Телескопы покупают здесь


A A A A Автор Тема: Расчёт релятивистских поправок для спутников GPS  (Прочитано 5060 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн dimsАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 11 787
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Сообщения от dims
    • Мой блог
По просьбам телезрителей!

По мотивам этого: http://triangulum.nl/Werkgroepen/documentatie%20werkgroepen/Snaartheorie/GPS%20essay.pdf
И этого: http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html

Таблица с расчётами тут: https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0Ai8pZ9a2478YdGcySkNua0lpZzRfNzBlQ2FMQWMyUkE

1) Гравитационная поправка

а) Гравитация в ОТО описывается метрическим тензором, в котором 16 компонентов, из которых 10 являются независимыми (остальные повторяются).

Из этих 10 только один компонент

\[ g_{00} \]

сушественен в слабых гравитационных полях, таких, как гравитационное поле Земли. Эта величина очень близка к 1, но меньше её. Например, для поверхности Земли она равна примерно 0.9999999986. Чем больше гравитационное поле, тем меньше эта величина.

Эта величина определяет скорость хода времени, следующим образом

\[ dt = \sqrt{g_{00}} dt' \]

где dt' -- промежуток времени между событиями по часам далеко от источников гравитации, где её почти нет, dt -- промежуток времени между теми же событиями, но по часам, находящимся в поле тяготения. Иными словами, чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее течёт время, а слабое гравитационное поле есть ни что иное, как локальное замедление хода времени.

Скорость хода времени определяется, таким образом, величиной

\[ \sqrt{g_{00}} \]

которая так же меньше единицы, близка к ней, и тем меньше, чем сильнее поле.

б) В Ньютоновской механике гравитационное поле описывается так называемым гравитационным потенциалом. Гравитационный потенциал -- это такая величина, что гравитационное ускорение направлено в сторону её убывания и тем больше, чем быстрее убывает потенциал (то есть, каждое тело как бы стремится упасть в гравитационную яму).

Потенциал задаётся формулой

\[ \phi = -\frac{m G}{r} \],

где G -- гравитационная постоянная, m -- масса источника гравитации (например, Земли), а r -- расстояние между центром источника гравитации (центра Земли) и рассматриваемой точкой пространства, в которой мы вычисляем гравитационный потенциал.

Например, на высоте 6378100 метров над центром Земли (поверхность) потенциал равен -62 504 251,42, а на высоте 6378101 (1 метр над поверхностью) , потенциал равен -62 504 241,62. Разница составляет 9,8 -- ускорение свободного падения на уровне поверхности.

в) Между нулевым компонентом метрического тензора и Ньютоновским гравитационным потенциалом существует связь

\[ g_{00} = 1 + \frac{2 \phi }{c^2} \]

что позволяет нам рассчитать замедление времени на поверхности Земли по сравнению с высотой орбиты спутника GPS, которая составляет 25512400 метров от центра Земли (4 радиуса Земли).

г) У меня получилось, что на высоте поверхности скорость хода времени составляет

0,999999999305

а на высоте орбиты GPS

0,999999999826

Отношение этих величин составило

1,00000000052

что в пересчёте на сутки даёт 45 микросекунд. То есть, часы на спутнике должны идти быстрее часов на Земли таким образом, что к концу суток они будут спешить на эту величину

2) Лоренцева поправка

Лоренцево замедление времени определяется относительной скоростью через так называемый лоренц-фактор гамма, выражаемый формулой

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

Скорость всегда меньше скорости света, поэтому второй член под корнем всегда меньше единицы. Для классических скоростей этот член не просто меньше единицы, а намного меньше её. Поэтому, само подкоренное выражение чуть-чуть меньше единицы. Весь лоренц-фактор, таким образом, чуть-чуть больше единицы, потому что корень находится в знаменателе.

Формула замедления такова

\[ dt = dt'/\gamma \]

где dt' -- время по часам неподвижного наблюдателя, а dt -- время по часам движущегося. Иными словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

Иными словам, скорость хода времени на движущемся спутнике определяется величиной

\[ 1/\gamma \]

Скорость движения тела по круговой орбите определяется выражением

\[ v = \sqrt{ Gm/r } \]

Для радиуса 25512400 у меня получилось 3 952,98 м/с.

Для этой скорости фактор замедления составил

0,99999999991307

Что в пересчёте на сутки дало 7 микросекунд в другую сторону.
« Последнее редактирование: 01 Фев 2012 [12:54:26] от dims »
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн MINUS

  • ****
  • Сообщений: 279
  • Рейтинг: +0/-0
    • Сообщения от MINUS
что в пересчёте на сутки даёт 45 микросекунд. То есть, часы на спутнике должны идти быстрее часов на Земли таким образом, что к концу суток они будут спешить на эту величину
...
Что в пересчёте на сутки дало 7 микросекунд в другую сторону.
Геоцентрической системе отчета.

Лаборатория на полюсе. Все как у вас
Часы на спутнике должны уходить вперед на 45 мкс/сут и на 7 мкс/сут в другую сторону по сравнению с часами в этой лаборатории.

Лаборатория на экваторе. Не все как у вас
Часы на спутнике должны уходить вперед на 45 мкс/сут и всего на 6.9 мкс/сут в другую сторону по сравнению с часами в этой лаборатории. Так как лаборатория на экваторе вращается. Линейная скорость лаборатории примерно 463 м/с, что дает замедление времени в ней по сравнению с лабораторией на полюсе sqrt(1-(463/3e8)^2)=1-1.2e-12
Что в пересчете на сутки дает 0.1 мкс/сут

Теперь эксперимент:
Ставим одни атомные часы на полюсе, вторые на экваторе. Синхронизируем их по GPS. Ждем N суток.
Должны ли мы получить разницу в показаниях между этими часами N*0.1 мкс ?

Оффлайн dimsАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 11 787
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Сообщения от dims
    • Мой блог
Конечно, у меня там ноль в линейной скрости, но можно поставить любую скорость. Я не знаю точно, какое время считается временем UTC. Возможно, скорость вращения Земли учитывать не надо.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн MINUS

  • ****
  • Сообщений: 279
  • Рейтинг: +0/-0
    • Сообщения от MINUS
Возможно, скорость вращения Земли учитывать не надо.
Чем же это лаборатория на экваторе так сильно отличается от спутника GPS ?

И лаб. на экваторе и спутник GPS движутся относительно лаборатории на полюсе. И эффект должен иметь место и там и там.
И величина эффекта вполне обнаружима.

Казалось бы чего проще: поместили одинаковые атомные часы допустим в университете Тромсё в Норвегии (почти 70 с.ш.) и Национальном университете Сингапура (1 с.ш.)

Разница в линейных скоростях примерно 305 м/с. Пересчет лоренц фактора дает разницу хода часов между лабораториями примерно 45 нс/сут
« Последнее редактирование: 06 Фев 2012 [13:32:09] от MINUS »

Оффлайн dimsАвтор темы

  • *****
  • Сообщений: 11 787
  • Рейтинг: +189/-65
  • Пожалуй, стоит ограничиться обменом мнениями
    • Skype - virafon
    • Сообщения от dims
    • Мой блог
Эффект есть, вопрос в том, что называется "временем", которое "показывают" часы GPS. Я точно не знаю.
Димс.
Я прекратил участие в форуме.

Оффлайн MINUS

  • ****
  • Сообщений: 279
  • Рейтинг: +0/-0
    • Сообщения от MINUS
Эффект есть, вопрос в том, что называется "временем", которое "показывают" часы GPS. Я точно не знаю.
Вопрос, который мне непонятен в приведенном вами расчете:
Пользуетесь ли вы геоцентрической системой отсчета когда высчитываете лоренцово замедление времени для спутника GPS? Видимо да.

Тогда:
1. Полученные вами 7 мкс/сут "в другую сторону" это только относительно наблюдателя находящегося в центре Земли.
2. Что-то я ничего не слышал про разницу темпа хода атомных часов в зависимости от широты их установки.
3. Не вижу принципиальной разницы между спутником GPS находящимся на орбите Земли и лабораторий находящейся на поверхности Земли. И то и другое вращается вокруг "центра Земли".

Почему, чтобы получить 7 мкс/сут, мы учитываем только спутник и не учитываем наблюдателя на поверхности Земли?
Есть ли экспериментальных данных о зависимости темпа хода часов в зависимости от широты их установки?