Двойные планеты (а может и больше?)

[Афанасьев Владимир]

Примерно через пять миллиардов лет радиус лунной орбиты достигнет максимального значения — 463 тысячи километров, а продолжительность земных суток увеличится до 870 часов. (В.Сурдин).

Попробовал сам решить эту задачу.
Момент количества движения системы Земля – Луна есть:
L = L1 + L2 + L3
где: L1 – момент вращения Земли, если предположить, что Земля идеальный шар, момент инерции будет:
I = (2/5)МзRз^2, а момент вращения: L1 = I(2пи/Тз).
L2 – орбитальный момент Луны: L2 = Мл(2пиr^2/Тл).
L3 – момент вращения Луны, так как L3 на несколько порядков меньше L1 и L2, то L3 можно пренебречь.
Положим, что: Мз = 1, Rз = 1, Тз = 1, тогда: Мл = 1/81, r = 60, Тл = 27.
Тогда: L1 = 2,5 L2 = 10,3 L = 12,8
Когда радиус лунной орбиты достигнет максимального значения:
L = (2/5)2пи/Т + (1/81)2пиr^2/Т
Третий закон Кеплера для Луны запишется так:
r^3/60^3 = T^2/27^2
r = 6,6T^2/3
Тогда: L = 2,5/Т + 3,5Т^1/3 = 12,8 Первым слагаемым пренебрегаем, получается: Т = 49 суток = 1176 часов.
r = 88Rз = 563 000 км.
Если кто-то найдет ошибку в моем решении, буду только благодарен!

[xd]

1. Мл=1/80.3
2. Не вся энергия вращения Земли идёт на "отбрасывание" Луны - часть идёт на нагрев Земли.
Давно хочу провести этот расчёт, руки не доходят. Будут выходные, думаю, тоже посчитаю аккуратно.

[Крупин]

Исходить надо от закона сохранения момента импульса. Энергия же в данной задаче без надобности - излишек идёт на бесполезный нагрев Земли (пока энергию приливов использовать не научились).

[Афанасьев Владимир]

1. Мл=1/80.3
2. Не вся энергия вращения Земли идёт на "отбрасывание" Луны - часть идёт на нагрев Земли.
Давно хочу провести этот расчёт, руки не доходят. Будут выходные, думаю, тоже посчитаю аккуратно.

1)   Мл = 1/81,3 П.Куликовский. Справочник любителя астрономии.
2)   Потери на нагрев Земли я не учитывал.
3)   Также я не учитывал приливное воздействие Солнца.

[xd]

Читайте внимательней. 1/81.3 - это доля массы Луны в системе Земля-Луна.

[Афанасьев Владимир]

Читайте внимательней. 1/81.3 - это доля массы Луны в системе Земля-Луна.

Масса = 7,3483 • 10^22 кг = 1/81,30068 массы Земли

[Klapaucius]

Никаких качелей здесь нет. Есть асимптотическое приближение к состоянию устойчивого синхронизма. Система Земля-Луна будет столь же устойчивой как и система Плутон-Харон вследствие достаточно большой массы спутника. Если спутник мал (например Марс-Фобос) равновесие на геостационаре неустойчиво. Об этом в теме:

https://astronomy.ru/forum/index.php?topic=79765.0

Луна, если и была ближе чем геостационар (причём при каком-то древнем, много более быстром вращении Земли), давно его "перешла". Или такого никогда не было, или как-то вмешалось солнышко (если его виляние "в эту" сторону).

   В двойной системе (без Солнца) спутник, сколь бы малый он ни был, не сможет убежать от планеты, поскольку его момент импульса, пропорциональный корню из орбитального радиуса, бесконечно возрастает. Поэтому, будь Фобос чуть выше стационара, он начал бы убегать, но на каком-то большем удалении всё-таки достиг бы синхронизма с вращением Марса. При наличии же Солнца спутник убегает раньше бесконечности (на орбитальном радиусе сравнимом с расстоянием до точек Лагранжа L4, L5).

Вот это-то и вызывает больше всего вопросов. Солнце-то есть. Может даже Земля не успеет синхронизировать своё вращение с Луной, потеряет её раньше?

Кстати Плутон-Харон - не двойная система (это как бы возвращаясь к истокам темы). Там известно ещё несколько совсем мелких спутников, находящихся на резонансных круговых орбитах. С моделями эволюции их орбит в результате воздействия Солнца было бы весьма интересно ознакомиться.

[Миллиард]

L = L1 + L2 + L3
где: L1 – момент вращения Земли, если предположить, что Земля идеальный шар, момент инерции будет:
I = (2/5)МзRз^2, а момент вращения: L1 = I(2пи/Тз).

Для точности расчета всё-таки не стоит предполагать, что Земля - идеальный шар. Полагаю, что момент инерции Земли в разы меньше момента инерции шара постоянной плотности.

[Афанасьев Владимир]

Для точности расчета всё-таки не стоит предполагать, что Земля - идеальный шар. Полагаю, что момент инерции Земли в разы меньше момента инерции шара постоянной плотности.

Спасибо за очень ценное замечание!
Момент инерции шара, плотность которого возрастает к центру, меньше, чем у однородного шара. Чем больше концентрируется масса к центру, тем меньше момент инерции. Момент инерции Земли можно определить по скорости прецессии точек равноденствия. Он равен 0,83 от момента инерции однородного шара.
http://www.bibliotekar.ru/astronomia/129.htm
Момент инерции идеального шара, имеющего массу и радиус Земли, равен 10*10^37 кг*м^2, момент инерции Земли 8*10^37 кг*м^2.
http://lnfm1.sai.msu.ru/~chujkova/Trudi/zharov.htm
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr^2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Для однородного шара безразмерный момент инерции — 0,4, и он тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. (Википедия).
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

[Афанасьев Владимир]

Пересчитал все с учетом того, что Iз = 0,83Iид.шара. Получилось: T = 1032 часа,  r = 518 000 км.
Разница с предыдущим результатом небольшая, потому что орбитальный момент Луны в 5 раз больше момента вращения Земли и в 4 раза больше момента вращения идеального шара, имеющего массу и радиус Земли.

[Афанасьев Владимир]

Некоторые результаты расчета приливной эволюции системы Земля-Луна продемонстрированы на рис. Кривая а здесь показывает среднее расстояние Луны от Земли (в долях радиуса Земли R), кривая б - длину земных суток Т в часах, кривая в - угол наклона е земного экватора к плоскости земной орбиты в Солнечной системе (эклиптике); по горизонтальной оси откладывается монотонно (но не равномерно) возрастающая со временем величина 1/(η)^1/2, где η - угол (здесь измеряемый в радианах) между перпендикуляром к лунной орбите и не меняющимся со временем направлением вектора суммарного момента количества движения системы Земля-Луна. Сплошными линиями проведены отрезки всех трех кривых, соответствующие предполагаемой реальной истории Луны (от условной начальной точки η ≈ 15°, где а/R ≈ 10, T ≈ 5 часов, ε ≈ 10°, до современной точки η = 3°57', в которой а/R ≈ 60, T = 24 часа и ε = 23°56'.5), прерывистыми линиями - прогноз на будущее. По этому прогнозу продолжительность суток, a/R и ε будут нарастать, причем расстояние Луны от Земли и наклон экватора к эклиптике достигнут максимумов (a/R = 72.7 и ε = 66°7), когда продолжительность суток сравняется с длиной лунного месяца. После этого действие приливов изменит знак - они начнут ускорять вращение Земли, уменьшать и приближать Луну к Земле, пока она не подойдет настолько близко, что приливы разорвут ее на куски, и последние образуют около Земли некоторое подобие колец Сатурна (по расчетам Г. Макдональда, это произойдет через 6 млрд. лет, причем в период наибольшего удаления Луны от Земли нужно учитывать поправки на солнечные приливы).
А.С.Монин. История Земли.
 

[Крупин]

Цитата: Крупин от 23.12.2011 [09:15:05]

    Никаких качелей здесь нет. Есть асимптотическое приближение к состоянию устойчивого синхронизма. Система Земля-Луна будет столь же устойчивой как и система Плутон-Харон вследствие достаточно большой массы спутника. Если спутник мал (например Марс-Фобос) равновесие на геостационаре неустойчиво. Об этом в теме:

    https://astronomy.ru/forum/index.php?topic=79765.0

Луна, если и была ближе чем геостационар (причём при каком-то древнем, много более быстром вращении Земли), давно его "перешла". Или такого никогда не было, или как-то вмешалось солнышко (если его виляние "в эту" сторону).

   Пересечь геостационар система никак не может. В случае неустойчивого геостационара (как у Фобоса) спутник либо начнёт удалятся, если он на шаг дальше, либо пойдёт навстречу к планете (если хоть на метр ближе). Но при бегстве от неустойчивого геостационара (вверх) спутник будет бесконечно приближаться к устойчивому стационару (поскольку приливная диссипация будет уменьшаться, то и скорость эволюции тоже).

   Таким образом при отсутствии третьих сил спутник никогда не достигнет устойчивого стационара, хотя сколь угодно близко к нему приблизится. То же самое будет, если спутник расположен несколько выше устойчивого стационара. Никаких пересечений не будет. Но это при отсутствии третьих сил.