Задача

[konstkir]

Задача

Это не задача, а некорректно поставленный вопрос, как минимум не указана система координат, в которой нарисован треугольник

Как считать-то? Дайте формулу

поэтому формулы не будет

Тут СК от наблюдателя, наблюдатель сидит на той вершине, откуда вылетел пучок света. Вообще тут надо как-то интегрировать, используя сопутствующее расстояние и масштабный фактор

Бессмысленно. Даже  если наблюдатель в  квазаре или в сверхновой. К нему вернется один фотон с вероятностью раз в миллиарды миллиардов лет

[konstkir]

Ну тогда зачем такие сложности?
 Возьмите взрыв сверхновой на расстоянии 10 млрд.с.л. от нас в настоящий момент времени
Задача  - определить время прибытия вспышки.

[konstkir]

Вот и состряпайте формулы  в Латексе по подробнее.
Попробуем разобраться. 

[konstkir]

По-моему, все напутано.
Во-первых, "примитивный" закон Хаббла, здесь не работает.
 Правильный V= HoR
Во вторых, масштабный фактор меняется и надо искать как.

И, наконец, последнюю формулу я просто не понял.
 

[konstkir]

Не знаю, как точно решать эту задачу, давно подробно знакомился с космологией. Пока лень все вспоминать.

Забавно, что я задал именно подобный вопрос  11 лет назад в своем первом сообщении на форум(в конце) -  целясь на лучшего модератора-теоретика раздела "Горизонты.." всех времен, а возможно и всех форумов Сергея Хартикова. Правда, он мне так и не смог ответить - он не космолог по профилю, хотя многое хорошо соображает и в космологии.
 

https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,55073.msg945621.html#msg945621

[konstkir]

Не надо знать Z. Для данного момента (посылки сигнала) бессмысленно.
Знать надо a(t) и  H(t) и уметь численно интегрировать.

[konstkir]

Только решайте мою задачу выше, а не свою с зеркалами. Ваша не решаема в принципе.

[konstkir]

Ничего не будет. Первый луч улетит за Горизонт Событий - навечно.

[konstkir]

Есть равносторонний треугольник со стороной 1 Гпк. В вершинах установлены зеркала. Если из одной вершины выпустить свет, через сколько лет он вернется к наблдателю в начальную точку?

Задача сводится примерно к такой. На мембране нарисован равносторонний треугольник ABC , со стороной
\(  L (=10^9 \) Па) . Мембрану растягивают равномерно во все стороны по некоторому закону \( a(t) \).
Далее испускают луч в момент \( t_0 \) , который отражаясь в B и C возвращается в A.
Метрика = она же геометрия =такая:
\[ ds^2=dt^2-a(t)^2(dx^2+dy^2) \quad c=1 \]

Можно конечно найти координаты точек \( A , B , C \) на плоскости и уравнения прямых и честно расписать 3 раза уравнения, но мне кажется проще исходить из однородности и изотропности пространства (= мембраны). То есть решать задачу, когда свет идет 3 участка, которые равномерно растягиваются по одной линии.
Тогда все сводится к уравнению изотропной вдоль линии OX:
Координата \( A - x_1 \) координата \(  B - x_2 \).


\[ ds^2=0=dt^2-a(t)^2dx^2 \]

\[ 3(x_2-x_1)=\int_{t_0}^{T}{\frac{dt}{a(t)}} \]
Если брать модель сегодняшнего расширения, то \( a(t)=At^{2/3} \)
Получаем:
\[ 3(x_2-x_1)=\frac{L}{a(0)}=3At^{1/3}|_{t_{0}}^{T} \]

\( A \) - постоянная , можно найти так:

\(  A=\frac{t_{0}^{2/3}}{a(t_0)} \)

а    \( x_2-x_1=La(t_0) \)

\[ 3(x_2-x_1)=3L/a(t_0)=A[T^{1/3}-t_{0}^{1/3}] \]

\[ T-t_{0}=(\frac{3L}{Aa(t_0)}+t_{0}^{1/3})^3-t_{0} \]

или:

\[ T-t_{0}=(\frac{3L}{t_{0}^{2/3}}+t_{0}^{1/3})^3-t_{0} \]

Вот что можно выжать из задачи. Осталось выбрать параметры начальное время \( t_0 \) и \( a(t_0) \)

Где-то похоже, если не считать, что после решения интеграла коэф.А не там торчит.
На большие расстояния уже нельзя использовать такую простую функцию МФ. Это замедление Вселенной.
 Надо пользоваться более сложной a(t), отражающей ускорение.
В учебниках есть, но аналитически интеграл не берется.