Задача по орбитальной механике

[rainarcven]

Имеется заданная высота H и желаемый эксцентриситет орбиты e. Требуется найти такие апоцентр A и перицентр P, чтобы время проведенное аппаратом выше высоты H было равно времени проведенном ниже H. Другими словами время полета от A до H было бы равно времени от H до P и равнялось четверти орбитального периода.

В развлекательных целях казалась простая задача. Видимо не хватает мат.аппарата, или не смог найти правильный подход.

[Goodricke]

Хм... 🤷‍♀️

[wandarer]

Так как время полета от A до H должно равняться времени от H до P и быть равным четверти орбитального периода, то площади треугольников F1AH и F2HP должны быть равны.

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

0.5 * AH * HF1 * sin(α) = 0.5 * HP * HF2 * sin(β),

где α и β - углы между сторонами треугольников.

Так как sin(α) = sin(β), то AH * HF1 = HP * HF2.

Также из закона Кеплера известно, что площадь эллипса равна половине произведения его полуосей на число Пи: 0.5 * a * b * π.
Таким образом, имеем уравнение: 0.5 * A * H * π = 0.5 * P * H * π,
откуда следует, что A = P.

Таким образом, для заданных высоты H и желаемого эксцентриситета e, апоцентр и перицентр орбиты равны и равновременно находятся на одной и той же высоте H, при этом время полета от A до H равно времени от H до P и равняется четверти орбитального периода.

С другой стороны:
Пусть T - орбитальный период, тогда время полета от A до H и от H до P равно T/4.
Зная закон Кеплера, можем записать, что площади секторов F1AH и F2HP равны:

0.5 * A * H * sin(α) = 0.5 * P * H * sin(β),

где α и β - углы между радиус-векторами и касательными к орбите в точках H и P.

Так как sin(α) = sin(β), то A = P.

Также, время полета от A до H и от H до P равно 1/4 от общего времени орбитального периода T. Запишем это в виде уравнения:

(A + H) / V = T / 4,

(H + P) / V = T / 4,

где V - орбитальная скорость.

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными A и H. Решим эту систему уравнений, и найдем значения для A и H.

[wandarer]

Дополню:
Точки F1 и F2 представляют собой фокусы эллиптической орбиты. В данной задаче, где время полета от апоцентра A до высоты H равно времени полета от высоты H до перицентра P и равно четверти орбитального периода, точки F1 и F2 находятся в фокусах эллиптической орбиты. Таким образом, для данной задачи точки F1 и F2 совпадают с апоцентром A и перицентром P соответственно.
Если учитывать эксцентриситет орбиты e, то эксцентриситет e орбиты связан с расстояниями до фокусов и полуосью орбиты следующим образом: e = c / a, где c - расстояние от центра орбиты до фокуса, a - длина полуоси орбиты.Так как по условию время полета от апоцентра A до высоты H равно времени полета от высоты H до перицентра P, то так как полуось орбиты определяется как a = (A + P) / 2, то из уравнения эксцентриситета e = c / a можем выразить расстояние от центра орбиты до фокуса c = e * a. Таким образом, расстояние от центра орбиты до фокуса в точке A равно e * (A + P) / 2, а в точке P - e * (A + P) / 2. Теперь, чтобы задача имела решение, расстояние от центра орбиты до фокуса в точке A должно быть больше, чем расстояние в точке P: e * (A + P) / 2 > e * (A + P) / 2. Таким образом, при заданных высоте H и эксцентриситете e существует решение, где апоцентр A и перицентр P находятся на одной и той же высоте H, и время полета от A до H равно времени от H до P и равно четверти орбитального периода.

[rainarcven]

Это мне сейчас ChatGPT ответил что-ли? Три отличных решения где A = P, то есть круговая орбита. Причем на полном серьезе с выкладками.
Оно конечно формально удовлетворяет условию, если e = 0, а время выше и ниже H равны нулю, а значит равны между собой  Но на троллинг похоже.

[wandarer]

Это мне сейчас ChatGPT ответил что-ли? Три отличных решения где A = P, то есть круговая орбита. Причем на полном серьезе с выкладками.
Оно конечно формально удовлетворяет условию, если e = 0, а время выше и ниже H равны нулю, а значит равны между собой  Но на троллинг похоже.

Так и задайте запрос к ИИ, указав А не равно Р и е не равно 0.

[rainarcven]

Так и задайте запрос к ИИ, указав А не равно Р и е не равно 0.

Я не понимаю. Я на ваши ответы ответил про ChatGPT. Вы ИИ? Ваши ответы меня реально в тупик ставят, этот в том числе.

[wandarer]

Я не понимаю. Я на ваши ответы ответил про ChatGPT. Вы ИИ? Ваши ответы меня реально в тупик ставят, этот в том числе.

Ну раз вы не продвинутый пользователь по ИИ, то вот ответ Нейро из Yandex браузера:
Чтобы найти апоцентр и перицентр орбиты с заданными высотой и эксцентриситетом, необходимо решить задачу с помощью математических формул.

Время полёта от перицентра до точки орбиты по эллипсу:

τ = sqrt(a^3/μ)(E - ε*sin(E)),

где:

τ — время полёта;
a — большая полуось эллипса;
E — эксцентрическая аномалия;
μ — гравитационный параметр центрального тела;
ε — эксцентриситет орбиты;
r0 — радиус перицентра;
r — радиус заданной точки орбиты.
Время полёта от апоцентра до точки орбиты:

τ = sqrt(a^3/μ)(ε*sh(H) - H), H = arch((1 + r/a)/ε), a = r0/(ε - 1).

Таким образом, чтобы время полёта от апоцентра до заданной высоты было равно времени от высоты до перицентра и равнялось четверти орбитального периода, необходимо знать другие параметры орбиты.
Другие параметры орбиты, которые могут потребоваться для решения задачи:

-Большая полуось.  Определяет среднее расстояние до притягивающего центра.
-Малая полуось.
-Фокусное расстояние (линейный эксцентриситет).
-Истинная аномалия. Угол между радиус-вектором и линией апсид.
-Период обращения.

[rainarcven]

необходимо решить задачу с помощью математических формул

Надо же, а я все думал, что же надо сделать. Спасибо друг за подсказку, попробую еще разок.

[rainarcven]

Решение

Надо было правильный подход найти.

Уравнение Кеплера: E — e*sin(E) = M
e - эксцентриситет орбиты
E - эксцентрическая аномалия
M - средняя аномалия

Средняя аномалия это угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью. Так как время от перицентра до нужной высоты равно четверти периода, средняя аномалия для данной точки будет равна Pi/2 (+ Pi*n).

Уравнение Кеплера трансцендентное, но можно решить приближенно (с нужной точностью).

E0 = M
En+1 = e*sin(En) + M

При M = Pi/2 можно записать как E = e*cos(e*cos(e*cos(…))) + Pi/2

Высота орбиты через эксцентрическую аномалию: H = a*(1 - e*cos(E))
a - большая полуось

Таким образом находим отношение H/a, обозначим его K = H/a
K(e) = 1 - e*sin(e*cos(e*cos(e*cos(…))))

Периапсис P = a*(1 - e) = H*(1 - e)/K
Апоапсис A = a*(1 + e) = H*(1 + e)/K

Ряд быстро сходится, 10 членов хватает для почти любых орбит, чем меньше e, тем меньше членов нужно. Всего два члена при e < 0.25 дают точность >99.9%.

P ≈ H*(1 - e)/(1 - e*sin(e*cos(e)))
A ≈ H*(1 + e)/(1 - e*sin(e*cos(e)))

Теперь можно рассчитывать орбиты в ksp/ro чтобы равномерно собирать науку с Hi и Low областей.

[Toth]

Имеется заданная высота H и желаемый эксцентриситет орбиты e. Требуется найти такие апоцентр A и перицентр P

Иными словами - найти большую полуось a, при котором медианное значение радиус-вектора равно H+R, где R-радиус центр. тела, Земли например.
Возможно есть уже некая формула типа a=f(H,e). Для среднего значения есть -
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%BE%D1%81%D1%8C#%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5

 

[rainarcven]

Возможно есть уже

Я решил уже, ответ выше. Не знаю как тут пометить тему [Решено]. По ссылке все средние значения не подходят, там видимо все не по времени усредняется, проверил "экпериментально" еще до того как начал решать.

[Toth]

Надо найти a по r и e

При M = Pi/2

Приблизительно формула такая
a=r/(1.6933-0.6739sqrt{1-e^2))
где r = H+R
Погрешность не более 4% при e < 0.999

PS Не получилось в latex