Эммм.... сдаётся мне, что в этом условии должно явно присутствовать расстояние между центрами Земли и Луны.
Сами напросились
Ось вращения - это прямая в пространстве. Чтобы две прямые пересеклись, они должны лежать в одной плоскости и не быть параллельными. То, что они не параллельны, мы уже поняли. При каком условии прямые оказываются в одной плоскости? Например, при условии принадлежности плоскости двух точек каждой прямой.
Берем две точки на одной прямой (оси вращения Земли):
точка А (0,0,0) - центр Земли
точка B (0,0,1) - конец единичного вектора, направленного в северный полюс Земли
И две точки на второй прямой (на оси вращения Луны):
точка С (px,py,pz) - конец вектора, направленного в северный полюс Луны (в земной экваториальной системе координат)
точка D (xm,ym,zm) - положение Луны в земной экваториальной системе координат.
По точкам ABC пишем уравнение плоскости:
\[\begin{vmatrix}
x-0 &y-0 &z-0 \\
0-0 &0-0 &0-1 \\
px-0 &py-0 &pz-0
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x &y &z \\
0 &0 &-1 \\
px &py &pz
\end{vmatrix} =0\]
\[x*\begin{vmatrix}
0 &-1 \\
py &pz
\end{vmatrix}-y*\begin{vmatrix}
0 &-1 \\
px &pz
\end{vmatrix}+z*\begin{vmatrix}
0 &0 \\
px &py
\end{vmatrix} =0\]
\[x*py-y*px=0\]
Точка D принадлежит плоскости при выполнении условия \[xm*py-ym*px=0\]
Отсюда \[\frac{py}{px}=\frac{ym}{xm}
\], то есть \[tg \alpha _{M}=tg\alpha _{A}
\], прямое восхождение оси вращения Луны совпадает с прямым восхождением Луны +-180о.
Или подставляем прямоугольные координаты Луны:
\[xm = r*cos\lambda *cos\beta
\]
\[ym = r*(cos \varepsilon *sin\lambda *cos\beta -sin\varepsilon *sin\beta )
\]
\[py*r*cos\lambda *cos\beta - px*r*(cos\varepsilon *sin\lambda *cos\beta -sin\varepsilon *sin\beta) = 0
\]
Сокращаем всё, что сокращается (и расстояние от Земли до Луны r в том числе)
\[\frac{py}{px}*cos\lambda - cos\varepsilon *sin\lambda +sin\varepsilon *tg\beta = 0
\]
\[tg\alpha _{A}*cos\lambda = cos\varepsilon *sin\lambda -sin\varepsilon *tg\beta
\]