Вопрос о точках Лагранжа

[MARS9]

В Википедии написано что: «такие точки в системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, на которое не действуют никакие другие силы, кроме гравитационных сил со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел. В пространстве вокруг них существуют пять точек, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта» http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0
Значит тут обязательное условие это то что масса космического аппарата (который и должен помещаться в одном из этих точек) должна быть гораздо меньше массы Земли и Солнца, но настолько меньше? Если масса аппарата будет например триллион раз меньше массы Земли то что будет в этом случае? Положение аппарата будет нестабильным? И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата? Какой вообще размер у точках Лагранжа? Это ведь не одна точка а (полагаю) сфера наверно....какой размер у него? Если тот аппарат является длинным/большим но не очень массивным то он может долго находиться в первом точке (о нем идет речь) Лагранжа? 

[Dem]

Значит тут обязательное условие это то что масса космического аппарата (который и должен помещаться в одном из этих точек) должна быть гораздо меньше массы Земли и Солнца, но настолько меньше? Если масса аппарата будет например триллион раз меньше массы Земли то что будет в этом случае? Положение аппарата будет нестабильным? И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата?

Если масса третьего тела не пренебрежимо малая - то получаем систему трёх тел, а это другой случай. Хотя возможно тоже устойчивый.
Но - задача трёх тел аналитически не решается. Только практически можно спрогнозировать для конкретного случая,  с какой-то точностью.

И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата? Какой вообще размер у точках Лагранжа? Это ведь не одна точка а (полагаю) сфера наверно....какой размер у него?

Точка она и есть точка - безразмерная. И на все части тела, не находящиеся в ней - будет действовать сила. Другое дело, что она может быть суммарно нулевой (т.е. тело будет растягивать или сжимать, но оно останется на месте)

Если тот аппарат является длинным/большим но не очень массивным то он может долго находиться в первом точке (о нем идет речь) Лагранжа?

Если говорить об Л1 - то чем дальше аппарат от неё сдвинется, тем сильнее его будет тянуть наружу. Т.е. чисто формально - нисколько не сможет. А практически - если скорость миллиметры в секунду - то долго.
Если же говорить о реальной ситуации - то влиянием иных планет пренебречь нельзя, устойчивы только Л4 и Л5.

[Крупин]

Значит тут обязательное условие это то что масса космического аппарата (который и должен помещаться в одном из этих точек) должна быть гораздо меньше массы Земли и Солнца, но настолько меньше? Если масса аппарата будет например триллион раз меньше массы Земли то что будет в этом случае? Положение аппарата будет нестабильным? И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата?

Если масса третьего тела не пренебрежимо малая - то получаем систему трёх тел, а это другой случай. Хотя возможно тоже устойчивый.
Но - задача трёх тел аналитически не решается. Только практически можно спрогнозировать для конкретного случая,  с какой-то точностью.
 

Даже если масса третьего тела пренебрежимо мала - это (для третьего тела задача трёх тел - так называемая ограниченная задача трёх тел, которая тоже не решаема аналитически, хотя, конечно, гораздо проще общей задачи трёх тел).

И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата? Какой вообще размер у точках Лагранжа? Это ведь не одна точка а (полагаю) сфера наверно....какой размер у него? Если тот аппарат является длинным/большим но не очень массивным то он может долго находиться в первом точке (о нем идет речь) Лагранжа? 

Конечно, "точки" Лагранжа - это не математические точки, такие, что шаг влево - шаг вправо приравниваются побегу. И проблем  для рукотворных аппаратов тут нет. И даже для размеров (а не масс) небесных тел ограничений тоже нет. Что касается устойчивости, то точки L1,L2,L3 неустойчивы в принципе. Точки L,L5 устойчивы при условии, что масса второго тела более чем в 27 раз меньше массы главного тела. Но и эта устойчивость лишь устойчивость в первом приближении, то есть устойчивость в лианеризированной задаче при движении в достаточно малой окрестности точек Лагранжа. А по настоящему ли эти точки устойчивы и какова область устойчивости - лианеризованная задача ответить не в состоянии. Здесь уже очень сложная канитель, простому смертному недоступная, ведь аналитически задача не решается.

[MARS9]

Dem

Точка она и есть точка - безразмерная. И на все части тела, не находящиеся в ней - будет действовать сила. Другое дело, что она может быть суммарно нулевой (т.е. тело будет растягивать или сжимать, но оно останется на месте)

Интересно вы не могли бы сказать мне в каком случае это возможно?

Если же говорить о реальной ситуации - то влиянием иных планет пренебречь нельзя, устойчивы только Л4 и Л5.

Почему? Что там такого особенного?

Крупин

Точки L,L5 устойчивы при условии, что масса второго тела более чем в 27 раз меньше массы главного тела

Постойте второго или третьего (первый-это Солнце, вторая-Земля, а третий-это космический аппарат)? Или вы имели в виду соотношение масс Солнце-Земля? В таком случае это условие явно соблюдается ибо масса Солнца если точно помню несколько сотен тысяч раз больше массы Земли....

[VBR]

Dem

Точка она и есть точка - безразмерная. И на все части тела, не находящиеся в ней - будет действовать сила. Другое дело, что она может быть суммарно нулевой (т.е. тело будет растягивать или сжимать, но оно останется на месте)

Интересно вы не могли бы сказать мне в каком случае это возможно?

Если же говорить о реальной ситуации - то влиянием иных планет пренебречь нельзя, устойчивы только Л4 и Л5.

Почему? Что там такого особенного?

Крупин

Точки L,L5 устойчивы при условии, что масса второго тела более чем в 27 раз меньше массы главного тела

Постойте второго или третьего (первый-это Солнце, вторая-Земля, а третий-это космический аппарат)? Или вы имели в виду соотношение масс Солнце-Земля? В таком случае это условие явно соблюдается ибо масса Солнца если точно помню несколько сотен тысяч раз больше массы Земли....

1. Случай экзотический - например, массивное ядро корабля, и на пружинах отсеки вокруг него.
2. Математическое доказательство на пару страниц - Вы готовы?
3. Именно второго. Для Земли соблюдается.

[Kweni]

В журнале «Наука и жизнь» №1, 1973, была статья о Лагранжевых точках, и вот что там было написано:

Реакция либроида на малые возмущения зависит от того, в какой из пяти точек он находится. Прямолинейные точки неустой¬чивы. Это значит, что достаточно, сколь угодно малой возмущающей силы для то¬го, чтобы либроид удалился из окрестности такой точки (рис. 4).
А как поведет себя либроид в треу¬гольной точке? Как зависит его поведение от его массы, от масс двух других тел и от прочих параметров?
Решение этой проблемы стало возмож¬ным лишь после появления теории В. И. Ар¬нольда.
Правда, еще в 1843 году Г. Гашо нашел, что в плоской круговой ограниченной зада¬че трех тел (то есть когда масса либрои¬да весьма мала) точки либрации могут быть устойчивыми, лишь когда отношение масс больших тел (массы меньшего из них к массе большего) достаточно мало, а точ¬нее, когда две эти массы удовлетворяют некоторому неравенству. Кстати сказать, для земных точек либрации это соотноше¬ние выполняется: ведь масса Луны состав¬ляет примерно одну восемьдесят первую от   массы   Земли.
В 1962 году ученик В. И. Арнольда А. М. Леонтович показал, что треугольные точки будут устойчивыми «почти для всех» до¬статочно   малых    отношений    масс.
 
В 1967 году А. Депри (США) доказал устойчивость для всех малых отношений, кроме, быть может, некоторых трех.
И, наконец, в 1969 году аспирант Москов¬ского физико-технического института А. П. Маркеев окончательно установил, что неу¬стойчивость может иметь место только в двух случаях, когда отношение масс равно одному  из  двух  чисел — 0,0137...  и  0,0249...
Что же следует из изложенных решений? В частности, то, что космическая частица, случайно залетевшая в устойчивую точку с малой относительной скоростью, окажет¬ся   там,   как   в   ловушке.

[MARS9]

VBR

Другое дело, что она может быть суммарно нулевой (т.е. тело будет растягивать или сжимать, но оно останется на месте)

Интересно  вы не могли бы сказать мне в каком случае это возможно?

1. Случай экзотический - например, массивное ядро корабля, и на пружинах отсеки вокруг него.

Значит если я правильно понял ту главное чтоб скажем 90 % масса этого аппарата был сосредоточен именно в точке Лагранжа? 

Математическое доказательство на пару страниц - Вы готовы?

Нуу....я не специалист в математике но если это доказательство не очень сложная тогда с удовольствием послушаю

Именно второго. Для Земли соблюдается

Понятно, его масса 333 000 раз меньше массы Солнца

Kweni
Спасибо

[VBR]

Систематично и доказательно про точки либрации тут.

[Dem]

Значит если я правильно понял ту главное чтоб скажем 90 % масса этого аппарата был сосредоточен именно в точке Лагранжа? 

Совершенно необязательно. Если тело находится не в точке, а рядом - на него действует сила. Если его жёстко связать с телом, находящимся по другую сторону точки - то в некой конфигурации силы можно уравновесить так, чтобы сумма была нулевой.  А в самой точке может вообще ничего не быть - например у нас пустотелая сфера.
Да, если планеты разной массы - центр масс нашего спутника с точкой совпадать не будет - потому как притяжение несимметрично. И можно меняя конфигурацию спутника оставаться на месте, гася внешние воздействия.

[MARS9]

Значит если я правильно понял ту главное чтоб скажем 90 % масса этого аппарата был сосредоточен именно в точке Лагранжа? 

Совершенно необязательно. Если тело находится не в точке, а рядом - на него действует сила. Если его жёстко связать с телом, находящимся по другую сторону точки - то в некой конфигурации силы можно уравновесить так, чтобы сумма была нулевой.  А в самой точке может вообще ничего не быть - например у нас пустотелая сфера.
Да, если планеты разной массы - центр масс нашего спутника с точкой совпадать не будет - потому как притяжение несимметрично. И можно меняя конфигурацию спутника оставаться на месте, гася внешние воздействия.

Понятно, значит тут 2 варианта:
1. Большинство массы этого аппарата должен быть именно в точке Лагранжа (как я понял этот вариант тоже возможен)
2. Большинство масс корабля может и не находиться в точке Лагранжа (это похож на человека который весит скажет 100 кг и держит в руках штангу нагрузки которого весят 200-200 кг на обоих концах) но вся это конструкция должна быть уравновешен и наверно на разных частях должны быть одинокие массы если эти массы находятся на одном и тоже расстоянии от точки Лагранжа, или у аппарата может быть разные массы если они находятся на разном расстоянием от этой точки....все правильно?         


VBR

Систематично и доказательно про точки либрации тут

В частности наверно тут или еще в другом месте тоже? 
Глава 1. Точки либрации ограниченной задачи трех тел [17], § 3. Об устойчивости точек либрации [24]
Книга большая но меня тут только тот один вопрос интересует  

[Dem]

Угу, правильно.

[Крупин]

   Если точка равновесия неустойчива, то как массы ни распределяй - всё равно тело из неё уйдёт (разве что всё время балансировать реактивным двигателем или как-то иначе). Если же точка устойчива, то тело вовсе необязательно должно именно в ней сидеть. Должна существовать некоторая область устойчивости, такая, что помещённая в неё точкабудет кружить вокруг точки строгого равновесия, не убегая. Аналогом для неустойчивого равновесия служит холм. Шаг вправо или влево - и покатишься. Аналог устойчивой точки, естественно, яма.

[MARS9]

Крупин

Если точка равновесия неустойчива, то как массы ни распределяй - всё равно тело из неё уйдёт (разве что всё время балансировать реактивным двигателем или как-то иначе).

Значит точка L1 не очень годиться для этой цели...

Dem

Угу, правильно

Спасибо, понятно

[Dem]

Балансировать в точке гораздо менее затратно, чем систематически поднимать орбиту у низкоорбитальной станции...

[Крупин]

Статейка насчёт точек Лагранжа http://www.vokrugsveta.ru/telegraph/cosmos/947/

[dims]

Значит тут обязательное условие это то что масса космического аппарата (который и должен помещаться в одном из этих точек) должна быть гораздо меньше массы Земли и Солнца, но настолько меньше?

Настолько, чтобы собственное притяжение космического аппарата не влияло (практически) на движение Солнца и Земли.

Если масса аппарата будет например триллион раз меньше массы Земли то что будет в этом случае? Положение аппарата будет нестабильным?

Не аппарата, а всей системы. Физика знает решение для "двух тел", а для "трёх тел" -- не знает.

И еще-какой максимальный допускаемый размер может быть у этого аппарата? Какой вообще размер у точках Лагранжа?

Точка Лагранжа -- это дно потенциальной ямы. Самое дно, "антимакушка", имеет нулевой размер. Размер же самой ямы сравним с орбитальными расстояниями.