Расчёт массы Солнца (из книги К.Торна "Чёрные дыры и складки времени")

[Предыч]

В своей книге автор (575.стр.) выводит и использует такую формулу для определения массы Солнца: М=С^3/(2*Pi*G*P^2), где С - длина орбиты любой планеты вокруг Солнца, G - гравитационная постоянная, P - период обращения вокруг Солнца.


Если использовать длину орбиты (584 000 000 миль/939 856 896 км) Земли и период обращения вокруг Солнца (365.2564 сут./ 31558153 сек), то результат (масса Солнца) 1.987E+30 (что довольно близко к 1.98892E+30).


Однако, если использовать данные для Марса - длина орбиты (888 000 000 миль/1 429 097 472 км) и период обращения вокруг Солнца (686.971 сут./ 59354294 сек), то результат 1.975E+30  - разница в 0.6% по отношению к предыдущему результату.


Если использовать данные для Меркурия, то разница около 3% по отношению к известной массе Солнца.


Приведенная формула  что-то не учитывает? Или входные данные не особо точные? Использовал калькулятор для вычисление с большой точностью. (Извините, я в математическо-теоретической части в данной области не очень )

[Klapaucius]

Вас не смущает "совпадение", строго 584000000 и 888000000 миль? Очевидно, что речь о 584 и 888 миллионах миль. И точность расчётов на основе этих чисел не будет выше чем в третьем порядке. То есть доли процентов, а иногда и единицы.
Сидерические периоды обращения вряд ли могли значительно повлиять на результаты, они известны с хорошей точностью. Например Википедия выдаёт для Марса 686,98 сут. (впрочем с 686,971 уже довольно большая разница, если принимать оба числа за достоверные, то придётся округлить до 687,0 - а это опять бяка, хоть и на порядок меньше).

Так что поищите другие, более точные данные для больших полуосей орбит планет. Насколько я помню, для Земли (это 1.а.е.) число равно 149597870 км. (есть более точное число, до метра, но забыл). Ну а уж получить из них длину орбиты, умножив на 2*Pi, не составит труда. Хотя в реальности речь идёт о эллипсах, и я сейчас не помню, так ли для них считается длина как для окружности. Возможно что и нет, и это добавило бы существенную ошибку. Если что, правильно считать по большим полуосям.

p.s. Поискал в инете (мог бы  и сам догадаться, но школьный курс геометрии проходил давно, и там на эллипсы не особо налегали). Длина эллипса (=периметр эллипса) всегда меньше длины окружности (если выражать её в больших полуосях, приравнивая по смыслу к длине окружности - у окружности большая и малая полуоси строго равны). При значимых эксцентреситетах  (сплюснутости) орбит это скажется. Что и показательно на примере Меркурия. Там проценты не удивительны.
Так что формула Торна верна только для строго круговых орбит.

[Monstr]

Приведенная формула  что-то не учитывает? Или входные данные не особо точные? Использовал калькулятор для вычисление с большой точностью. (Извините, я в математическо-теоретической части в данной области не очень )

Так что формула Торна верна только для строго круговых орбит.

Дорогие коллеги, это же одна из форм записи третьего закона Кеплера. Только определяемая масса - это сумма массы Солнца и планеты. В оригинальной формуле не длина орбиты, а выражение через большую полуось. В такой записи, конечно, это лишь круговые орбиты. А в оригинальной форме она верна для любых замкнутых орбит в задаче двух тел, то есть и для эллиптических. А ограничения в формуле те же, что и в задаче двух тел (центральное тело и планета) - это чистая ньютоновская физика без релятивизма.

[konstkir]

По-видимому, даже в рамках Ньютона посчитать орбиту Марса с учетом Юпитера с Сатурном и с Землей - будет более точное согласие с фактической.

[Предыч]

Большая полуось! Спасибо, коллеги!  В формуле Торна заменил длину орбиты на найденные табличные значения большой полуоси, помноженные на 2Pi.


В результате вычислений для Меркурия, Венеры, Земли, Марса и Плутона  масса Солнца отличается от принятой на -0.04%.


Но у Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна разница соответственно +0.13%, +0.72%, +1.17%, +1.8%


Орбитальные параметры брал тут: [size=78%]http://lnfm1.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm[/size]

[Monstr]

Но у Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна разница соответственно +0.13%, +0.72%, +1.17%, +1.8%

Если данные взять из Wiki, то точность будет доли %
И не забывайте полученную массу поделить на (1+1/m), где m - отношение масс Солнца и планеты, которое можно взять отсюда: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5

[Предыч]

Взял другой источник данных - разница больше 0.05% только у Урана и Марса. Формула правильно считает, входные данные просто разнятся в зависимости от источника; если применить третий закон Кеплера к табличным данным и построить график, сразу видно, где данные совсем неточные.

[Предыч]

Monstr, спасибо, пересчитаю с учётом массы планет. Торн в книге ничего не говорит об учёте массы планеты (причем оригинальная версия книги и переводная чуть-чуть отличаются).

Цитата:

“By inserting into this equation the circumference C and period P of any planet’s orbit as measured by astronomers and the value of Newton’s gravitation constant G as measured in Earth-bound laboratories by physicists, we infer that the mass of the Sun is 1.989 × 10E+30 kilograms.”

Хотя масса Юпитера и Солнца различаются на 3 порядка. Поэтому может и вычисляемая масса Солнца будет очень близка к 1.989 x 10E+30, и массой, например, Юпитера, можно пренебречь, совсем немного потеряв  в точности.

В итоге после компиляции данных из разных источников добился разницы не больше 0.063% по формуле Торна.

[Klapaucius]

Большая полуось! Спасибо, коллеги!  В формуле Торна заменил длину орбиты на найденные табличные значения большой полуоси, помноженные на 2Pi.


В результате вычислений для Меркурия, Венеры, Земли, Марса и Плутона  масса Солнца отличается от принятой на -0.04%.


Но у Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна разница соответственно +0.13%, +0.72%, +1.17%, +1.8%


Орбитальные параметры брал тут: [size=78%]http://lnfm1.sai.msu.ru/neb/rw/natsat/plaorbw.htm[/size]

Я лет 20 назад тоже такое проделывал. Вы заметили, что разница возрастает по мере удаления от Солнца? Я не очень много литературы по теме читал, но полагаю причина в том, что массы планет-гигантов влияют на результат довольно существенно. И довольно прямо. Попробуйте для орбиты Сатурна добавить к массе Солнца массу Юпитера и внутренних планет, и т.д.. Я даже для Земли какие-то эффекты находил (что масса Меркурия и Венеры влияет), но хвастаться не буду, т.к. сейчас сходу не могу привести готовые выкладки. Повторить вычисления - м.б., но это меня надо заставить.

Т.е. по Ньютону для Нептуна (и следовательно учитывать в уравнениях Кеплера) скажем приходится к массе Солнца добавлять все массы планет ближе Нептуна. Как-то так. Масса Юпитера 0,1% от солнечной, вроде бы на порядок меньше, но лучше посчитать.

[Klapaucius]

Предыч, а Вы можете по приведённой ссылке объяснить, почему большая полуось Земли там отличается примерно на 1/миллионную часть, т.е. на 150км, от одной астрономической единицы? Я например впервые сталкиваюсь с такой загадкой.
Насчёт size78% - у Вас гугльхром. Я не волшебник, мне тут модераторы подсказали про 78% пару лет назад.

[Klapaucius]

p.p.s. Для Юпитера 0,13% почти в яблочко. Для более близких планет эффект мелкий (если вообще заметный). Но вот эти проценты для Сатурна, Урана и Нептуна... Надо будет на досуге сравнить с данными пролёта Пионеров. Викинги и Новые Горизонты - боюсь неправильно организовывали связь. Хотя в "НГ" обещали ("честно -честно") проверить эффект аномалии  Пионеров.

[Миллиард]

Предыч, а Вы можете по приведённой ссылке объяснить, почему большая полуось Земли там отличается примерно на 1/миллионную часть, т.е. на 150км, от одной астрономической единицы? Я например впервые сталкиваюсь с такой загадкой.

Параметры орбит меняются из-за возмущений. Большая полуось Земли периодически изменяется на несколько тысяч километров. На http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi посчитал на период 1995-2005, график изменения большой полуоси прилагаю (изменения в км).

[Предыч]

Предыч, а Вы можете по приведённой ссылке объяснить, почему большая полуось Земли там отличается примерно на 1/миллионную часть, т.е. на 150км, от одной астрономической единицы? Я например впервые сталкиваюсь с такой загадкой.

Klapaucius, в первом мной указанном источнике орбитальных данных значение 1.000 001 017 78 взято из VSOP82, страница 285, "La Terre", параметр "альфа". И Миллиард правильно все ответил 

Насчёт size78% - у Вас гугльхром. Я не волшебник, мне тут модераторы подсказали про 78% пару лет назад.

Да, интересная  "фича" у форума Пишу с планшета.

[Предыч]

у меня вопрос ко всем если солнце такое тяжелое почему оно не падает

Александр, не падает куда (на что)?

[Предыч]

Я лет 20 назад тоже такое проделывал. Вы заметили, что разница возрастает по мере удаления от Солнца? Я не очень много литературы по теме читал, но полагаю причина в том, что массы планет-гигантов влияют на результат довольно существенно. И довольно прямо.

Да. Если к первому источнику данных применить третий закон Кеплера, то соотношение параметров будет таким, как на приложенном графике. Буду копать дальше, сперва проверю источник.

[Monstr]

Вы можете по приведённой ссылке объяснить, почему большая полуось Земли там отличается примерно на 1/миллионную часть, т.е. на 150км, от одной астрономической единицы? Я например впервые сталкиваюсь с такой загадкой.

Дело в том, что длину астрономической единицы установили раз и навсегда в 1976 году (правда ее потом укоротили на 691 м).
К этому времени основным методом была радиолокация Венеры и ее точность составляла сотни км. Значение 1 а.е. является астрономической постоянной, на которой основаны другие величины астродинамики. Поэтому при уточнении среднего расстояния до Солнца изменяют расстояние в единицах а.е. (типа 1.000001), а не саму величину а.е.

[Pluto]

Комментарий администратора

Александр Постников отправляется читать учебники, на пару недель. Ибо ничего кроме флуда его сообщения не несут.

[xd]

Комментарий модератора

Почистил тему