Уточнённый третий закон Кеплера

[Fireman]

Добрый день

Подскажите почему у меня может расчёт по уточнённому третьему закону Кеплеру получаются странные результаты.

Уточнённый 3 закон Кеплера:

\[\frac{T_{1}^{2}(M_{\bigodot} + m_1)}{T_{2}^{2}(M_{\bigodot} + m_2)}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}\]


Решил придумать и попытался решить следующую задачку:

Найти массу Урана, если его период обращения вокруг Солнца - 84 года, а большая полуось - 19,2 а.е.

В качестве второй планеты использую Землю с массой \( 6\times 10^{24} кг \).

Подставляю все данные и получаю \( m=6 \times 10^{27} кг \), вместо \( m=8,7 \times 10^{25} кг \).

Подумал, что где-то точность едет в калькуляторе, перерассчитал всё уже программно и данные взял более точные из Википедии (т.е. с кучей знаков после запятой), получил вообще \( m=1,48 \times 10^{28} кг \)!!!


Что я делаю не так?!!!
Формула неправильная? Или её нельзя так применять?

[Toth]

Формула неправильная?

Неправильная. Где вы её нашли?
Почему-то разности масс, а не суммы. И T1^2 делится само на себя.

[Fireman]

Почему-то разности масс

Потому что копипаста - зло и потому что впервые с редактором формул работал на сайте  Прошу прощение

Формулу исправил ибо использовал правильную

Вот такой код на питоне:

m_sol = 1.9885e30

m1 = 8.6813e25
a1 = 19.22941195
T1 = 30685.4

m2 = 5.9726e24
a2 = 1.00000261
T2 = 365.256363004

y = (a1**3 / a2**3) * (T2**2 / T1**2) * (m_sol + m2) - m_sol

Результат: 1.4834694228012262e+28

[Змей Петров]

Я не специалист в небесной механике , и что-то не пойму - каким образом известная орбита и масса Земли позволяет определить массу Урана при известной его орбите ?

[Toth]

Так как массы планет гораздо меньше массы Солнца ( у Земли ~ 1/330000 , у Урана ~ 1/23000), то результат очень сильно зависит от точности исходных данных.
Вот например - варианты в рус. и англ. Wiki , я так понял, оскулирующие ЭО -

[Fireman]

то результат очень сильно зависит от точности исходных данных.

Да, тоже подумал, что дело в некорректных данных, а результат итоговый из-за огромной массы Солнца по сравнению с планетами очень "чуток" к параметрам
Взял данные из английской вики и получил результат m=2.5422039919668881912E+27

Наверное "Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды." из википедии относится только к случаям относительно близких масс

Или же законы Кеплера - это задача двух тел, а в Солнечной системе еще много чего тяжелого летает, что влияет на орбиты так, что на выходе получаются такие результаты при использовании уточнённого третьего закона Кеплера

[Fireman]

и что-то не пойму - каким образом известная орбита и масса Земли позволяет определить массу Урана при известной его орбите ?

"Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты" (Из вики)

Формулу выше я привел

[Toth]

Или же законы Кеплера - это задача двух тел, а в Солнечной системе еще много чего тяжелого летает

Да, элементы орбиты от этого непостоянны, т.н. оскулирующие.

[равлик]

Уточнённый 3 закон Кеплера:

\[\frac{T_{1}^{2}(M_{\bigodot} + m_1)}{T_{2}^{2}(M_{\bigodot} + m_2)}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}\]

Это неправильная формула. Должно быть так\[\frac{T_{1}^{2}(M_{\bigodot} +\Sigma m_{\text{внутри орбиты 1}} + m_1)}{T_{2}^{2}(M_{\bigodot} +\Sigma m_{\text{внутри орбиты 2}} + m_2)}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}\] И точные значения массы (вернее \(GM\), которые ненужно делить на \(G\)) брать из точных современных VSOP2013.

[Змей Петров]

и что-то не пойму - каким образом известная орбита и масса Земли позволяет определить массу Урана при известной его орбите ?

"Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты" (Из вики)

Формулу выше я привел

Я не Эйншнейн , что бы спорить с Ньютоном
Но ,  похоже , эта формула не имеет отношения к этому вопросу .

[viesis]

и что-то не пойму - каким образом известная орбита и масса Земли позволяет определить массу Урана при известной его орбите ?

"Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты" (Из вики)

Формулу выше я привел

Я не Эйншнейн , что бы спорить с Ньютоном
Но ,  похоже , эта формула не имеет отношения к этому вопросу .

Да, по идее массу планеты можно определить по отклонениям в её орбите под действием планет с известной массой.

[Toth]

Это неправильная формула. Должно быть так

Да они все неправильные при количестве тел > 2. Если суммировать все, что внутри, тогда и в большую полуось считать наверное не от центра Солнца, а от барицентра всех учтенных тел.
Кстати , иногда для очень долгопериодических объектов используют  барицентрические ЭО вместо гелиоцентрических. Они более стабильны оказываются.
Например , свежая комета https://en.wikipedia.org/wiki/C/2022_E3_(ZTF)