большой полуоси (т.е на среднем расстоянии от центрального светила).

Средняя аномалия задаётся. Решение для R получается приближённо, но с наперёд заданной точностью (результат должен отличаться от предыдущего не более, чем на определённую величину). Ограничения наступают только при е близком к 1, до этого только увеличивается число итераций (циклов вычислений).
   Средний радиус растёт при увеличении е. Тут дело не в свойствах эллипса. Это не показатель неправильности программы.
   Действительно, находится не полная энергия, а её отношение к получаемой на круговой орбите.

[Vulpecula Polaris]

Средний радиус растёт при увеличении е. Тут дело не в свойствах эллипса. Это не показатель неправильности программы.

Если средний радиус у вас растет вместе с эксцентриситетом это означает, что рассматриваемая вами орбита что угодно, только НЕ эллипс.

Действительно, находится не полная энергия, а её отношение к получаемой на круговой орбите.

По моему найденная вами величина не означает ничего определенного. Просто среднее арифметическое чего то.

Средняя аномалия задаётся. Решение для R получается приближённо

Тоже вариант. Но в этом случае мне не совсем понятно зачем считать r приближенно, когда можно посчитать его точно.
И расчетная формула будет почти такой же как приведена выше. Вам только в дополнение придется посчитать моменты времени, в которые средняя аномалия будет принимать заданные вами значения.
Сделать это можно через формулу Кеплера.
Суммарная энергия будет приближенно считаться по следующей формуле:
\[W=W_0\sum_{i=0}^{n-1}\left[ \frac{r^{-2}(M_i)+r^{-2}(M_{i+1})}{2}(t(M_{i+1})-t(M_{i}))\right],        M_n=M_0\]


Если завтра не лень будет сам напишу программулину чтоб посчитать.

[Крупин]

Средний радиус растёт при увеличении е. Тут дело не в свойствах эллипса. Это не показатель неправильности программы.

Если средний радиус у вас растет вместе с эксцентриситетом это означает, что рассматриваемая вами орбита что угодно, только НЕ эллипс.

    Всё зависит от того, как этот средний радиус считать. Если просто взять равномерный набор точек по всей длине эллипса, то да, средний радиус будет равен длине полуоси. Если же учитывать, что при увеличении радиуса скорость падает, а время пребывания в окрестности данного радиуса растёт, то с увеличением эксцентриситета средний радиус будет расти (при усреднении по времени).
   Предлагаю Маринер-9 произвести численный подсчёт усреднения по времени. Я же потом дам аналитическое выражение.

[Маринер-9]

   Предлагаю Маринер-9 произвести численный подсчёт усреднения по времени. Я же потом дам аналитическое выражение.

   Он уже дан в ответе #18, для радиуса
  Вульпекуле:
Если средний радиус у вас растет вместе с эксцентриситетом это означает, что рассматриваемая вами орбита что угодно, только НЕ эллипс
  Именно эллипс. Средний радиус означает среднее расстояние за 1 оборот. В удалённых областях планета проводит больше времени.
  Не понял что-то насчёт средней аномалии.
Вам только в дополнение придется посчитать моменты времени, в которые средняя аномалия будет принимать заданные вами значения.
  Средняя аномалия и есть время. Она задаётся, а не рассчитывается

[Крупин]

   Предлагаю Маринер-9 произвести численный подсчёт усреднения по времени. Я же потом дам аналитическое выражение.

   Он уже дан в ответе #18, для радиуса

   У меня полное согласие с Вами. Аналитическая формула для этого выражения - 1+e^2/2

[Vulpecula Polaris]

Именно эллипс. Средний радиус означает среднее расстояние за 1 оборот. В удалённых областях планета проводит больше времени.
Не понял что-то насчёт средней аномалии.
Вам только в дополнение придется посчитать моменты времени, в которые средняя аномалия будет принимать заданные вами значения.
Средняя аномалия и есть время. Она задаётся, а не рассчитывается

Да. Чё то я вчера нагнал, себя запутал и вас запутал. Плохо писать нетрезвым.

Начнем выяснение обстоятельств с начала.
Уравнение кеплера.
\[E-\varepsilon  sinE = M\]
ε - эксцентриситет, Е - эксцентрическая аномалия, М - средняя аномалия, которая определяется через время.



Теперь о главном.

1) Если вы задаете среднюю аномалию M, т.е фактически интегрируете по времени (а не по углам), расскажите как вы считаете эксцентрическую аномалию E(t) и из нее находите истинную аномалию и расстояние от фокуса до точки орбиты r(t).

2) Я так и не понял что именно вы суммируете. Если вы интегрируете по времени, то интеграл будет такой как приведен несколькими постами выше (я там правда квадраты расстояний пропустил)
\[W\approx W_0\sum_{i=0}^{n-1}\left( \frac{r(t_i)+r(t_{i+1})}{2}\right)^{-2}\Delta t,     r(t_n)=r(t_0)\]

3) В качестве варианта вы можете интегрировать по углам, т.е разбивать на фрагменты не время, а эксцентрические аномалии. Тогда вам нужно будет посчитать момент времени t, в который аномалия Е(t) = E_i (через уравнение Кеплера), и найти величину r(E_i) как в варианте два. Тогда интеграл у вас будет считаться так (и эта формула уже приводилась, правда там каким то хреном были среднии аномалии, а не эксцентрические)
\[W=W_0\sum_{i=0}^{n-1}\left[ \left( \frac{r(E_i)+r(E_{i+1})}{2}\right)^{-2}(t(E_{i+1})-t(E_{i}))\right],        E_n=E_0\]

4) Среднее расстояние не зависит от времени. Оно может зависеть от используемого вами метода усреднения, который может зависеть от времени. В любом случае если вы будете уменьшать промежуток времени по которому интегрируете и если ваша программа не содержит явных косяков, то получаемое среднее значение должно сходится к своему истинному значению, которое НЕ зависит от эксцентриситета просто исходя из свойств эллипса.

[Крупин]

4) Среднее расстояние не зависит от времени. Оно может зависеть от используемого вами метода усреднения, который может зависеть от времени. В любом случае если вы будете уменьшать промежуток времени по которому интегрируете и если ваша программа не содержит явных косяков, то получаемое среднее значение должно сходится к своему истинному значению, которое НЕ зависит от эксцентриситета просто исходя из свойств эллипса.

   Допустим, тело движется по эллипсу так, что всего за одну секунду проходит весь интервал, где длина радиус-вектора меньше a/2 (a - естественно, большая ось). Всё оставшееся время тело продвигается по территории, где R>a/2 . Мы замеряем ежесекундно R, суммируем и делим на число измерений (число секунд в году). И что же - это единственное измерение с R меньше среднего перекроет все остальные с R>a/2?

[Маринер-9]

Начнем выяснение обстоятельств с начала.
Уравнение кеплера.
\[E-\varepsilon  sinE = M\]
ε - эксцентриситет, Е - эксцентрическая аномалия, М - средняя аномалия, которая определяется через время.



Теперь о главном.

1) Если вы задаете среднюю аномалию M, т.е фактически интегрируете по времени (а не по углам), расскажите как вы считаете эксцентрическую аномалию E(t) и из нее находите истинную аномалию и расстояние от фокуса до точки орбиты r(t).

2) Я так и не понял что именно вы суммируете. Если вы интегрируете по времени, то интеграл будет такой как приведен несколькими постами выше (я там правда квадраты расстояний пропустил)
\[W\approx W_0\sum_{i=0}^{n-1}\left[ \frac{r^{-2}(t_i)+r^{-2}(t_{i+1})}{2}\Delta t\right],     r(t_n)=r(t_0)\]

3) В качестве варианта вы можете интегрировать по углам, т.е разбивать на фрагменты не время, а эксцентрические аномалии. Тогда вам нужно будет посчитать момент времени t, в который аномалия Е(t) = E_i (через уравнение Кеплера), и найти величину r(E_i) как в варианте два. Тогда интеграл у вас будет считаться так (и эта формула уже приводилась, правда там каким то хреном были среднии аномалии, а не эксцентрические)
\[W=W_0\sum_{i=0}^{n-1}\left[ \frac{r^{-2}(E_i)+r^{-2}(E_{i+1})}{2}(t(E_{i+1})-t(E_{i}))\right],        E_n=E_0\]

4) Среднее расстояние не зависит от времени. Оно может зависеть от используемого вами метода усреднения, который может зависеть от времени. В любом случае если вы будете уменьшать промежуток времени по которому интегрируете и если ваша программа не содержит явных косяков, то получаемое среднее значение должно сходится к своему истинному значению, которое НЕ зависит от эксцентриситета просто исходя из свойств эллипса.

Уравнение кеплера.
\[E-\varepsilon  sinE = M\]
ε - эксцентриситет, Е - эксцентрическая аномалия, М - средняя аномалия, которая определяется через время.

  Для меня форма записи малопонятна. Уравнение Кеплера Е – е * sin(E) = M
1) E находится последовательным приближением. Принимаем Е=М, считаем
     Е1 =  Е – е * sin(E), далее
     Е2 =  Е1 – е * sin(E1) и т. д., Е(n) и E(n-1) должны совпасть в пределах заданной точности
    Истинная аномалия находится из формулы
 Tan(Ips/2)= sqr((1+e)/(1-e)) * tan(E/2); Ips – истинная аномалия
    Радиус- вектор
Rw = a * (1 - e * Cos(Е));  а – полуось орбиты, Е – эксцентр. Аномалия

2) Я не интегрирую по времени. Суммирую R и отдельно (1/R^2) на отдельно взятых точках. Нахожу среднее арифметическое. Это не вполне строгое математическое действие, но погрешность контролировать позволяет.

3) Плиз, напишите по-человечески, в виде рисунка. Не пойму.

4) Через равные промежутки времени складываются значения R, делится на число замеров. Это будет средним расстоянием. Оно увеличивается при увеличении е

[Vulpecula Polaris]

Я там еще раз подправил формулы. На самом деле нужно считать среднюю энергию на расстоянии (r₂-r₁)/2.
Тогда все сходится.