Возможна ли двойная система Марс-Фобос?

[Крупин]

    В связи с темой https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,78681.0/all.html родилась несложная но, на мой взгляд, интересная задачка. Харон обращается вокруг Плутона (точнее вокруг центра тяжести двойной системы) так, что период совпадает с периодом осевого вращения Плутона. А мог бы таким же образом Фобос вращаться вокруг Марса? Имеется в виду неограниченное время.

[AlexOrex]

Рискну предположить следующее - помещенный на стационарную орбиту Фобос летал бы синхронно, поворачиваясь к Марсу одной стороной. Но если какое-то воздействие изменило бы его скорость, спутник начал бы "сползать" или вверх, или вниз от стационара, соответственно, замедляясь и ускоряясь приливными силами. Для того, чтобы удержаться на стационаре, спутник должен сам его регулировать, т.е. иметь достаточный размер и массу, чтобы влиять на скорость вращения главной планеты своими собственными приливами.
Насколько я знаю, это может произойти в системе Земля-Луна. Сейчас Луна удаляется, и при этом тормозит вращение Земли. Если когда-нибудь земные сутки увеличатся и сравняются с орбитальным периодом Луны, то приливные силы перестанут её ускорять, и система стабилизируется - компоненты будет вращаться "лицами" друг к другу.

[Крупин]

Рискну предположить следующее - помещенный на стационарную орбиту Фобос летал бы синхронно, поворачиваясь к Марсу одной стороной. Но если какое-то воздействие изменило бы его скорость, спутник начал бы "сползать" или вверх, или вниз от стационара, соответственно, замедляясь и ускоряясь приливными силами. Для того, чтобы удержаться на стационаре, спутник должен сам его регулировать, т.е. иметь достаточный размер и массу, чтобы влиять на скорость вращения главной планеты своими собственными приливами.

   Правильное суждение. Когда масса спутника мала - равновесие на стационарной орбите неустойчиво. Шаг влево, шаг вправо - система идёт вразнос. А вот с какой массы равновесие становится устойчивым?

[AlexOrex]

Думаю, здесь очень многие факторы надо учитывать:
- Насколько близко к стационару сформировался спутник (или на какую орбиту вышел после захвата или импакта).
- Велики ли возмущения от других тел.
- Массы и скорости вращения планеты и спутника (у планет-гигантов крупный стационарный спутник не образуется или разрушится).
- Состав тел, наличие океана.
- Время развития (тут подумал, что у Земли-Луны времени стабилизироваться может и не хватить - когда из-за расширения Солнца испарятся земные океаны, приливное воздействие уменьшится и не вырастет до тех пор, пока не размягчится кора).
Жаль, что примеров в Солнечной системе маловато, всего один

[Павел Кирпиченко]

Когда масса спутника мала - равновесие на стационарной орбите неустойчиво. Шаг влево, шаг вправо - система идёт вразнос. А вот с какой массы равновесие становится устойчивым?

Наверное корректнее говорить об отношении масс спутник - планета. И чем это отношение ближе к еденице, тем больше вероятность получть такую устойчивую систему.

[Крупин]

Думаю, здесь очень многие факторы надо учитывать:
- Насколько близко к стационару сформировался спутник (или на какую орбиту вышел после захвата или импакта).
- Велики ли возмущения от других тел.
- Массы и скорости вращения планеты и спутника (у планет-гигантов крупный стационарный спутник не образуется или разрушится).
- Состав тел, наличие океана.
- Время развития (тут подумал, что у Земли-Луны времени стабилизироваться может и не хватить - когда из-за расширения Солнца испарятся земные океаны, приливное воздействие уменьшится и не вырастет до тех пор, пока не размягчится кора).
Жаль, что примеров в Солнечной системе маловато, всего один

    Будем рассматривать лишь два тела и ничего более. Считаем, что спутник находится на стационарной орбите. Следует просто установить критерий устойчивости/неустойчивости.

Когда масса спутника мала - равновесие на стационарной орбите неустойчиво. Шаг влево, шаг вправо - система идёт вразнос. А вот с какой массы равновесие становится устойчивым?

Наверное корректнее говорить об отношении масс спутник - планета. И чем это отношение ближе к еденице, тем больше вероятность получть такую устойчивую систему.

   На самом деле вопрос решается однозначно без всяких вероятностей. Предположим, спутник снижается. При этом увеличивается частота, но снижается момент импульса. Поскольку суммарный момент импульса системы неизменен, момент импульса планеты растёт, а значит, растёт и частота вращения.
   Если частота вращения планеты растёт медленнее частоты вращения спутника - равновесие неустойчиво, если больше - устойчиво.

[Павел Кирпиченко]

На самом деле вопрос решается однозначно без всяких вероятностей. Предположим, спутник снижается. При этом увеличивается частота, но снижается момент импульса. Поскольку суммарный момент импульса системы неизменен, момент импульса планеты растёт, а значит, растёт и частота вращения.
   Если частота вращения планеты растёт медленнее частоты вращения спутника - равновесие неустойчиво, если больше - устойчиво.

При этом все-же должно быть некоторое критическое отношение масс планета/спутник...

[Крупин]

На самом деле вопрос решается однозначно без всяких вероятностей. Предположим, спутник снижается. При этом увеличивается частота, но снижается момент импульса. Поскольку суммарный момент импульса системы неизменен, момент импульса планеты растёт, а значит, растёт и частота вращения.
   Если частота вращения планеты растёт медленнее частоты вращения спутника - равновесие неустойчиво, если больше - устойчиво.

При этом все-же должно быть некоторое критическое отношение масс планета/спутник...

   Как раз при этом критическом значении получается одинаковое приращение угловой скорости и для планеты и для спутника (дифференциальное приращение).

[Крупин]

   Приведу решение:
   Обозначим:
G - гравитационная постоянная
 M - масса планеты
 m - масса спутника
 L₁ - момент импульса спутника
 L₂ - момент импульса планеты
 w₁ - угловая скорость спутника
 w₂ - угловая скорость планеты
 J=2/5*M*R² - момент инерции равноплотной планеты
 r=20400  - радиус синхронной орбиты Марса
 R=3400 - радиус Марса

Угловая скорость спутника: w₁=корень(G*M/r³)
Моменты импульсов равны: L₁=m*r²*w1=m*корень(G*M*r)
L₂=J*w₂
Предположим, радиус орбиты спутника изменился на малую величину dr. Тогда приращения переменных:
dw₁=-3/2*корень(G*M/r⁵)*dr
dL₁=1/2*m*корень(G*m/r)*dr=-1/3*m*r²*dw1
dL₂=J*dw₂
Так как суммарный момент импульса L=L₁+L₂=const, то dL₂=-dL₁/ Получаем уравнение:
1/3*m*r²*dw₁=J*dw₂
В критическом случае dw₁=dw₂, значит:
1/3*m*r²=2/5*M*R², отсюда:
m/M=6/5*(R/r)2=6/5*(20400/3400)=6/5*(1/6)2=1/30
Таким образом для устойчивости геостационарный спутник Марса должен иметь по крайней мере 1/30 марсианской массы.