Количество энергии, получаемое планетой в течение года.

[Vulpecula Polaris]

Задача такая - пусть у нас есть объект с площадью 1, который обращается вокруг звезды по орбите с малой полуосью a = A и эксцентриситетом e = E, совершая полный оборот вокруг светила за время равное T.
На расстоянии А от звезды поток излучения от звезды равен P₀.
Понятно, что поток излучения будет функцией расстояния, а само расстояние функцией времени, тогда суммарная энергия за интервал [t₁, t₂] посчитается как то так
\[P=\int_{t_1}^{t_2}p(r(t))dt\]
Кто нибудь знает аналитическую формулу чтобы посчитать суммарное количество энергии? Ну или где таковую можно найти, чтобы самому не выводить?

[Миллиард]

У Вас много входных данных. Задавать нужно либо полуось (почему малая то, а не большая?), либо период обращения. Интеграл посчитать в принципе несложно, если лень вручную считать, то можно здесь http://integrals.wolfram.com/index.jsp

[Крупин]

Формулы такой я нигде не встречал, но советом поделиться могу. Требуется найти интеграл от 1/R^2 (R - расстояние от звезды) по времени за период. Так как дифференциал времени - dt = dR/V_r , где V_r - радиальная составляющая скорости, то нужно проинтегрировать по радиусу выражение 1/(R^2*V_r) и удвоить его, поскольку это интеграл за полпериода при прохождении от перигелия (R = R1) до афелия (R = R2). Радиальная скорость выражается через первые интегралы (константы): полную удельную энергию - E и удельный момент импульса - L . Выражения эти таковы: V_r = корень(2*E  - 2*U - L^2/R^2). Здесь E =  - G*M/a  - полная (удельная) энергия, a = R1+R2 - большая ось,  L = Корень(-2*E*R1*R2) - момент импульса, U = - G*M/R - потенциальная энергия гравитационного поля. M - масса звезды, G - гравитационная постоянная.

[Vulpecula Polaris]

Спасибо. Попробую сам вывести.

[Крупин]

    Результат исключительно прост: W = 2*Pi*F/L , где W - Энергия, падающая за оборот на единичную площадку, F - мощность приходящаяся на единичную площадку на единичном расстоянии от звезды, L  - вышеупоминавшийся удельный момент импульса.

[Vulpecula Polaris]

Не могли бы вы пояснить получившееся решение?
Я если честно не в понятках как вам удалось так лихо объехать уравнение Кеплера.

[xd]

При интегрировании плотности светового потока по времени движения планеты по времени в течение оборота получается выражение, зависящее только от большой полуоси, но не от эксцентриситета орбиты, а эта величина неявно входит в F в формуле, которую привёл Крупин.

[Крупин]

При интегрировании плотности светового потока по времени движения планеты по времени в течение оборота получается выражение, зависящее только от большой полуоси, но не от эксцентриситета орбиты, а эта величина неявно входит в F в формуле, которую привёл Крупин.

    Это не так. Годовое количество тепла при одной и той же длине большой оси больше для тела с большим эксцентриситетом. Возьмём, например, предельный случай эллипса - почти падения на Солнце. Ясно, что такая планета вблизи Солнца чепнёт с лихвой большую энергию, чем подруга с той же большой осью, мирно пасущаяся по кругу. Константа же F - это просто энергетическая освещённость единичной площадки на единичном расстоянии от звезды.

[Крупин]

Не могли бы вы пояснить получившееся решение?
Я если честно не в понятках как вам удалось так лихо объехать уравнение Кеплера.

   Уравнение Кеплера (и его решение в виде ряда из бесселевых функций, зависящих от времени) удобно астрономам, поскольку позволяет рассчитать положение небесного тела в данный момент времени. Однако в теоретической механике естественным является выбор в качестве независимой переменной расстояния до Солнца. А время и угол определяются по этому расстоянию. Этот способ, непрактичный для наблюдателей, однако, даёт чёткие выражения в виде элементарных функций без всяких мудрёных рядов. Поэтому я интегрировал не по времени, а по радиусу, заменив дифференциал времени dt через dR/Vr , как об этом написано в моём посте -  Ответ #2 .
   Проинтегрировав выражение 1/(R^2*V_r) по dR от перигелия до афелия и удвоив его, я получил, что оно равно 2*Pi/L . И соответственно, записал формулу для годовой энергии W = 2*Pi*F/L (Ответ #4) .
   Но такая простота меня озадачила, я ожидал чего-то гораздо более сложного.
   Размышляя об этом, я вдруг сообразил, что никаких интегралов брать вовсе не надо. Задача невероятно элементарна - почти-что на чистое соображение (конечно для тех кто, всё-таки что-то знает).

[Vulpecula Polaris]

Ну вобщем общее количество энергии, получаемой Землей от Солнца за полный оборот от эксцентриситета не зависит. Так же как и период обращения. Это прямое следствие из второго закона Кеплера
\[\int_{0}^{T}\frac{2A}{{r}^{2}}\,dt=\int_{0}^{2\pi }\,d\theta = const\]
Поэтому для частного случая полного оборота вокруг светила это просто солнечная постоянная умноженная на время.
Для общего случая нужно приближенно вычислить средние аномалии M(t₁) и M(t₂). Отношение площади сектора между радиусами r(M₁) и r(М₂) к площади всего сектора будет таким же как отношение энергии, полученной за время между t₁ и t₂ к энергии за весь оборот.
Как то так получилось.

[Крупин]

Ну вобщем общее количество энергии, получаемой Землей от Солнца за полный оборот от эксцентриситета не зависит. Так же как и период обращения. Это прямое следствие из второго закона Кеплера

  Прочитайте мой  Ответ #7 , в котором говорится, что количество энергии от эксцентриситета зависит. И при равенстве длин главных осей (а следовательно, периодов обращения) планета с большим эксцентриситетом получит больше тепла. Это согласуется с моей формулой, поскольку в этом случае L - удельный момент импульса будет меньше, а обратная ему величина, соответственно, больше. Согласуется это и с тем, что при падении на звезду момент равен нулю, а обратная величина - бесконечности. А ведь планета в этом случае приближается к солнышку вплотную и хватает бесконечную энергию.
  Это, конечно, не доказательство, а просто иллюстрация правдоподобия моей формулы. А обоснование её, как я сообщал элементарно простое. Если желаете, сообщу в личной переписке (может кому-то интересно получить результат самому).

[Маринер-9]

Пример того, как легко впасть в ошибку.
 
При одном и том же значении большой полуоси наибольшее количество тепла планета получает при НУЛЕВОМ эксцентриситете.
  При увеличении эксцентриситета среднее расстояние (за оборот) от Солнца растёт, количество тепла уменьшается.
   Функция получаемого тепла есть функция расстояния.

[Vulpecula Polaris]

Среднее расстояние до фокуса эллипса в точности равно длине его большой полуоси. Т.е среднее расстояние от планеты до солнца равно величине большой полуоси ее орбиты.
Это свойство эллипса.

[Маринер-9]

Среднее расстояние до фокуса эллипса в точности равно длине его большой полуоси. Т.е среднее расстояние от планеты до солнца равно величине большой полуоси ее орбиты.
Это свойство эллипса.

  Но в одной части эллипса планета движется быстрее. Она проводит больше времени там, где расстояние больше среднего.

[Vulpecula Polaris]

Но в одной части эллипса планета движется быстрее. Она проводит больше времени там, где расстояние больше среднего.

...получая при этом энергии меньше среднего.
Потом переходит в область перигелия, где проводит меньше времени получая при этом за единицу времени больше энергии.

[Маринер-9]

Правильно. Но в среднем за оборот она получит меньше энергии, чем при круговой орбите

[Vulpecula Polaris]

Правильно. Но в среднем за оборот она получит меньше энергии, чем при круговой орбите

Докажите.

[Крупин]

Правильно. Но в среднем за оборот она получит меньше энергии, чем при круговой орбите

   Голословно-бездоказательное утверждение, недостойное лейтенанта Коломбо. Этот вопрос нельзя решить на уровне простого трёпа, всё определяется конкретным законом изменения тепловой мощности от расстояния до Солнца. Если при приближении к Солнцу она растёт достаточно быстро, то это обстоятельство перебарывает кратковременность пребывания в ближней зоне. И конкретные расчёты показывают, что это действительно так.

[Маринер-9]

Надо проинтегрировать уравнение Кеплера - оно связывает время и расстояние.
Мне это не по силам. Я просто просчитал среднее расстояние с достаточно малым шагом (програмку сделал). Кол-во тепла будет r^2, далее приводится табличка

Так, при е=0.1 энергии будет меньше на 1%,  а  R=1,005
              е=0.2                                         4%           1,02
              е=0.4                                         16%          1,08
              е=0.8                                         74%         1,32

[Маринер-9]

В принципе, лейтенант Коломбо тоже ошибался... Важно только вовремя признавать свои ошибки.. Думаю, я ничем не опозорил любимого мной героя..