Как испаряются Черные Дыры

[shandrik]

Почитал я Хокинга.
Но так и не понял, почему ЧД должны испаряться, совсем исчезая со временем.
Он приводит следующую технологию испарения: вблизи горизонта событий (вне его) возникает пара частица-античастица. В обычных условиях они бы аннигилировали, выделив энергию из которой образовались, но вблизи ЧД одна из новорожденных успевает пересечь горизонт событий, а парная ей, оставшись в одиночестве, удаляется и регистрируя её мы говорим об излучении черных дыр.
Но я так и не понял, почему в результате этого ЧД должна худеть. Наоборот - её масса должна УВЕЛИЧИВАТЬСЯ за счет упавшей в неё частицы.
Требую разъяснений.

[Stepa]

Уважаемый shandrik!

На образование этой пары частиц была затрачена энергия 2mc^2, которую забрали от дыры. И только mc^2 вернулось в дыру обратно.

PS. Вообще, эта аналогия не совсем правильная.  В том смысле, что сам Хокинг имел в виду несколько иное, а ее придумали как простое популярное объяснение.
Сам расчет этого излучения ведется, я бы сказал, несколько иначе.

[shandrik]

Степан, расскажите поподробнее. Мне не дает покоя эта история.

С уважением, Леонид.

[Полушин Алексей]

Виртуальные частицы - это "притянутое за уши" объяснение. Все можно объяснить несколько проще.
I. "Модельное" объяснение. Пусть у нас есть ЧД. Ее гравитация столь велика, что ни одна частица не может вырваться наружу (хотя к границе дыры - горизонту событий - может подходить очень близко). Т.е. этот самый горизонт - потенциальный барьер, пролететь его нельзя. НО: частицы могут медленно "просачиваться" сквозь него. Способность элементарных частиц преодолевать потенциальные барьеры различных сил многократно отмечалась в эксперименте. Например, чтобы альфа-частица проникла в ядро урана-238, ей надо преодолеть мощнейшие силы отталкивания (т.к. и ядро, и частица заряжены положительно). Расчет показал, что для проникновения в ядро альфа-частица должна иметь энергию не менее 8,78 Мэв. Однако, в эксперименте наблюдается "просачивание" к ядрам урана альфа-частиц с энергией всего 4,2 Мэв, т.е. в 2 раза меньше минимально необходимой! Это явление было названо туннельным эффектом, а сам процесс - туннелированием. Точно так же и содержимое ЧД медленно туннелирует сквозь горизонт событий, постепенно разлетаясь.
 Ну, назвать-то процесс можно как угодно, главное - объяснить его суть. Почему вообще происходит туннелирование, как же эти частицы "просачиваются", когда им явно не хватает энергии?
 Чтобы это понять, необходимо вспомнить о корпускулярно-волновом дуализме: каждый микрообъект обладает одновременно свойствами и частицы, и волны. Туннелирование - это следствие волновых свойств микрообъектов.
 Наглядная аналогия: помещаем включенный на полную громкость магнитофон внутрь наглухо закрытой сферы. Ни одна молекула воздуха не может из нее вырваться! Но звук мы слышим: звуковые волны "просачиваются" сквозь сферу!
 Т.е. даже сильное гравитационное поле ЧД не может полностью остановить утечку вещества из ЧД. Особенно быстро будут "утекать" фотоны: их волновые свойства выражены сильнее всего.
 Вообще, ЧД сможет удержать лишь такой объект, который обладает массой (не массой покоя, а вообще массой). А волны не обладают массой. Масса - это свойство частицы. И в некотором числе случаев (с некоторой вероятностью) волновые свойства частицы проявятся достаточно сильно, чтобы обеспечить ей туннелирование.

II. "Математическое" объяснение. Отключаем воображение - оно нам не понадобится. Пытаться что-либо представлять не нужно - это только помешает. Итак, есть потенциальный барьер. Подходя достаточно близко к нему, частица может либо отразиться от него, либо туннелировать. Вероятность туннелирования в единицу времени выразится как:
L=vD, где L - вероятность туннелирования (лямбда, но форум не позволяет печатать греческие буквы и ряд мат. символов),
v (ню) - частота ударов частицы о барьер,
D - т.н. коэффициент прозрачности потенциального барьера.
 Чтобы найти коэффициент прозрачности, нужно вспомнить о волновой функции, составить систему дифференциальных уравнений второго порядка и решить ее.
[... Пропускаю несколько страниц формул... Хотел дать ссылку, но почему-то не нашел в сети хорошего учебника по КМ или ядерной физике. Кто знает - просьба указать ссылку]
В итоге получается:
D=(16E(E_p-E)/E_p²)*exp[-2sqrt(2m/h)*sqrt(E_p-E)*b], где:
E - энергия туннелирующей частицы,
E_p - потенциальная энергия барьера
sqrt - символ квадратного корня (т.к. поставить корень форум не позволяет )
m - масса частицы
h - постоянная Планка (h=6,626x10^-34 Дж*сек),
b - толщина потенциального барьера
 В общем, подставляем нужные величины и считаем. Быстро и просто! Правда, мы не знаем, какова толщина этого самого горизонта событий (величина b).

[hoarfrost]

Скажите пожалуйста, а является ли туннелирование частиц через потенциальный барьер следствием соотношения неопределённостей? (В виде ΔE*Δt >= h?) Или нет?

[Полушин Алексей]

Скажите пожалуйста, а является ли туннелирование частиц через потенциальный барьер следствием соотношения неопределённостей?

И туннелирование, и соотношение неопредленностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма: чем сильнее в ходе какого-то процесса проявились волновые свойства микрообъекта, тем слабее проявляются свойства частицы. Однако сам принцип Гейзенберга вполне можно использовать для объяснения туннелирования.
 Рассмотрим два выражения:
1. ΔE*Δt >= h
 Для фотона E=hv, где v-частота. Тогда:
 hΔv*Δt>=h     Делим обе части выражения на h. Получим:
 Δv*Δt>=1. Если частота фотона равна нулю, то он как бы не существует (его масса =0), и ЧД не способна его задержать. Рассмотрим фотон с L=500нм (видимый свет). Для него
 v=2,998x10⁸/500x10^-9=5,996x10¹⁴ Гц
 Чтобы обеспечить такую неопределенность частоты, время процесса должно быть порядка
 t~1/v=1,668x10^-15сек
Соответственно, на время 1,668x10^-15 сек фотон может "избавляться" от массы. И происходит туннелирование.

2. Δp*Δx >= h
 Это выражение говорит о том, что существует неопределенность координаты(!) микрообъекта. Соответственно, в ряде случаев, когда она достигает достаточно большой величины, микрообъект может оказаться с другой стороны потенциального барьера (туннелирует).

[Stepa]

Уважаемый Алексей Полушин!

Вы правильно изложили то, что называется "теория альфа-распада Г. Гамова". Но к излучению ЧД это явление не имеет никакого отношения.

1.Гравитационное поле меняет проистекание многих явлений - оно искривляет пространство-время. Около горизонта событий оно искривлено очень значительно.
Нельзя представляеть себе ЧД в виде большого атомного ядра - некий "пузырь" радиуса R, где какими-то силами удерживаются частицы и фотоны. Это не так.
В системе отсчета свободно падающего на ЧД наблюдателя, он достигает сингулярности - той самой центральной точки бесконечной кривизны за вполне конечное время.
В ЧД нет вещества "внутри" для тех, кто "снаружи".
Представьте, что если мы сделаем ЧД из галактики, плотность ее будет около плотности воды. Возьмем некое ядро и пометим его - это очень просто - возьмем какое-нибудь сверхэкзотическое ядро, а коллапсировать заставим чистый водород с гелием. По вашей трактовке, если я буду сидеть радом с ЧД. то рано или поздно наше экзотическое ядро выскочит. Нет, оно не выскочит .
2. Нерелятивистская квантовая механика не лоренц-инвариантна.  Поэтому я бы не рискнул ей пользоваться в местах типа окрестностей ЧД. Уроните частицу на ЧД. Она достигнет c/2 ! Это учтет квантовая механика? При выводе этой формулы использовалось E=p^2/2m  ! Плюс пространство-время, как я уже упомянул, неоднородно. Мы падаем в поле ЧД, или мы висим "над" ЧД - две совершенно разные ситуации.
3. Процессы около ЧД последовательно объясняет релятивистская квантовая механика и квантовая теория поля плюс ОТО для описания поля.
4. На гравитационном радиусе - радиусе горизонта событий, потенциальная энергия частицы "по Ньютону" равна ее массе покоя. Как мы будем считать E "внутри"?
Представьте, что частица упала "туда" из бесконечности и захотела "туннельнуться". Какая у ней будет E?
5. Подставьте энергии так, как это положено для грав. поля (E=mM/r) и посмотрите, что у вас получится из полученной формулы .

Соответственно, на время 1,668x10-15 сек фотон может "избавляться" от массы. И происходит туннелирование.

Сколько он за это время пролетит?.. Правильно, именно столько

Если частота фотона равна нулю, то он как бы не существует (его масса =0),

Это откуда у фотона масса?

[hoarfrost]

Скажите пожалуйста, а является ли туннелирование частиц через потенциальный барьер следствием соотношения неопределённостей?

И туннелирование, и соотношение неопредленностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма: чем сильнее в ходе какого-то процесса проявились волновые свойства микрообъекта, тем слабее проявляются свойства частицы. Однако сам принцип Гейзенберга вполне можно использовать для объяснения туннелирования.

Спасибо за пояснение!

Порывшись в своих воспоминаниях о Физике, кое-что вспомнил, о чём также захотелось спросить :

Про расчёт... Правильно ли я помню, что для того чтобы "посчитать" те же туннелирования необходимо записать уравнение Шрёдингера, в которое подставить... как бы так сказать... характеристики среды? А его решением и будет волновая функция соответствующая частице?
А откуда тогда берётся система уравнений?

И по поводу вероятностей - правильно ли я помню что чисто математически, вероятность прохождения через барьер уменьшается с увеличением самого барьера просто за счёт того, что получающаяся волновая функция будет иметь всё меньший модуль, т.е. и меньшую плотность вероятности для области за барьером?

(Э-э-э-эх.... и почему она так быстро кончилась?...)

[Stepa]

Правильно понимаете, hoarfrost! Берется уравнение Шредингера, туда подставляется энергия и пишутся к нему граничные условия (это что-то типа волн. ф-ция равна 0 там-то и там-то и т.п.). Это, видимо, и имелось в виду под системой. Волнвая ф-ция падает экспонециально для прямоугольного барьера.

****
Кстати говоря, объяснить туннелированием выход частиц из ЧД нельзя вот по какой причине. Что такое альфа-распад? Это когда ядро с альфа-частицей отдельно имеют меньшую энергию раздельно, чем вместе. Если взять аналогию с шариком, то представьте себе вулкан, в кратере которого лежит шарик. Если шарик будет лежать у подножия, то энергия его будет меньше. Из кратера он тоже не выкатывается, потому что у кратера тоже довольно высокие стенки. Туннельный эффект заключается таким образом в том, что шарик из кратера оказыватся на склоне. Но так как он ниже, чем кратер, то закон сохранения энергии не нарушается. При этом размеры самого вулкана вполне конечны - ядерные силы очень быстро спадают с расстоянием.

Что же мы имеем в ЧД?

Внимание!
Ньютоновская механика неприменима к ЧД.  Это и было указано в посте выше. Но ниже показано, почему даже если бы она была применима, туннельный эффект бы не работал.


Мы имеем следующую картинку: У нас есть центробежная сила и центростремительная. В терминах потенциальной энергии это:
      M        a
U=------  -  ------
     2r^2     r

M - момент импульса относительно центра, a - постоянная, зависящая от массы центрального тела.

Наш шарик, если он захвачен притягивающим центром, лежит в ямке. Слева от ямы блистают снега центробежного барьера - он ушел куда-то высоко и недостижимо вверх. Справа же поднимается плоская такая горка силы всемирного тяготения.  И эта горка растет до бесконечности.
Поэтому закон сохранения энергии не даст переместить тело из этой ямки никуда! Никакой квантовой механике!
Просто вы уже в наинизшем состоянии. Квантовая механика заставит вас прыгать в этой ямке, что-то там... Но покинуть ее она не даст, потому что сама не может .

[Полушин Алексей]

Справа же поднимается плоская такая горка силы всемирного тяготения.  И эта горка растет до бесконечности

Так, проверим. Пусть E_p=∞. Получаем модельную задачу (потенциальная яма с бесконечно высокими стенками). В этом случае уравнение Шредингера запишется в еще более простом виде:
d²f/dx²+(8п²m/h²)Ef=0
f(0)=0
f(a)=0
[+условие нормировки, но знак интеграла тут не записать]
Итак, решаем. Получается: f(x)=Asin(xnп/a). Это одно из решений. Остальные (например,
f(x)=Ae^ibx) не удовлетворяют граничным условиям.
Теперь попробуем найти нормировочный множитель A... Хм, действительно, если частица может выходить за пределы такой ямы, то функция ненормируема. А если она всегда в яме, то
A=sqrt(2/a).
 В общем, вы абсолютно правы...
 Тогда вопрос: а как нужно модифицировать квантово-механические уравнения, чтобы они могли описывать поведение частицы вблизи ЧД? Подозреваю, в сети нормальную литературу по этой теме не достать?
 С уважением, Алексей.

[hoarfrost]

Минуточку... вот что хочется уточнить:
Про вылет частиц из самой чёрной дыры вроде бы всё понятно - и барьер на бесконечно высокий, да и вообще со смыслом понятия "пространство" и "вылететь" для того, что внутри дыры есть (если я правильно понимаю) большие проблемы.

А вот на счёт применимости подобных рассуждений к области пространства возле чёрной дыры, в которой могу появлятся частицы, уносящие энергию - не совсем ясно.

Про излучение - в Физическом словаре говорилось,(если я помню правильно), что чёрная дыра массой М, за счёт появления частиц возле своих границ должна излучать с абсолютной температурой T = 10²⁶/M.
Т.е. для чёрной дыры массой около 10 масс Солнца получаем T = 10^-5 К.
Но, соответственно, при уменьшении массы T возрастает и в конце концов, существование чёрной дыры должно закончится весьма эффектно.

Тут ещё один вопрос возникает - а играет ли хоть какую-нибудь роль испарение чёрных дыр сейчас, когда температура реликтового излучения составляет 3 К? Т.е. одинокая чёрная дыра всё-таки увеличивается за счёт поглощения реликтового излучения несмотря на своё собственное?

"Нашёл" две ссылки которые мне понравились:
Чёрная дыра
Излучение Хокинга

[Chernoknizhnik]

Не очень понятно, как можно говорить об испарении черных дыр, не зная толком, что такое черная  дыра.Ведь это понятие сугубо теоретическое.
Черная дыра-продукт коллапса материи.Т.е., грубо говоря, она уже не является материей.Так как же законы для материального мира применимы к ней?
Не очень понятно…

[shandrik]

Не очень понятно, как можно говорить об испарении черных дыр, не зная толком, что такое черная  дыра.Ведь это понятие сугубо теоретическое.
Черная дыра-продукт коллапса материи.Т.е., грубо говоря, она уже не является материей.Так как же законы для материального мира применимы к ней?
Не очень понятно…

Тут как раз и идет речь о теоретическом испарении теоретических черных дыр.

[Encycler]

Тут ещё один вопрос возникает - а играет ли хоть какую-нибудь роль испарение чёрных дыр сейчас, когда температура реликтового излучения составляет 3 К? Т.е. одинокая чёрная дыра всё-таки увеличивается за счёт поглощения реликтового излучения несмотря на своё собственное?

Очевидно, пока чёрные дыры с температурой ниже 3К накапливают массу. А когда Вселенная подостынет, чёрные дыры начнут излучать активнее.

[jimmy]

Я так понял, что при падении обычного вещества на ЧД возникает излучение... Именно оно и выдает присутствие ЧД, например, в центре далекой галактики. 

В связи с этим у меня вопрос. А при падении темной материи на ЧД тоже возникает излучение? И чем отличается этот случай от случая обычного вещества?

[Encycler]

Черная дыра-продукт коллапса материи.Т.е., грубо говоря, она уже не является материей.

Является. Чёрные дыры обладают энергией, значит, материальны.