Решение задач

[AstroNick]

Звёздная величина Веги равна 0,1 . Какова была бы звёздная величина этой звезды, если бы она удалилась от нас на расстояние, которое в 1000 раз больше? Можно ли было тогда увидеть Вегу невооружённым глазом?
....
Получилось m₂=15,1 Следовательно вегу с Земли не увидим
Правильно это или нет?

Неправильно только то, что Вега - имя собственное, и писать его нужно с большой буквы!
А для решения данной задачи вычислять особо нечего. Поскольку поток обратно пропорционален квадрату расстояния, то удаление в 1000 раз означает падение потока в 1.000.000 раз. По определению, отношению потоков в 100 раз соответствует разница в 5 зв. величин, следовательно, отношению потоков в 100³ раз будет соответствовать разность блеска в 5*3=15 зв. величин. В общем, ответ правильный.

[Balatsky_m]

Спасибо большое, правда у меня чуть инфаркт не случился когда я первое слово прочитал НЕПРАВИЛЬНО

[Вячеслав Зеленев]

Добрый вечер, форумчане! У меня возникла проблема с решением задачи по астрофизике, а именно по звёздным величинам. Суть задачи такова, что надо определить суммарную звёздную величину (m) скопления, содержащего звёзды 1^m, 1.2^m, 1.4^m. 1.6^m и т. д. Я воспользовался формулой Погсона и, кажется, решил правильно. Но с правильным ответом мой ответ не сходится.
По формуле Погсона (не буду её повторять, так как люди уже писали её здесь) я вывел следующую формулу:
E = 10^0.4(-m), где E - суммарный световой поток.
Далее, я несколько трансформировал эту формулу для вычисления E каждой звезды (E₁, E₂, E₃, E₄):
E₁ = 10^0.4(-m₁);
E₂ = 10^0.4(-m₂);
E₃ = 10^0.4(-m₃);
E₄ = 10^0.4(-m₄).
У меня получились следующие результаты:
E₁ ~ 0.3981
E₂ ~ 0.3311
E₃ ~ 0.2754
E₄ ~ 0.2291
Далее я нашёл суммарный световой поток:
E ~ 1.2337
Ну и в конце я нашёл суммарную звёздную величину скопления:
E = 10^0.4(-m)
m = -2.512lg(E)
m ~ -0.23^m
Ответ не сходится с правильным. Правильный m ~ -0.94^m
Никак не могу найти ошибку в вычислениях. Разнятся ответы на десятые доли зв. вел. В чём моя ошибка?

[Игорь_ЕД]

Учли ли вы

и т. д.

Сколько звёзд в скоплении? Может там надо геометрическую прогрессию суммировать? Извините, я не астроном, если что.

[Вячеслав Зеленев]

Учли ли вы
Сколько звёзд в скоплении? Может там надо геометрическую прогрессию суммировать? Извините, я не астроном, если что.

В том то и дело, что в задании не указано, сколько звёзд. Только последовательность эта.

[волотька хрюкалин]

Только последовательность эта.

Звезд может быть и бесконечно много. У меня получилась вот такая штука. Суммарная звездная величина m равна:
m = 1,0 - 2,5*lg(q)
где q - следующий бесконечный ряд:
q = 1 + 1/k + 1/k^2 + 1/k^3 + ...... +1/k^n+......
в котором k = 2,512^0,2
Осталось исследовать ряд на сходимость, и если он сходится, найти его сумму

[Вячеслав Зеленев]

Осталось исследовать ряд на сходимость, и если он сходится, найти его сумму

Ага, вроде более-менее стало понятно. То есть, если ряд сходится, значит за q я могу взять, например, 1 + 1/k ?
А если он окажется расходящимся? Я с этой вещью просто не встречался никогда, поэтому и вопросы. Надо будет разобраться в исследовании ряда на сходимость/расходимость потом.

[волотька хрюкалин]

за q я могу взять, например, 1 + 1/k

Это будет очень усеченная сумма ряда, а Ваш результат, таким образом, будет очень приблизительным. Вам надо найти точную сумму всего бесконечного ряда. В крайнем случае посчитать ограниченную сумму ряда, но для гораздо большего числа членов, а не для двух, как Вы предложили.

[Вячеслав Зеленев]

Вам надо найти точную сумму всего бесконечного ряда.

А как это сделать? Просто никогда доселе не встречался с такой штукой.

[волотька хрюкалин]

Просто никогда доселе не встречался с такой штукой.

Вы не студент разве?

[Вячеслав Зеленев]

Вы не студент разве?

9 класс))) Задачки решаю региона)

[волотька хрюкалин]

9 класс))) Задачки решаю региона)

Святые гуфы . Кто же Вам такие задания дает?

Хорошо.
Давай сделаем проще…. через геометрическую прогрессию. Ее сумма равна:

Sn = a1 • (1 – p^n) /(1 – p)

где a1 – первый член прогрессии (в нашем случае это единица);
p – знаменатель прогрессии (у нас это 1/k);
n – количество членов геометрической прогрессии (в нашем случае их бесконечно много n ~∞).

Учитывая, что при n→∞  p^n ~ 0, имеем:

Sn = a1 /(1 – p) = 1 / (1 – p) = 1 / (1 – 1/k) = k / (k – 1)

Итак, наша q = k / (k – 1)

Далее все это подставляем в мои формулы и получаем m ≈ – 0,94m

[Вячеслав Зеленев]

Учитывая, что при n→∞  p^n ~ 0, имеем:

В общем, всё ясно, но почему при n→∞  p^n ~ 0?
И ещё, можете объяснить, пожалуйста, как вы вывели те формулы, которые были в первом ответе? Чтобы мне суть решения понимать, из чего они берутся.
Вот эти:
m = 1,0 - 2,5*lg(q)
где q - следующий бесконечный ряд:
q = 1 + 1/k + 1/k^2 + 1/k^3 + ...... +1/k^n+......
в котором k = 2,512^0,2

[Вячеслав Зеленев]

Святые гуфы . Кто же Вам такие задания дает?

Вот, если хотите взглянуть, задания тренировочные)))
https://drive.google.com/file/d/1mugcVam-21YCSRkiiwaZA7AJOIBrTMmY/view?usp=sharing

[волотька хрюкалин]

как вы вывели те формулы, которые были в первом ответе?

У Вас по условию дано бесконечное количество звезд с блеском: 1m, 1.2m, 1.4m. 1.6m и т. д. Таким образом, каждая следующая звезда слабее предыдущей на 0,2m. Надо найти суммарный блеск всего этого бесконечного роя звезд. Надеюсь, понятно, что для их блеска будут справедливы соотношения:

E1 / E2 = 2,512^0,2
E2 / E3 = 2,512^0,2
E3 / E4 = 2,512^0,2
…………………….
Et-1 / Et = 2,512^0,2
…………..

Для упрощения введем обозначение k = 2,512^0,2. Тогда:

E1 / E2 = k
E2 / E3 = k
E3 / E4 = k
…………………….
Et-1 / Et = k
……………………..

Будем в каждом из равенств выражать блеск более слабой звезды:

E2 = E1 / k
E3 = E2 / k
E4 = E3 / k
…………………….
Et = Et-1 / k
………………..

Теперь внимательно! Во втором равенстве значение блеска E2 берем из предыдущего выражения. Получаем:
E3 = E1 / k^2

Далее по аналогии:
E4 = E1 / k^3
………………
 Et = E1 / k^(t-1)
………………

Суммарный блеск равен:
E = E1 + E2 + E3 + ….+ En = E1 + E1 / k + E1 / k^2 + E1 / k^2 + E1 / k^3 + …… = E1 (1 + 1 / k + 1 / k^2 + 1 / k^2 + 1 / k^3 + ……)

Получившийся бесконечный ряд обозначим через q:
q = 1 + 1 / k + 1 / k^2 + 1 / k^2 + 1 / k^3 + ……

Тогда
E = q •E1

E / E1 = q = 2,512^(m1–m)
где m – суммарная звездная величина всех звезд.

Логарифмируем последнее равенство и получаем:
m = m1 – 2,5•lg(q)

Т.к. m1 = 1,0
 m = 1,0 – 2,5•lg(q)

Получившийся выше ряд q представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, начальный член которого 1, а знаменатель прогрессии 1/k. Эту сумму мы нашли в одном из моих предыдущих постов.

почему при n→∞  p^n ~ 0?

p у нас это знаменатель прогрессии, равный:

p = 1 / k = 1 / 2,512^0,2 = 2,512^–0,2

Если p возводится в степень n, то:
p^n = 2,512^(–0,2•n)

Если мы будем постоянно увеличивать показатель степени n (n=1, 2, 3, 4.......), то, можете сами проверить, p^n начнет неограниченно уменьшаться, вырождаясь в ноль при n, стремящемся к бесконечности.

[konstkir]

  \[  \sum E_{m} = E_{0}\sum_{n=0}^{\infty }10^{-0,4(1+0,2n)} \approx  2,366358 \]
                        -0,4m_X= log2,366358     

                          m_X= -0,935