Теорема о вириале (неверна)... все же верна

[diant]

Коллеги, я прошу разоблачить меня как шарлатана и обманщика. Сейчас я выйду и громко объявлю, что теорема о вириале неверна. Да, да, та самая, с помощью которой мы считаем массы скоплений галактик по размеру скоплений и средней скорости их членов. Итак, поехали.
 
Дано. Собственно сама теорема вириала для гравитационно связанных систем:
2T* = -U*
Здесь * - знак устреднения. T* - усредненное по времени значение кин. энергии системы. U* - усредненное по времени значение потен. энергии системы.
(Формулировка взята отсюда.)

Доказательство ошибочности этой теоремы.
Пойдем от противного. Допустим, что эта теорема верна для системы из 2 тел на сильно эллиптических орбитах, например, для системы из двух звезд, вращающихся по сильно элл. орбитам вокруг общего центра масс (эксц. e ~ 1).

В положении "звезды в апоастре" потенциальная энергия их взаимодействия настолько мала, что ею можно пренебречь: Uapo ~ 0
В положении "звезды в апоастре" кинетическая энергия звезд тоже настолько мала, что ею можно снова пренебречь: Tapo ~ 0
(Как известно, на дальних частях таких вытянутых орбит тела еле ползут и почти не чувствуют друг друга гравитационно, однако e<1, то есть они все-таки связаны).

Дальше главный тезис, на котором я опровергну теорему вириала будет такой: в этой замкнутой системе выполняется закон сохранения энергии.

Поехали. Поскольку в апоастре кинетическая и потенциальная энергия системы близки к нулю, значит полная механическая энергия системы (T+U) тоже близка к нулю. А коль скоро закон сохранения энергии работает, полная механическая энергия системы будет оставаться близкой к нулю все время, вплоть до положения "звезды в периастре". В таком случае после усреднения (T+U) по всей орбите мы получим снова почти ноль:
(T+U)*~0
Отсюда:
T*~-U*
Но поскольку T* явно не близко к нулю (около периастра кин. энергия системы огромна), T* никак не может быть равно 2T*.
Мы пришли к противоречию.

Коллеги, где я вас обманул - пожалуйста укажите.

[СТРОБОСКОП]

пожалуйста укажите.

Как всегда забыли про минус в потенциальной энергии.

[diant]

Как всегда забыли про минус в потенциальной энергии.

Где! Я за ним слежу, ой как.

[СТРОБОСКОП]

Где! Я за ним слежу, ой как.

[diant]

Именно по причине указанной вами отрицательности потен. энергии теорема формулируется со знаком минус:
2T* = -U*
Ведь Т (кин. энергия) бывает только положительна, поэтому равенство T=-U означает, что само U отрицательно.

PS. чтобы усилить свое первоначальное утверждение, замечу, что даже на таком уважаемом сайте как astronet.ru эта теорема сформулирована ошибочно, и это вызывает грусть - куда наука катится. Поэтому кмк ошибку искать стоит не в моем доказательстве, а в самих формулировках теоремы вириала, которая в половине случаев формулируется в сети неверно - в ней опускается столь важное условие, что оно сравнимо с прямоугольностью треугольника в теореме Пифагора (без которой сама теорема становится неверной).

[СТРОБОСКОП]

Поскольку в апоастре кинетическая и потенциальная энергия системы равны нулю

Неверно! (они близки к нулю "в апоастре")
Научитесь грамотно оперировать бесконечно малыми! (Мат. анализ)

[Миллиард]

diant, в формулировке теоремы приводятся усредненные по времени значения энергий, а вы в своем доказательстве производите вычисления в конкретный момент времени (апоастр). В этом и обман.

[diant]

Научитесь грамотно оперировать бесконечно малыми! (Мат. анализ)

Если вы считаете, что в этом уловка, я специально для вас поправил свое доказательство. Его суть от этого не меняется.

diant, в формулировке теоремы приводятся усредненные по времени значения энергий, а вы в своем доказательстве производите вычисления в конкретный момент времени (апоастр). В этом и обман.

Нет, я перехожу к усреднению в этих словах: "В таком случае после усреднения (T+U) по всей орбите мы получим снова почти ноль"

[Миллиард]

Нет, я перехожу к усреднению в этих словах: "В таком случае после усреднения (T+U) по всей орбите мы получим снова почти ноль"

Значение потенциальной энергии зависит от выбора точки отсчета, т.е. U и U+const дают разное значение, но суть от этого не меняется. В то же время значение кинетической энергии уже явно зависит от этой const, соответственно, теорема вириала будет выполняться только при правильном выборе const.

[Geen]

Если вы считаете, что в этом уловка, я специально для вас поправил свое доказательство. Его суть от этого не меняется.

Меняется - средние по времени тоже "почти ноль" - как-раз на пренебрегаемую величину.

[diant]

Меняется - средние по времени тоже "почти ноль" - как-раз на пренебрегаемую величину.

Мудрое слово заставило меня образумиться.
Вывод: теорема вириала ВЕРНА!
Коллега, спасибо!

[xd]

Комментарий модератора

Вот и славно.