Прецессия полюса эклиптики.

[Skipper_NORTON]

А что насчёт границ применимости указанного приближения?

 
Про границы применимости, не нашел, но полагаю, от -8000 года, до +12000, большой погрешности не подразумевалось.

Кто и как рассчитывал, когда рисовал эту картинку, я нигде не могу найти, но если она верна,
и небесный полюс действительно так отклоняется, т.е. не описывает замкнутую окружность, тогда расчеты Ньюкома не верны,
его формула в книге Абалакина - тоже неверна, и диапазон угла наклона, может быть более чем 2,6 градусов (т.е. до 5,2 градусов).
 
В самом деле, 1) видим что полюс эклиптики описывает круги с угловой скоростью, отличной от скорости небесного полюса по своей
окружности, значит он может находиться в разных угловых фазах  по отношению к небесному полюсу,
находящемуся на своей окружности,
 
2) диаметр кружка (красным цветом), по которому движется полюс эклиптики, равен  2,6 градусов,
значит если небесный полюс движется по замкнутой окружности, уже это приведет к колебаниям угла в 2,6 градусов и
никакого дополнительного отклонения небесного полюса для этого не нужно. 
 
3) все дополнительные отклонения небесного полюса могут только увеличить диапазон колебаний этого угла, и максимум - удвоить его,
т.е. до 5,2 градусов  (от 20,7  до  25,9). 
 
Вот я и пытаюсь  выяснить,  что же неверно ?
 
1) эта картинка из многих учебников (должна быть замкнутая окружность по которой движется небесный полюс),
 
2) или неверна (или имеет слишком малые границы применения) формула Ньюкома, из книги Абалакина, и угол колеблется в диапазоне 5,2 градуса  .
(и подобные этим моим, результаты, я тоже встречал когда то, в какой то литературе). 
   
Есть кто нибудь, хорошо знающий эту математическую теорию, кто может помочь?
 

[xd]

Про границы применимости, не нашел, но полагаю, от -8000 года, до +12000, большой погрешности не подразумевалось.

На основе каких источников данное предположение сделано?
Совершенно очевидно, что это разложение некоторой сложной функции в ряд Тейлора при заданных начальных условиях (постоянный член в момент T₀). Мы знаем, что он сходится лишь в том случае, если последующие члены меньше значимых. Поскольку про отброшенные члены мы ничего не знаем, то можем применить это утверждение на членах второго и третьего порядка малости.
Для закона вида X = x0 + x1 T + x2 T² + x3 T³ параметр T должен быть намного меньше минимального из следующих параметров: x1/x2, x2/x3, \(\sqrt{x1/x3}\).
Из ряда 7940, 3.26, 160 выбираем наименьший.
Откуда делаем вывод, что на временах, больших чем 3.26 столетия от начала отсчёта, кубический член превзойдёт квадратичный.

[Skipper_NORTON]

Из ряда 7940, 3.26, 160 выбираем наименьший.
Откуда делаем вывод, что на временах, больших чем 3.26 столетия от начала отсчёта, кубический член превзойдёт квадратичный.

   
Спасибо, интересный факт замечен.
 
Но  здесь первый член настолько значимый, что возможно, особой роли не играет тот факт, что 3-й слен превосходит 2-й, и на
больших промежутках времени, чем 3 столетия.

[Skipper_NORTON]

Существует также картинка, с гораздо мЕньшим, отклонением движения небесного полюса,
к примеру  - 

http://www.astrokot.kiev.ua/slovar/p/precessiya.htm

Вот такая (1-я картинка). 
Я уже понял, почему этих отклонений и вовсе не может быть, полюс мира должен двигаться по замкнутой окружности
(примерно как у меня на 2-й картинке),
(если отклонение и будет, то совсем уж малозаметное, и никак не в пару градусов! и имеющее совсем другие причины).  Об этом напишу позже. 
 

[xd]

А с чего бы траектории быть замкнутой? Если периоды прецессии двух осей несоизмеримы, то траектория не будет замкнутой.

[Skipper_NORTON]

А с чего бы траектории быть замкнутой? Если периоды прецессии двух осей несоизмеримы, то траектория не будет замкнутой.

 
Если траектория не будет замкнутой (по крайней мере, будет различаться на пару градусов, как показано на тех картинках), то это приведет
к увеличению диапазона колебаний земной оси,
до 5,2 градусов, хотя полюс эклиптики, как в среднем считаем, имеет диаметр окружности вращения только до 2,6 градусов.
Почему так получается, я выше довольно подробно расписал. Вот, вкратце,
 

(диаметр кружка (красным цветом), по которому движется полюс эклиптики равен  2,6 градусов,
значит если небесный полюс движется по замкнутой окружности, уже это приведет к колебаниям угла в 2,6 градусов и
никакого дополнительного отклонения небесного полюса для этого не нужно.
...все дополнительные отклонения небесного полюса могут только увеличить диапазон колебаний этого угла, и максимум - удвоить его,
т.е. до 5,2 градусов  (от 20,7  до  25,9).)

Далее, факты такие.
если бы 1) полюс эклиптики двигался бы настолько медленно, что давал бы полный оборот, скажем, 
за очень много, к примеру  100 полных 26000-летних оборотов небесного полюса, а тот в свою очередь вращался бы
не вокруг средней точки, а вокруг полюса эклиптики, тогда, понятное дело, не было бы единой окружности, по которому вращался
бы небесный полюс.
Но в случае примерно сравнимых периодов, попытка вращаться вокруг некой движущейся точки приводит к тому, что вращение то
реально происходит вокруг некой средней неподвижной точки, которая и близка к центру окружности, вокруг которой движется полюс эклиптики.
Но это всего лишь догадки, пока еще ничего не доказывающие.
 
2) А вот более точные расчеты показывают - угол наклона уменьшается на 47 секунд за столетие.
Что там будет через много тысячелетий, могут и ошибаться, но то, что прямо сейчас,  угол наклона уменьшается на 47 секунд
за столетие - это я думаю, уже точно рассчитано, и это можно принять как достоверный факт.
 
Далее видим, "Полюс эклиптики П движется со скоростью 0",47 в год "
 Первая картинка приведенная ниже, отсюда.

http://geoman.ru/books/item/f00/s00/z0000101/st007.shtml
 

 
Вторая картинка -  моя, в условном, увеличенном для понимания, масштабе.
Рассмотрим всё в динамической, изменяющейся с учетом прецессии, системе координат.   
(т.е. не на фоне звезд - там полюс эклиптики будет описывать круги существенно быстрее). 
 
В любой момент времени, (пусть хоть небесный полюс будет около звезды Веги),  будем считать в этих координатах,
и располагать картинку так, что небесный полюс - строго справа от средней точки, вокруг которой вращается полюс эклиптики
(полагаем, по кругу, с диаметром около 2,6 градусов).
 
Вот, в этой системе координат, полюс эклиптики, и приближается к небесному, со скоростью 47 секунд за столетие.
 
Ну а теперь посчитаем -
 
47 секунд за 100 лет.
47 минут за 6000 лет.
1 градус - будет пройден за 7660  лет.
5.35 градуса - будет пройден за 41000  лет (полный цикл прецессии полюса эклиптики в динамических координатах).
 
Если бы угол наклона колебался в пределах 5,2 градусов, тогда диаметр красного круга, на 2-й картинке 5,2 градусов -
и для того чтобы ему пройти полный круг, нужно было пройти, 5,2 * 3,14 = более 16   градусов,   
на что потребовалось бы более 125 тысяч лет.   (16 умножим на 7660  )
Вместе с тем известно, что угол наклона совершает цикл всего лишь за промежуток времени, около 41000 лет (ну, или какой то
сравнимый с ним, но никак не в три раза бОльший!) 
 
Отсюда следует окончательный вердикт - та картинка, со звездами, и движением полюса, неверна. 
полюс мира должен двигаться по практически, замкнутой окружности (по крайней мере, разницы в градусы там быть не должно точно).
 
Впрочем, существует множество картинок, на которых движение небесного полюса, по замкнутой окружности и показано, вот они верны.
 

[Skipper_NORTON]

Т.е. резюмируя результаты, получаем: 
 
1) Небесный полюс в результате обычной прецессии, движется по окружности,
и полюс эклиптики, в результате вращения эклиптики, тоже движется по окружности, только маленькой
а центры этих обоих окружностей практически совпадают, и находятся в одной точке (назовем ее "средней точкой"), 
потому что периоды соизмеримы. 
 
2) из-за того, что орбита Земли наклонена к орбите Юпитера, под углом 1,3 градуса, диаметр окружности, по которому прецессирует
полюс эклиптики Земли, близок к  2,6  градусов (и может  отклоняться в ту или другую сторону, из-за других планет, но совсем незначительно
т.к. возмущающее действие других планет намного меньше, чем от Юпитера).
 
3) угол между полюсом небесным и полюсом эклиптики колеблется между 22,0  и 24,6 градусов. 
 
4) на картинке должна быть практически замкнутая траектория небесного полюса, и никаких пару градусов отклонений здесь быть не может. 
 
Вот, в астрономических книгах по теории, все эти понятия, было бы неплохо уточнить. 
 

[xd]

Не приведёт.
Есть такая игрушка, как спирограф: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84_(%D0%B8%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%88%D0%BA%D0%B0)
Если количество зубьев соотносится как большие целые числа, то кривая на первых порах будет казаться незамкнутой, но она будет лежать целиком в определённой области плоскости. Если соотношение радиусов (что эквивалентно периодам обращения) не будет рациональным числом, то кривая перестаёт быть замкнутой, но всё же останется в одной области пространства, постепенно заметая всю область. Здесь ситуация полностью аналогичная: на каждом следующем обороте траектория будет отличаться, но нет никаких причин считать, что она выйдет за пределы некоторой ограниченной области.

[Skipper_NORTON]

Не приведёт.
Есть такая игрушка, как спирограф

 
Deimos, я вот что имею в виду.
На 1-й моей картинке приведенной ниже,

1) пусть полюс эклиптики находится в точке A, и он неподвижен (допустим отсутствует прецессия эклиптики).
Тогда, пусть небесный полюс описывает вокруг него окружность, и проходит за какое то время, по траектории CE  (из точки C в точку E).
 
2) а теперь рассмотрим 2-й случай - сам полюс эклиптики движется по окружности, и пусть за это время успевает удалиться от
небесного полюса на расстояние дельта - равное AB.  (приходит в точку B).
 
Как в этом, втором случае, будет двигаться небесный полюс?   
 
1-й вариант - по траектории CD  , сохраняя неизменное угловое расстояние  (как бы, полюс эклиптики "увлекает" за собой небесный полюс)  ? 
Это явно неверно, потому что в таком случае угол наклона земной оси (а это угол между полюсом эклиптики и небесным полюсом) -
будет неизвенным, и всегда 23,5 градуса.  Но известно тем не менее, что он уменьшается, и то что в пределах не менее чем на 2,6 градусов -
точно (от 22,0 до 24,6 градусов, или  более). 
 
Остаются два варианта - либо небесный полюс будет двигаться по траектории CE, либо по траектории CF,  даже наоборот, удаляясь от
полюса эклиптики.
 
Это удаление можно понять - ведь полюс эклиптики сместился, удалился на расстояние дельта, тем самым заставив двигаться небесный полюс
по бОльшему радиусу.  И когда наоборот, он приближается к небесному полюсу - то небесный полюс, будет двигаться ему навстречу.
 
Именно поэтому, видимо, зная что минимальный угол будет в +12000 году, а максимальный был в -8000 году, и полагая что небесный
полюс движется именно вокруг полюса эклиптики - и нарисовали эту картинку (2-я приведенная ниже),  что
пути в районе -8000 и +18000 года расходятся.
 
Но я полагаю, что это неверно, т.к. в таком случае диапазон изменения угла был бы в 2 раза бОльшим, т.е. если диаметр круга
на котором лежат точки A и B, 2,6 градусов + получим такое же отклонение небесного полюса 
(когда он лежит в противофазе в точке -8000, и в соединении,  точка +12000 лет).
 
Так как все пишут что возможный диапазон изменений угла,  не 5,2 градусов,   а 2,6 градуса  (от 22,0 до 24,6),
то на моей 1-й картинке, небесный полюс будет двигаться по средней траектории, близкой к CE,
точнее - вокруг общей точки O, вокруг которой обращаются оба полюса. 
А значит, и траектория на 2-й картинке должна быть замкнутой.    Впрочем, в литературе про прецесси, встречал и
такие тоже, т.е. замкнутые траектории.
 

[Skipper_NORTON]

Вот, три картинки, из  книг по астрономии, откуда они и появились в интернете. 
В 1-й - траектория небесного полюса, размыкается, причем больше всего.
Во 2-й - траектория небесного полюса, тоже размыкается,  но уже намного меньше.
В 3-й - траектория в результате прецессии  замкнута.
 
По крайней мере, 2 из этих картинок - неверны. Какие?
 
Мое исследование выше показывает, что если угол наклона оси действительно изменяется в пределах 2,6 градусов, от 22,0 до 24,6, 
то верна - именно 3-я картинка - траектория замкнута. Потому что тогда, эти 2,6 градусов обеспечиваются только окружностью,
по которой движется полюс эклиптики, и никаких дополнительных смещений небесного полюса быть не должно. 
К тому же, кажется логичным, что полюс небесный движется не вокруг полюса эклиптики, а движется вокруг некой средней точки,
потому что если есть доп. массы, (Юпитер и прочие), которые заставляют прецессировать эклиптику, то они же могут заставлять
прецессировать дополнительно, и ось.
 
Надеюсь, в будущем, если кто будет писать теоретическую книгу (типа Абалакина, "Основы эфемеридной астрономии"), 
то напишут об этом, более подробно  - КАК ЖЕ В САМОМ деле, движется полюс эклиптики? 
 
А то нарисовали как ниже на 1-й картинке - размыкается траектория, а почему размыкается - об этом ни слова. 
А я неделю ломаю голову, почему так получается, и что этого возможно, нет в действительности. 
 

[electric]

К сожалению, русскоязычных первоисточников найти не получается, а статья Axial tilt в английской википедии ссылается на статью "Obliquity and precession for the last 5 000 000 years" 1976 года, в которой на с.133 есть фраза:

Simultaneously, the inclination of the Earth's equator on the moving ecliptic has varied between 22°2'33" (22°13'44") and 24°30'16" (24°20'50") with a mean period of 41000 (41040) years, combination between the precessional motion and the period characteristic of the large term in the motion of the ecliptic. The precessional motion has a very steady mean period of 25700 (25700) years and the inclination of the Earth's equator on the fixed mean ecliptic of 1850.0 varies from 18°16'44" (18°59'44") to 28°26'23" (27°38'23").

[AAV]

А то нарисовали как ниже на 1-й картинке - размыкается траектория, а почему размыкается - об этом ни слова. 
А я неделю ломаю голову, почему так получается, и что этого возможно, нет в действительности. 
 

Рисунки приблизительные.
Круг совершит относительно созвездий.
Все останется неподвижно за 26000 лет?

[Skipper_NORTON]

Все останется неподвижно за 26000 лет?

 
В таких вычисления предлагаю считать, что да, неподвижны.  Так проще гораздо. 
А уже потом, когда выяснится картина, что будет если неподвижны - вот только потом, на это движение, можно будет наложить
и собстенное движение звезд. 
 

[Dem]

Т.е. резюмируя результаты, получаем:
 
1) Небесный полюс в результате обычной прецессии, движется по окружности,
и полюс эклиптики, в результате вращения эклиптики, тоже движется по окружности, только маленькой
а центры этих обоих окружностей практически совпадают, и находятся в одной точке (назовем ее "средней точкой"),
потому что периоды соизмеримы. 

Представь, что по большой окружности с радиусом 23 градуса и периодом 26000 лет движется маленькая, радиусом 1.3 градуса - а по ней с периодом 40000 лет движется полюс.

[Skipper_NORTON]

Представь, что по большой окружности с радиусом 23 градуса и периодом 26000 лет движется маленькая, радиусом 1.3 градуса -
а по ней с периодом 40000 лет движется полюс.

 
Я уже приводил многие аргументы, почему это не так.  Читайте выше, внимательно.   
Вкратце, если это так, то  противоречит формулам Ньюкома, (приведены в книге Абалакина), 
и более точным формулам, которые можно найти  по ссылкам, которые привел electric.
 
К ним как-то больше доверия, чем к какой то, непонятно кем нарисованной картинке,  с размыкающимся путем
северного небесного полюса (аж на..  ~3 градуса).  Если бы в книге, где приводили эту картинку, были бы еще какие нибудь
пояснения по этому поводу, тогда другое дело..
   

[Skipper_NORTON]

Кажется, начинаю до конца понимать, и  почему такой диапазон  угла наклона.. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Axial_tilt#/media/File:Obliquity_of_the_ecliptic_laskar.PNG
 
Для подтверждения,  нужно узнать,  нынешнюю  точку северного "полюса эклиптики Венеры". 
Точнее, северную  точку, куда направлен  перпендикуляр к плоскости ее орбиты. 
Пишут, что угол с плоскостью орбиты Земли, вроде как,  около 3 градусов, а куда отклонение в эти 3 градуса направлено? 
 
Может, кто нибудь знает?
 

[I.A.R.]

...Для подтверждения,  нужно узнать,  нынешнюю  точку северного "полюса эклиптики Венеры". 
Точнее, северную  точку, куда направлен  перпендикуляр к плоскости ее орбиты. 
Пишут, что угол с плоскостью орбиты Земли, вроде как,  около 3 градусов, а куда отклонение в эти 3 градуса направлено? 
 
Может, кто нибудь знает?

Чтобы разобраться, придется вникать в элементы орбит планет. Читаем:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Кеплеровы_элементы_орбиты
http://lnfm1.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm

[Skipper_NORTON]

Я выше приводил вычисления,
 

в этой системе координат, полюс эклиптики, и приближается к небесному, со скоростью 47 секунд за столетие.
Ну а теперь посчитаем -
 
47 секунд за 100 лет.
47 минут за 6000 лет.
1 градус - будет пройден за 7660  лет.
5.35 градуса - будет пройден за 41000  лет (полный цикл прецессии полюса эклиптики в динамических координатах).
 
Если бы угол наклона колебался в пределах 5,2 градусов, тогда диаметр красного круга, на 2-й картинке 5,2 градусов -
и для того чтобы ему пройти полный круг, нужно было пройти, 5,2 * 3,14 = более 16   градусов,   
на что потребовалось бы более 125 тысяч лет.   (16 умножим на 7660  )
Вместе с тем известно, что угол наклона совершает цикл всего лишь за промежуток времени, около 41000 лет

 
Отсюда следует, что если за 125 тысяч лет, полюс эклиптики Земли успел бы описать круг с диаметром 5,2 градусов, то
за 41000 лет, он успеет описать круг с диаметром  5.2 * (41/125) = 1.7 градусов.
 
По ссылке,
https://en.wikipedia.org/wiki/Axial_tilt#/media/File:Obliquity_of_the_ecliptic_laskar.PNG
видим (ниже, картинка 1), что такой диапазон угла и есть, т.е. от 24,2 до 22,5 градусов.
 
Анализ показывает также, что если в абсолютных координатах, полюс эклиптики описывает такую окружность, то и в
относительных координатах (с учетом прецессии), он будет описывать такую же окружность, с диаметром в 1,7 градусов.
 
Вместе с тем известно, что угол между орбитами Земли и Юпитера, равен 1,3 градусов, значит если бы кроме Юпитера и Земли,
в СС не было бы других планет, то диапазон изменения угла, был бы 2,6 градусов.
 
Эта разница (2,6 - 1,7) = 0,9 градусов может быть только по причине, что орбита Юпитера тоже прецессирует, и пока полюс эклиптики
Земли опишет пол-оборота с диаметром 1,7 градусов, в свою очередь, и полюс эклиптики Юпитера ТОЖЕ опишет пол-оборота,
с диаметром в 0,9  градусов. А обеспечить такую прецессию, может только Сатурн (массы других планет слишком малы,
они не могли бы заставить орбиту Юпитера прецессировать даже на жалкие 0,1 градуса).
Ну и разница, между плоскостями орбит Юпитера и Сатурна тоже имеется, как видно по таблицам, что может обеспечить прецессию
орбиты Юпитера.
 
Куда направлен северный полюс юпитерианской эклиптики?
(Точнее, северную  точку, куда направлен  перпендикуляр к плоскости орбиты Юпитера). По ссылке,
http://lnfm1.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm
видим, что угол между плоскостями орбит Земли и Юпитера, равен 1,3 градуса, а в какую сторону,
эти 1,3 градуса, ничего в интернете невозможно найти.  (какие то сакральные знания.. которые недоступны в интернете).

Потому я решил, пользуясь Стеллариумом (надеюсь, там то это учитывается!), сам это определить.
Если установливать разные даты, искать Юпитер, и смотреть его Эклиптическую широту, то видим, что максимальная
она (примерно +1,3 градуса) примерно в то время, когда Юпитер находится в созвездии Девы, с настоящим прямым восхождением,
ок. 13 ч.
Это означает, что северный полюс эклиптики Юпитера, направлен в направлении прямого восхождения, примерно 1 ч,
т.е. туда куда и движется небесный полюс Земли в результате обычной прецессии. 
 
Оно и логично - именно вокруг примерно этой точки, вращается полюс эклиптики Земли. См. картинка 2.
Здесь, красный кружок - диаметром в 1,7 градусов, по которому вокруг центра O прецессирует  полюс эклиптики Земли,
в нынешнее время находится в точке A,  и движется против часой стрелки, а расстояние AB = 2,6 градусов,
а точка B - это полюс эклиптики Юпитера.
 

[AAV]

http://www.astronet.ru/db/msg/1195760

[Skipper_NORTON]

полюс эклиптики Юпитера ТОЖЕ опишет пол-оборота,
с диаметром в 0,9  градусов. А обеспечить такую прецессию, может только Сатурн (массы других планет слишком малы,
они не могли бы заставить орбиту Юпитера прецессировать даже на жалкие 0,1 градуса).

 
Здесь, анализ показывает, что общая скорость прецессии орбит должно быть, прямо пропорциональна произведению масс двух планет,
и обратно пропорциональна квадрату среднего расстояния между ними.   В этом случае, Юпитер с Сатурном могут даже быстрее 
прецессировать (у них произведение масс больше),  чем Юпитер с Землей.   
В случае двух планет, к примеру, Юпитера и Земли, массы различаются в 318 раз, значит, если угол прецессии орбиты Земли
достигает 2,6 градусов, то у Юпитера - в 318 раз меньше  (хотя и с тем же периодом!), т.е. не составит и жалкие 0,1 градуса.
Юпитер с Сатурном имеют намного меньшую разницу масс, потому Сатурн вполне способен вызвать прецессию орбиты Юпитера,
до 0,9 градусов, или даже больше.
 
Интересно также, посчитать общее "количественное" гравитационное возмущение, на орбиту Земли, оказываемое другими планетами.
 
Тут я для себя открыл, новое практическое применение среднего степени - так сказать, среднее "обратно-квадратическое", или
среднее степени -2.  (Ранее, практического применения такого среднего, нигде не видел.) 
 
Общая формула среднего степени N  такая -  \[\sqrt[N]{ \frac{ {A_{1}}^{N} + {A_{2}}^{N} + ... + {A_{m}}^{N} }{m} }\],
а чтобы посчитать среднее геометрическое (т.е. среднее степени 0, нужно найти общее произведение всех членов и посчитать корень m-й степени от
этого произведения).
Чем меньше N у среднего степени N, тем меньше само среднее.

К примеру, в случае, 2-х значений (если m=2), допустим, для   чисел 1  и 100,
------------->

Среднее степени 5, будет равно, корень 5-й степени, из (1^(5) + 100^(5) ) / 2 == ~87.05
 
Среднее степени 3, оно же, среднее кубическое,  будет равно == ~ 79.37.
 
Среднее степени 2, оно же, среднее квадратическое,  будет равно == ~ 70.71.
(Что оно означает?  Если есть два квадрата, один - с ребром 1, а второй квадрат, с ребром 100, они занимают какую то общую площадь.
Какой средней величины (длина ребра), должны быть одинаковых два квадрата, чтобы заняли ту же площадь?  Ответ = 70.71.
 
Среднее степени 1, оно же, среднее арифметическое,  будет равно == 50.5.
(означает - если есть два отрезка, один длиной в 1, второй длиной в 100, то какой длины должны быть два одинаковых отрезка, которые
имели бы ту же суммарную длину).
 
Среднее степени 0, оно же, среднее геометрическое,  будет равно == 10.
(применимо к примеру в следующей задаче. Есть лотерея, с выигрышными билетами, минимальный выигрыш может быть в 1 доллар,
а максимальный в 100 долларов. Какой средний выигрыш? Ответ - 10 долларов, т.к. обычно принцип лотерей такой - чем больше
выигрыш, тем реже такие билеты встречаются).

Среднее степени -1, оно же, среднее гармоническое,  будет равно == ~1.98.
(применимо к примеру в следующей задаче. Человек двигался из города A в город B  на машине со скоростью 100 км\ч,
а назад - из города B в город  A шел пешком со скоростью  1 км\ч.  С какой средней скоростью  двигался человек? 
Ответ - менее 2 км\ч).
 
А теперь попробуем посчитать среднее количественное (возмущающее) влияние другой планеты, к примеру, Венеры, на орбиту Земли.
Среднее арифметическое расстояний здесь никак не годится, оно равно 150 млн км (минимум 150-108, а максимум 150+108).
С Меркурием среднее арифметическое будет тоже 150 млн км. (минимум 150-58, а максимум 150+58).
 
Но чем ближе подходит планета, тем сильнее она влияет, поэтому минимумы как бы, более важны, и имеют бОльший вес.
Т.к. гравитационное влияние зависит от расстояния, по формуле m1 * m2 / r^2,
и массы мы можем считать константными (пусть, равны 1), то сумма этих гравитационных возмущений будет равна сумме ряда,
со средним расстоянием, которое у нас в знаменателе, к тому же и в квадрате.  Считая, что на всех расстояних Венера находится
примерно одинаковую часть времени, приходим к выводу, что для степени возмущений, нужно считать среднее степени -2.
 
Среднее степени -2, оно же, среднее обратно-квадратическое, 
для тех же, чисел 1, и 100, будет равно == ~1.41.
 
---------------

Среднее обратно-квадратическое расстояние между Землей и Меркурием, это среднее от 92, и 208, и равно = 118 млн км.
Среднее обратно-квадратическое расстояние между Землей и Венерой,  это среднее от 42, и 258, и равно = 58 млн км.
(т.е. Венера оказывает суммарное возмущающее действие на орбиту Земли, как если бы она находилась все время на этом расстоянии).
 
Среднее обратно-квадратическое расстояние между Землей и Марсом, это среднее от 78, и 378, и равно =  108 млн км.
Среднее обратно-квадратическое расстояние между Землей и Юпитером, это среднее от 628, и 928, и равно = 735 млн км.
Среднее обратно-квадратическое расстояние между Землей и Сатурном,  это среднее от 1278, и 1578, и равно = 1404 млн км. .

Если бы массы всех планет были бы одинаковы, то только из-за расстояний, Венера оказывала бы самое сильное возмущающее действие
равное условной единице, тогда,
Меркурий, оказывал бы меньшее действие в (118/58)^2 = 4.13 раза,  Марс - меньше в 3.46 раз, Юпитер - 160 раз, Сатурн - в 585 раз.
 
Но нужно учесть еще массы планет. У Меркурия, масса равна 0.067 от массы Венеры,
у Марса - 0.131 массы Венеры, у Юпитера - 390 масс Венеры, у Сатурна - 116 масс Венеры.
 
Таким образом, общее возмущающее действие планет на орбиту Земли, если от Венеры принять за условную единицу,  будет -
 
от Меркурия = 0.01622 (1/61).
от Венеры = 1.
от Марса = 0.03786 (1/26),
от Юпитера =  2.43  
от Сатурна = 0.198  (1/5).
 
Только Юпитер оказывает бОльшее влияние чем Венера, причем в 2.43 раза, Сатурн - наоборот, меньше в 5 раз
(зато влияет на орбиту Юпитера, как я выше писал), а все остальные планеты - оказывают настолько ничтожное влияние,
что ими можно пренебречь в расчетах. 
 
Вывод 1-й выше  я сделал такой - угол прецесии эклиптики Земли равен 1,7 градусов, и не совпадает с 2,6 градусов, которые должны бы быть,
если бы кроме Юпитера, не было других планет - в основном - из-за влияния Сатурна на орбиту Юпитера.
 
2-й вывод - который можно сделать, из расчетов выше. Колебания угла наклона иногда достигают действительно 2,6 градусов, т.е.
от 21,9 до 24,5,  а в нынешнюю эпоху - он изменяется от  24,2  до 22,5 - только на 1,7 градусов -
и на эти изменения, могут быть следствием влияния Венеры, которая как раз, имеет влияние как раз в 2,5 раза меньшее чем Юпитер.

Если бы не было Венеры, тогда земной полюс эклиптики прецессировал бы вокруг некой средней точки, вокруг которой прецессируют
взаимно полюса экл. Юпитера и Сатурна, периоды прецессии всех трех планет практически сравнялись бы, и Сатурн, имея влияние
на орбиту Земли, в 12 раз меньшее, чем Юпитер,  не мог бы вызвать такие изменения колебаний. 
(т.е. в течении каждого 40-50-тысячелетнего оборота полюса эклиптики Земли, эти 1,7-1,8 градусов и сохранялись бы).
 
Вот вкратце, и вся теория, если попытаться ее наглядно и просто интерпретировать. 
А чтобы считать более глубоко - для этого нужно уже вдаваться в теорию дифференциальных уравнений.