Тензоры

[Mercury127]

Я понял, что тензор - не только и не столько матрица.

А как тогда в общем случае в математике называются гиперматрицы 2х3х4х5...? Просто массив?

[Geen]

А как тогда в общем случае в математике называются гиперматрицы

Никак - они никому не нужны.

[Talamh Sgeir]

Возможно некие навыки удастся восстановить быстрее, чем за полгода

по воспоминаниям заслуженных ветеранов, партизаны-маломощники на скачках вполне уверенно качали связь. так что руки точно вспомнят )

[Monstr]

А как тогда в общем случае в математике называются гиперматрицы 2х3х4х5...? Просто массив?

N-мерные матрицы

[ziggyStardust]

И три числа в столбик не вектор...

Почему? Вот записал я три числа. Дабы показать их независимость(друг относительно друга) соотнес их трем координатным осям. Да - это точка. Уж с этим спорить не станете? Получил еще тройку чисел. Еще одна точка. Как найти расстояние между этими точками? А между векторами? Т.е. точкой три произвольно взятые числа быть могут, но условно сопоставить ей вектор с началом в (0, 0, 0) мы не в силах?
А вот получаем ряд независимых чисел. Это не N-мерный вектор? Получаем второй ряд. Опять не? Находим корреляцию. Нормируем. Что это за величина если не косинус угла между N-мерными векторами? Правомерны ли мы искать "параллельность" замеров температуры в Гренландии и стоимость акций "Пупкин и Ко" на нюроркской фондовой бирже - вопрос отдельный.

[zam2]

Как найти расстояние между этими точками? А между векторами?

А никак. Ровно до того момента, когда вы определите метрику пространства. То есть мало быть набором трёх чисел. Нужно быть элементом векторного пространства. Причём одного и того же. Или попробуйте найти расстояние между точками в пространстве скоростей и в пространстве ускорений.

[РВС]

Нас в свое время учили так: матрица (в частности вектор в линейно-алгебраическом смысле, т.е. упорядоченная последовательность чисел, можно ввести и матрицу размерностью 1х1, но такие никому не нужны) - это некоторое обобщение просто числа. Тензор, в т.ч. тензор первого порядка, т.е. вектор в смысле тензорного/векторного исчисления, или нулевого порядка, т.е. скаляр - это элементы метрического пространства, в котором определено понятие расстояния между точками.

[Geen]

Вас плохо учили... Т.е. для некоторых простых случаев может быть и пойдёт, но всё-равно плохо.
Ни вектора, ни тензоры, ни скаляры не есть числа или их какие-то "упорядоченные конструкции". И к метрике и к расстояниям они не имеют ни малейшего отношения.

[ulitkanasklone]

нет, меня больше интересовали тензоры как матем. объект, доэйнштейновской эпохи. вне контекста ОТО.

Его в учебниках для упрощения вводят в 3-х мерном евклидовом пространстве. Это объект с индексами, над которым можно производить различные операции, - сложение, , перемножение, умножение на число.., которые известны для обычных скаляров. Но есть и специфические операции - подстановка индексов, свертка, поднятие и опускание индексов . Вводят понятие нулевой и единичный объект-матрицу. А если ввести понятие тензорного поля, то можно и дифференцировать тензор. Удобнее записывать, чем матрицу.

[Mercury127]

я понял, понял
если бы не понял, спрашивал бы дальше.
еще вопрос - в маткаде они есть? имею в виду втч "специфические" операции с ними.

[ulitkanasklone]

еще вопрос - в маткаде они есть? имею в виду втч "специфические" операции с ними.

Про маткад не знаю. Но обычно все сводится к матрицам 2 ранга. Нахождение детерминанта, инвертирование..
В maxima там есть уже готовые пакеты для вычислений компонент тензора 4 ранга риманова пространства для ОТО.
Кстати символы Кристоффеля не являются тензорами, хотя имеют 3 индекса. Есть еще некие свойства, которые должны удовлетворяться.

[ziggyStardust]

Ни вектора, ни тензоры, ни скаляры не есть числа или их какие-то "упорядоченные конструкции".

Ну же, не томите малограмных, дайте нам свое исчерпывающее объяснение. И заодно росчерком пера парой фраз закройте дюжину-другую направлений прикладной математики...

[РВС]

Ни вектора, ни тензоры, ни скаляры не есть числа или их какие-то "упорядоченные конструкции".

Э-э-э... так я же и сказал, что даже матрицы (в том числе матрицы из одного столбца или одной строки - т.е. векторы в линейно-алгебраическом смысле) не являются "числами просто", но их можно рассматривать как некоторое обобщение "чисел просто", сами по себе они не имеют никакого физического смысла. Однако с ними бывает можно производить некоторые операции, имеющие аналоги среди операций с числами - сложение/вычитание, перемножение, умножение на число, возведение в степень, в том числе отрицательную...

И к метрике и к расстояниям они не имеют ни малейшего отношения.

Хм, а вот тут я просто не знаю. Что, существуют тензоры в пространстве, в котором не определена метрика? Никогда с таким, по моему, не встречался.
Мне до сих пор представлялось, что тензоры - некоторые объекты, характеризуемые наличием инвариантных свойств и существующие в определенном линейном пространстве, которое все-же должно быть метрическим (?). Так, пример скаляра - тензора нулевого ранга - температура или плотность, имеет величину, и все. Вектор - тензор первого ранга - имеет длину и направление. Тензоры более высоких рангов наглядно представить затруднительно, но суть та же, можно их строить путем "прямого произведения" векторов, если правильно помню.
Ну а из этого уже вытекают свойства представления тензора в виде разложения на компоненты по некоторому базису и правила преобразования этих компонент при преобразовании базиса.

В квантовой механике при описании спина появляются векторы и матрицы (представления операторов), которые линейно-алгебраические объекты, но не тензоры. Однако простите, квАнтами я со времен университета не пользовался, здесь чувствую себя еще менее уверенно.

Да, а еще бывают векторы "в программистском стиле", напр. "вектор состояния" космического аппарата, это могут, скажем, быть координаты, скорости, углы ориентации, и угловые скорости. Такой вектор - все-же именно упорядоченная последовательность чисел, но применять к нему как целому любые математические операции едва ли возможно.

[zam2]

Ну же, не томите малограмных, дайте нам свое исчерпывающее объяснение. И заодно росчерком пера парой фраз закройте дюжину-другую направлений прикладной математики...

А давайте я попробую. Только не своё, зато исчерпывающее, заодно никаких направлений не закрывающее. Физическая энциклопедия: http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4009.html

[ulitkanasklone]

Что, существуют тензоры в пространстве, в котором не определена метрика? Никогда с таким, по моему, не встречался.

Вводится такое понятие как многообразие, достаточно абстрактное. Где вводится система координат. В каждой точке вводится тензор, при этой никакой  метрики еще не существует. Все операции с тензорами проводятся только в одной точке, поскольку тензоры в разных точках многообразия совершенно разные объекты.
Лучше почитать не в femto с плохим сканом, а у Рашевского стр 364, пар 81. "Риманова геометрия и тензорный анализ".

И далее в пар. 85.
"Чтобы превратить многообразие в риманово пространство, нужно ввести в него метрику".

[ziggyStardust]

Только не своё, зато исчерпывающее...

Йа нашел тоже не свое, но понятное... такой вариант.

...заодно никаких направлений не закрывающее...

Неее... Так не интересно. Я тоже могу такие найти. Но вот товарищ с видом зазнайки всезнайки заинтриговал и убежал...

[zam2]

Йа нашел тоже не свое, но понятное... такой вариант.

Лучше никакого объяснения, чем такое. Полное враньё. Автор пишет про матрицу линейного преобразования и называет её тензором. Нехорошо.
У меня соавтор по нескольким публикациям там, в Белоруссии, заведующим кафедрой работает. Вот я ему напишу. Что за ахинею на их сайте публикуют?

[Geen]

Все операции с тензорами проводятся только в одной точке

Можно и в разных, если ввести аффинную связность (те самые "символы Кристофеля").

[ulitkanasklone]

Можно и в разных, если ввести аффинную связность (те самые "символы Кристофеля").

Это уже будет  пространство аффинной связности.
Я же говорил про многообразие \( M \), которое вводится как абстрактное понятие дифференциальной геометрии.
Если в двух точках \( M_1 \) и \( M_2 \)  ввести 2 тензора \( a_{ij}(M_1) \) и \( b_{ij}(M_2) \) , то в некоторой координатной системе может быть , что все компоненты совпадают \( a_{ij}(M_1) \)=\( b_{ij}(M_2) \)

Но , если перейти по тензорному закону в другую координатную систему, то компоненты тензора могут не совпадать и поэтому \( a \) и \( b \) два разных объекта, которые нельзя даже складывать.

Впрочем , что вы имели в виду , возражая оппоненту, я сам не понял.

[Diary of Dreams]

Йа нашел тоже не свое, но понятное... такой вариант.

Лучше никакого объяснения, чем такое. Полное враньё. Автор пишет про матрицу линейного преобразования и называет её тензором. Нехорошо.
У меня соавтор по нескольким публикациям там, в Белоруссии, заведующим кафедрой работает. Вот я ему напишу. Что за ахинею на их сайте публикуют?

Зачем же так? Там ни такая уж и ахинея.
Там описаны  векторы (бутерброды) ,  линейный оператор (микроволновка), матрица перехода (от цельсия  грамм к фаренгейтам  унциям)
Векторы, ковекторы, линейные операторы, билинейные формы это всё тензоры — геометрические объекты которые можно представить в числовой форме, после того как выбран базис. Любой тензор типа (r,s)  или валентности (r,s) можно представить (r+s)  мерным массивом чисел, удовлетоворяющих некоторым   правилам преобразования при смене базиса. Вот эти некоторые правила преобразования и определяют  -  данный объект тензорный или нет. В той статье этого главного как бы и нет, она как бы не дописана, не доделана.