Водяной спутник

[Интересующийся Дед]

Но коли и в этом случае играет роль только высота столба, вопрос снят.

Как это снят? Хотелось бы узнать какое давление внутри жидкого шара, P=f(r,p,M), где r - расстояние от центра, p - плотность, М - масса объекта, жидкость не сжимается. Может кто знает, что б самому в интригалы не углубляться.

+.

Мне бы самому узнать эту формулу…

А вопрос снят при расчётах с “лапотной точностью”.

[Erg Noor]

\[
P(r) = \frac{2 \pi G \rho^2}{3}(R_0^2 - r^2)
 \]

В качестве теста берем центр Земли:
R0 = 6.4e6, rho = 5.5e3:

P(0) = 1.73e11 -- 1.73 млн. атм

[Интересующийся Дед]

Так просто!? Право, изящно!!! Спасибо! +

[библиограф]

 Для земного океана с глубиной 10 км и давлением 1000 бар сжимаемостью воды пренебречь можно,
а для океана 1000 километровой глубины - уже нельзя!
Плотность воды при таких давлениях возрастет почти вдвое!
Изотермы -Давление/ относительный объем для воды для разных температур.

[Geen]

Изотермы -Давление/ относительный объем для воды для разных температур

Сомнительный какой-то график - например, согласно фазовым диаграммам, при \(10^{10}\) Па вода существует только при T>600K

[библиограф]

 Прежде всего, температура на графике не в Кельвинах, а градусах Цельсия, и давление
в барах, а не в Паскалях.
Этот график - не экспериментальные точки, а вычисленные, они, очевидно, не учитывают
ни перехода воды в сверхкритическое состояние, ни образование льда. 
Диаграмма состояния воды из ссылки на стр.1 и плотности разных модификаций льда.
Но поскольку нас интересует, будет ли лед всплывать или тонуть в воде на заданной глубине и
при заданной температуре, нам нужно знать плотности воды и льда при этих условиях.
А эти данные ещё надо поискать.

[Geen]

Этот график - не экспериментальные точки, а вычисленные

Гм. Кем вычисленные и как? А то температурный ход тоже несколько удивляет...

[Интересующийся Дед]

Для земного океана с глубиной 10 км и давлением 1000 бар сжимаемостью воды пренебречь можно,
а для океана 1000 километровой глубины - уже нельзя!
Плотность воды при таких давлениях возрастет почти вдвое!

Океан 1000 километровой глубины – это где, на Земле? Или на водяном спутнике радиусом 1000 километров?

Вы бы не могли дать ответ, какое давление будет в центре водяного спутника с параметрами приведенными автором Темы:

Вот спутник газового гиганта размером с Ганимед, то есть спутник соразмерен Меркурию. И спутник этот полностью водяной - на все 100% состоит из одной лишь Н2О

при температуре, пусть, приблизительно 20 °С по всему сечению?

[Valenock]

Erg Noor, спасибо за формулу. Конечно задача усложнится, если плотность будет функцией давления, к тому же "кривой". Но оценить можно.

[библиограф]

 

Гм. Кем вычисленные и как? А то температурный ход тоже несколько удивляет...

График отсюда:
http://www.vniitf.ru/rig/konfer/6zst/dokl/sec5/4.pdf

[Erg Noor]

Конечно задача усложнится, если плотность будет функцией давления, к тому же "кривой". Но оценить можно.

Будь он однофазным -- сложность была бы невелика.

На мой взгляд, в этой штуке главная сложность -- это фазовая диаграмма. В этом шаре будет стратификация по фазам, которую не так просто обработать. И еще нужно различать, находится он в установившемся режиме или тепло от сжатия и переходов еще осталось внутри и постепенно выходит наружу.

[Скеп-тик]

А вопрос снят при расчётах с “лапотной точностью”.

Мой "лапоть" оказался не той системы. Плотность пород Земли возрастает с глубиной в пять раз, что и вызывает рост ускорения с глубиной - "подножная масса" убывает совсем не пропорционально "подножному объему". На планете из чистой воды падение силы тяжести будет заметно уже при незначительном "углублении".
 Разделив радиус Каллисто на 10 частей и пересчитав ВЕС каждого "столба" (сечением 10х10 см), беря ускорение свободного падения по "верхушке" (что несколько скомпенсирует сжимаемость воды), получил "всего" 16 тыс атм., или 1,57 ГПа.
 Так что, по выше приведенной библиограф'ом диаграмме, при 20°С по всему объему, спутник размером с Каллисто, будет жидким по всей глубине.
 P.S. Опять ошибся!!!. 300°К дает лед-6. при давлении 1,6 ГПа. Что-то монитор с каждым годом становиться всё меньше и меньше...

[Geen]

Гм. Кем вычисленные и как? А то температурный ход тоже несколько удивляет...

График отсюда:
http://www.vniitf.ru/rig/konfer/6zst/dokl/sec5/4.pdf

Спасибо. Но отдельные моменты всё равно остались неясны (статью подробно не смотрел - времени не хватает). Поэтому я попробую по своему.

[Geen]

Самым трудным моментом оказалось найти данные по сжимаемости воды (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B6%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C). Даже на примерном уровне. Например, что-нибудь вроде этого http://www.referat-web.ru/content/referat/physics/physics225.php . (Возможно искать не умею )

Поэтому, можно просто предположить, что сжимаемость падает обратно пропорционально давлению. Точнее, как \(\frac{B}{p+p_T}\). Аналогичная формула в предыдущей ссылке вызывает подозрения, так как при давлениях порядка \(p_T\) удельный объём обращается в 0 (что нас не устраивает). Предложенный же вариант приводит к следующей зависимости \[\frac{\rho}{\rho_0}=\left(1+\frac{p}{p_T}\right)^B\tag{1}\label{1}\]
Подстановка параметров \(\rho_0=10^3 кг/м^3\), \(p_T\approx10^9 Па\) и \(\beta_0\approx5\cdot10^{-10} Па^{-1}\) приводит к замечательному результату \(B\approx0.5\) (замечательность результата связана с тем, что при таком значении здорово упрощаются следующие уравнения).
Для дальнейшего использования выразим давление через плотность: \[\frac{p}{p_T}=\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^2-1\tag{2}\label{2}\]

Напишем теперь гидростатическое уравнение: \[\frac{\mathrm{d}p(r)}{\mathrm{d}r}=-g(r)\rho(r)\tag{3}\label{3},\] где ускорение свободного падения \(g\) даётся формулой \[g(r)=\frac{G}{r^2}\int_0^r4\pi r^2\rho(r)\mathrm{d}r\tag{4}\label{4}.\]

Подставим \eqref{2} и \eqref{4} в \eqref{3} и получим \[\frac{\mathrm{d}\rho(r)}{\mathrm{d}r}=-\rho_0^2\frac{2\pi G}{p_Tr^2}\int_0^rr^2\rho(r)\mathrm{d}r=-\frac{A^2}{r^2}\int_0^rr^2\rho(r)\mathrm{d}r,\tag{5}\] где \(A=\rho_0\sqrt{\frac{2\pi G}{p_T}}\approx6.47\cdot10^{-7} м^{-1}\).

Общим решением этого уравнения есть \[\rho=\frac{1}{r}\left(C_1e^{-i A r}+C_2e^{i A r}\right).\] Но это общее решение, а нам надо что бы оно было действительным, а кроме того, оставалось конечым при \(r\to0\). Эти требования ограничивают решение следующим видом \[\rho=\frac{C}{r}\sin A r.\tag{6}\] Здесь \(C\) - произвольная константа (определяющаяся начальными условиями). Для определения её воспользуемся тем, что на поверхности шара плотность должна быть \(\rho_0\): \[C=\frac{\rho_0R}{\sin A R}.\tag{7}\]

Масса получившегося шара будет равна \[M=\int_0^R4\pi r^2\rho(r)\mathrm{d}r=\frac{4\pi C}{A^2}\left(\sin A R-A R\cos A R\right)=\frac{4\pi\rho_0R}{A^2}\left(1-A R\cot A R\right).\tag{8}\]
Плотность в центре \[\rho_C=\frac{\rho_0A R}{\sin A R}\tag{9}\]

Как нетрудно видеть, при \(A R\to\pi\) наступает коллапс модели Соответствующий \(R\approx5000 км\).

Для шара размером примерно с Ганимед имеем \(A R\approx\pi/2\) что даёт плотность в центре примерно в полтора раза больше, давление 14000 атм и массу \(7\cdot10^{22} кг\) (что в два раза меньше массы Ганимеда)
Так что если слегка подогреть, видимо можно засунуть в воздушный (резиновый) шарик столько воды

[xd]

А можно пояснить физический смысл этой самой А, которая, судя по всему, не та А, которая была в первой зависимости? И в чём причина наступления коллапса? Очевидно, с моделью всё не так просто, раз она столь быстро "ломается".

[Geen]

А можно пояснить физический смысл этой самой А

Это масштаб, на котором начинает влиять сжимаемость воды. Кажется

которая, судя по всему, не та А, которая была в первой зависимости

Исправлю сейчас первую зависисмость

И в чём причина наступления коллапса

Достаточно слабое сопротивление сжатию, заложенное в формуле \eqref{1}. Но, кстати, коллапс модели тут не подразумевает коллапса самого шара - просто "вливание" дополнительной воды (в произвольном количестве) перестанет приводить к увеличению радиуса.

Очевидно, с моделью всё не так просто, раз она столь быстро "ломается".

Да, при больших давлениях сжимаемость должна падать быстрее - это хорошо видно на фазовых диаграммах - там сверху везде лёд.
Но, кстати, я бы не сказал, что так уж быстро ломается - водяная капля диаметром 5000 км, по мне так, вполне достаточно

[Kweni]

радиусом 5000 км, а не диаметром 5000 км. Шар размером с Венеру, а не с Ганимед.

Кстати, здесь
http://allplanets.ru/model_of_planets.htm
получается заметно больший порог «коллапса» – чуть ли не 28000 км вместо 5000. Интересно, какая модель точнее?

[Geen]

радиусом 5000 км, а не диаметром 5000 км.

Не, диаметр - дальше уже в центре точно будет лёд.

получается заметно больший порог «коллапса» – чуть ли не 28000 км вместо 5000.

Сжимаемость твёрдых тел меньше чем у воды...
И где там, кстати, про "коллапс"? - вроде ни одного точного аналитического решения не нашёл...

Интересно, какая модель точнее?

Так задачи решались разные

[Носец]

Кроме центра меня ещё интересует поверхность. Какой она может быть? Ледяная кора или безбрежная океанская гладь? Кроме того, какие могут произойти изменения, будь спутник не из дистиллированной воды, а из экстремально солёной - как подповерхностный океан на Титане?

[Okub62]

Если это спутник одного из наших газовых гигантов, то лёд, однозначно - холодно.