Звёзды на больших промежутках времени сближаются на минимально возможную дистанцию \(D\) обратно пропорциональна корню из времени ожидания, что видно
из таблиц 1 и 2, полученных по результатам наблюдения обсерватории Gaia. Таблица 2 охватывает промежуток времени ~12 млн лет и содержит 31 сближение на дистанцию менее парсека, соответственно её можно представить графиком (чёрная линия) и описать приближённой зависимостью (зелёная линия)
\[3,1D^2\]
Что позволит посчитать количество звёзд, встречающихся на расстоянии менее \(D\) (световые года) на промежутке времени \(t\) (миллионы лет)
\[n \approx 0,25 \cdot D^2 \cdot t\]
Отсюда период встречания звезд с пригодными для колонизации планетами, доля которых \(k\) от общего количества звёзд, составит
\[T \approx \frac{4}{k \cdot D^2}\; (1)\]
При некотором достаточно близком сближении становятся возможны массовые полёты к новой пригодной планете и её колонизация. Если каждая новая колония с каждым достаточным сближением будет создавать новою колонию, то на каждом периоде \(T\) количество колоний будет изменятся на
\[\Delta N = N\frac{N_{\max } - N}{N_{\max }}\]
где \(N_{\max }\) — количество пригодных к колонизации планетных систем в галактике.
Соответственно общее число колоний будет
\[N = \frac{{{N_{\max }}{2^{\frac{t}{T}}}}}{{{N_{\max }} + {2^{\frac{t}{T}}}}}\; (2)\]
Предполагая, что за миллиарды лет до нас в галактике появлялись цивилизации и не исчезали, но учитывая отсутствия заметной их деятельности, то есть как минимум за 5 млрд.лет не произошло массовое заселение галактики, то
период встречания пригодной планеты должен превышать 100…200 млн. лет.
Подставляя (1) в (2) можно получить время полузаселения галактики, выраженное через доступное для массовых перелётов расстояние \(D\) и долю звёзд с пригодными планетами
\[\tau = T{\log _2}{N_{\max }} \approx \frac{4}{{k \cdot {D^2}}}{\log _2}\left( {k \cdot {N_{stars}}} \right)\; (3)\]
где \(N_{stars} = 10^{11}\) — общее количество звёзд в галактике, вычитая число звёзд входящие в кратные системы.
Линия на рисунке показывают условия \(\left ( D,\; k \right )\) при которых за указанное время возможно полузаселение галактики. Соответственно область над линией означает меньшее время полузаселение, а под линией большее. Серая область — отсутствие массового заселения галактики кем либо к настоящему времени.
Если 1% (что очень большое значение) планетных систем пригодны к заселению, то отсутствие массовой колонизации галактики указывает на
не возможность и/или не целесообразность для цивилизации массовых перелётов на 1…2 св.г (что не исключает возможности отправки исследовательских аппаратов или даже миссий на большие расстояния).
На первый взгляд такие расстояния кажутся доступными при появлении термоядерных ракетных двигателей, обладающих предельной скоростью истечения газов \(~0,1c\). Но при таких больших скоростях (в отличие от химических двигателей) более
важной является удельная мощность! Минимальное время полёта \(t\) на расстояние \(D\) при ограниченной удельной (по конечной массе корабля) мощности \(P_{уд}\) (предполагая работу двигателя лишь на разгон и пренебрежимо быстрое торможение
божественной силой об звёздный ветер) составляет
\[t = 2,45\sqrt[3]{{\frac{{{D^2}}}{{{P_{уд}}}}}}\]
При этом оптимальная скорость истечения газов должна быть
\[u = {\rm{0}}{\rm{,57}}\sqrt[3]{{{P_{уд}} \cdot D}}\]
Если от СИ перейти к годам и световым годам, то
\[t = 3477\sqrt[3]{{\frac{{{D^2}}}{{{P_{уд}}}}}}\; (4)\]
\[u = {\rm{120343}}\sqrt[3]{{{P_{уд}} \cdot D}}\]
При огромной удельной мощности
1 кВт/кг наименьшее возможное время полёта на
1 св.г. будет очень долгие
347,7 лет. При этом оптимальная скорость истечения необходима
1203 км/с, которая на порядок меньше предельной для ядерного топлива деления. То есть для полётов на такие расстояния нужны не фантастические ТЯР (с топливом
500 ТДж/кг) на корабле, а фантастически большие удельные мощности, пусть и с много менее энергоёмким топливом, хватит даже
1 ТДж/кг, соответствующего обычному радиоактивному распаду.
Теперь подставляя (4) в (3) можно получить связь между временем [млн.лет] полузаселения галактики, доступной удельной мощностью [Вт/кг] и временем [года] полёта колонистов.
\[\tau \cdot {P_{уд}} \cdot {t^3} = 1,7 \cdot {10^{11}}\frac{{{{\log }_2}\left( {{{10}^{11}}k} \right)}}{k}\]
Даже если предположить, что
10% звёзд пригодны для заселения и реализуема мощность
~1 кВт/кг, а колонисты могут себе позволить
100 лет находится на корабле, то время полузаселения галактики будет
50 млрд.лет. В более худших условиях соответственно ещё большее время. Поэтому естественно, что галактика кажется безцивилизационной.