Задача Кеплера

[geomath]

Пусть планета обращается вокруг солнца по некоторой кривой. Вроде бы ничто не мешает нам считать, что на самом деле планета движется по единичной окружности, только единица измерения зависит от направления. Длину этой окружности обозначим пи умножить на дэ. Спрашивается, чему равно это пи и какой единицей следует измерять это дэ?

Если планета движется по эллипсу, то еще Кеплер нашел, что пи ~ 3.14..., а дэ - это два корня квадратных из произведения полуосей этого эллипса (их длин). Но пи здесь не есть константа...

Обычно считают, что пи есть константа, а дэ - какое получится...

http://home.att.net/~numericana/answer/ellipse.htm

Но почему? Почему пи константа, а не какое получится?

[AstroNick]

Почему пи константа, а не какое получится?

Потому что по определению пи - это отношение длины окружности к её диаметру. Настоящей окружности, а не эллипса. Все окружности одинаковые (с точностью до фактора масштаба, называемого радиусом), поэтому у них и число пи одинаковое. По крайней мере, в планиметрии это именно так.

[geomath]

Потому что по определению пи - это отношение длины окружности к её диаметру. Настоящей окружности, а не эллипса.

На самом деле одно другому не мешает. То есть формула для длины планетной орбиты должна иметь вид: пи, умноженное на диаметр орбиты (наибольшее расстояние межде ее точками), где пи - это функция безразмерных параметров орбиты. В случае эллипса получится формула: пи (в зависимости от эксцентриситета е эллипса), умноженное на длину большей оси эллипса, причем для окружности (е = 0) пи должно равняться 3.14..., как обычно.

[taurus]

А зачем?

[geomath]

Многие из вас удивятся, узнав, что ни в Математическом словаре, ни в Математической энциклопедии нет формулы для длины эллипса, его окружности, там об этом даже не говорится.

Как известно, площадь, ограниченная эллипсом, равна пи, умноженному на произведение его (эллипса) полуосей, и когда эти полуоси равны одному и тому же эр, получается площадь круга: пи эр квадрат. Казалось бы, длина эллипса должна равняться соответственно двум пи на корень квадратный из произведения полуосей эллипса, и когда эти полуоси равны одному и тому же эр, получится длина окружности: два пи эр. Но, оказывается, эта формула (Кеплера) является всего лишь приближенной. Я же утверждаю, что она не просто приближенная, но еще и не совсем правильная, и ее следовало бы переписать в виде пи (в зависимости от эксцентриситета е), умноженного на длину большей оси эллипса, пусть точность от этого не изменится, поскольку зависимость пи от эксцентриситета в действительности довольно сложная. Зачем переписать? А затем, чтобы выделить зависимость от е не чего-нибудь, а именно пи.

Кстати, если вы не поленились сходить по указанной выше ссылке, то вы могли прочитать, что формула Кеплера занижает длину эллипса, так что для эллипса величиной с Землю погрешность составляет приблизительно 85 метров.

[Михаил Никитин]

Кеплер понятия не имел об интеграле. А мы имеем. Зачем ради уточнения приближенной формулы менять константу всей математики, которая нужна не только для вычисления длины окружности, а и во многих других случаях? Не лучше ли взять справочник по высшей математике, открыть раздел "Длина дуги кривой", записать четверть- или полуэллипс в явном виде и подставить полученную зависимость в формулу для длины дуги? Получим интеграл, не выражающийся через конечное число элементарных функций - поэтому этой формулы и нет в таких источниках, как "Математическая энциклопедия" и "Математический словарь". А вот если взять например, первый том "Интегралов и рядов" Прудникова-Брычкова-Маричева, то, IMHO, выражение подобных интегралов через высшие трансцендентные функции там есть. Но для практического использования этих формул нужны таблицы этих функций или их разложение в ряд. Поэтому можно поступить проще. Во-первых, имея PC и любой компилятор, что мешает вычислить интеграл численным методом (прямоугольников, трапеций или парабол) с наперед заданной точностью? Во вторых (для любителей эстетики). Разлагаем подынтегральное выражение в степенной ряд по формулам Коши, интегрируем его (это делается элементарно), в результате имеем точную формулу длины полуэллипса или четверть-эллипса в виде бесконечного ряда. Удерживаем столько его членов, сколько нам надо.

А в Вашем методе функцию безразмерных параметров орбиты лучше обозвать чем-то иным. "Пи" уже "зарезервированное слово", как в программировании. Кстати, если при выводе "функции безразмерных параметров" обойдетесь без интегралов, бесконечных рядов и высших трансцендентных функций, и получите точную формулу, то это будет математическое открытие.

[AstroNick]

Погрешность в 85 метров - это, конечно, круто  Она соответствует ошибке в длине большой полуоси земной орбиты примерно 30 метров (каюсь, по старой, неточной формуле считал  ). А если учесть, что величина астрономической единицы известна с точностью до 100 метров (во всяком случае, не очень давно была известна - сейчас, наверно, точность повысилась), то какой практический смысл от такого уточнения? А для общего развития - да, конечно, полезно знать, что не просто устроен мир, в котором мы живём.

[Emil]

Многие из вас удивятся, узнав, что ни в Математическом словаре, ни в Математической энциклопедии нет формулы для длины эллипса, его окружности, там об этом даже не говорится.
....

Ещё больше народа удивится, если узнает, что эллипс практически никогда не встречается в реальной жизни. В технике, к примеру, принято изображать/изготовлять эллипс четырьмя дугами окружностей. В этом случае формула для длины эллипса и не нужна, и не верна.

[bochum]

А  я наоборот считал, что эллипс "на каждом шагу", где есть сечение трубы не перпендикулярное оси. А труб у нас хватает. 

[Михаил Никитин]

Насчет "реальной жизни" и техники Emil немного загнул. Любая чашка, блюдце, кастрюля, да любая окружность, если смотреть на нее не строго перпендикулярно ее плоскости, являют нам точный эллипс. Эллипс можно получить также, освещая  фонариком какую-либо плоскость. В любом учебнике по начертательной геометрии всегда есть несколько способов построения именно эллипса, а не только овала из четырех дуг окружности. Последний же получил такое распространение так как его легче всего чертить. Если есть изометрическое изображение детали с отверстиями, там этих эллипсов будут десятки, вот для удобства построения их и заменяют овалами. А вот например, в эллиптическом колесе, или, что ближе к данному форуму, эллиптическом зеркале телескопа Грегори, такая замена неуместна, там надо изготовить все, как положено. Насчет труб  bochum прав совершенно, еще интересный момент: если надо изготовить две трубы одного диаметра с последующим их соединением под углом из листа материала, то развертка эллипса - линии соединения на листе будет правильной синусоидой.

Теперь по поводу приближенных формул и Кеплера. В той ссылке были и точные формулы, и приближенные - на выбор. Приведу то, чего там не было.

Длина эллипса выражается следующей формулой
     l = 4*a*E(e,pi/2),                     (1)
где a - большая полуось, е - эксцентриситет, E - эллиптический интеграл второго рода, или, развернуто, см. рис. 1.
В виде бесконечного ряда по степеням эксцентриситета в замкнутом виде получается формула рис. 2.

Теперь посмотрим, сходится ли формула Кеплера к формуле рис 2. Считаем порядок малости эксцентриситета таким, что эксцентриситет в степени выше второй может быть приравнен нулю.

В итоге из формулы рис. 2 получим
    l = 2*pi*a*(1 - (1/4)*e^2)              (3)
По Кеплеру имеем
    l = 2*pi*sqrt(a*b)                      (4).
Преобразуем последнее выражение, учитывая, что b = a*sqrt(1 - e^2):
    l = 2*pi*a*(1 - e^2)^(1/4)              (5)
По принципу эквивалентности бесконечно малых, (1 + х)^a = 1 + ax.
В нашем случае, х = -e^2, a = 1/4. Применив принцип эквивалентности к (5), получим (3), то есть, при сделанном допущении о порядке малости эксцентриситета и точная формула и формула Кеплера упрощаются одинаково до выражения (3).

[Emil]

А  я наоборот считал, что эллипс "на каждом шагу", где есть сечение трубы не перпендикулярное оси. А труб у нас хватает. 

Вот-вот. Эллипс появляется естественным образом, когда есть круглое сечение. "Генерить" же его самостоятельно, прибегая к каким-то формулам, приходится крайне редко.

[geomath]

Длина эллипса выражается следующей формулой
     l = 4*a*E(e,pi/2),                     (1)
где a - большая полуось, е - эксцентриситет, E - эллиптический интеграл второго рода, или, развернуто, см. рис. 1.
В виде бесконечного ряда по степеням эксцентриситета в замкнутом виде получается формула рис. 2.

На том рисунке двоечка у синуса (в квадрате) куда-то запропастилась...

[geomath]

Кеплер понятия не имел об интеграле. А мы имеем. Зачем ради уточнения приближенной формулы менять константу всей математики, которая нужна не только для вычисления длины окружности, а и во многих других случаях? Не лучше ли взять справочник по высшей математике...

Формулу Кеплера я не призывал уточнять, ее и без меня уточнили. Просто я призвал переписать ее правильно, чтобы была видна зависимость пи от эксцентриситета. "Константа всей математики" при этом не меняется, она оказывается всего лишь вырожденным случаем ("круговым", е = 0) функции пи. И ваш эллиптический интеграл второго рода - тоже ее вырожденный случай ("эллиптический"), с точностью до множителя. Ну а в общем случае пи - это, как я и говорил, "функция от безразмерных параметров орбиты".

[geomath]

Пусть мы дали интервальную оценку массы некоторого объекта: 100-200 млн т. В качестве модели этой оценки возьмем эллипс с расстоянием между фокусами 100 млн т и большой осью 200 млн т. Спрашивается, чему в этой модели отвечает длина эллипса (тоже в млн т)?

[geomath]

Только не считайте, пожалуйста, что я придуриваюсь. Подскажите лучше, если рассматривать двойную звезду, то какие траектории выписывают ее составляющие с точки зрения друг друга и вокруг их общего центра масс? Если это эллипсы, то каковы их эксцентриситеты: они одинаковые или разные? и как это так получается?

[geomath]

Да, пишут, что получаются эллипсы и у всех четырех одинаковый эксцентриситет. Непонятно только, как это следует из законов Кеплера...

[Net]

Не знал, куда написать.

Как и обещал в https://astronomy.ru/forum/index.php/topic,17128.msg340148.html#msg340148, пишу программу для перегонки tle в ssc. Но споткнулся на том, что элементарно не знаю, как найти большую полуось орбиты. 
Уже имею 5 элементов орбиты и эпоху, ведь как-то можно посчитать и этот. Пожалуйста, ткните в какой-то учебник, а то уже и Кеплера сюда и иже с ним приволок. 

Спасибо! 

[Net]

Отбой. 

Считаю полуось орбиты спутника по 3-му закону Кеплера по Луне. Точность дает фору Орбитрону