Формула диагонального зеркала телескопа системы Ньютона

[INPan]

Вот решил вытащить на учёный совет, так сказать, из своего ISAAC-а кое-какую математику.И не столько интереса РАДИ, сколько усовершенствования программы и облегчения расчётов исходя из параметров уже готовой оптики ДЛЯ.
Задача наверно не сложная, но, знания мои в области математики весьма поверхностны, а по сему обращаюсь прежде всего к опытным математикам.

Итак начнём по порядку.
Вот собственно сама схема, иллюстрирующая всю геометрию, определяющую параметры диагонального зеркала.

[INPan]

Как известно, ISAAC вычисяет точные размеры диагонального зеркала и положение его на оптической оси исходя из четырёх основных параметров:
D - диаметр главного зеркала;
F - фокусное расстояние главного зеркала;
d - диаметр невиньетированного поля зрения телескопа;
H - вынос фокальной плоскости в сторону от оптической оси.

[INPan]

Так как элиптическая поверхность главного зеркала образована сечением конуса, то его оптический центр не будет совпадать с его геометрическим центром.И разница эта тем больше, чем светосильнее зеркало.
Существует всем известная формула для расчёта параметров диагонального зеркала, которую приводит Навашин в своей книге Телескоп астронома-любителя.Но она весьма приблизительна и на светосильных Ньютонах даёт ощутимую ошибку. Об этом, в прочем, пишет и сам Навашин.
ISAAC же даёт абсолютно точные размеры диагонального зеркала, а так же так называемый оффсет - смещение его геометрического центра от оптической оси.В нём вычисляются длины малой a1 и большой a2  полуоси, образующие большую ось а диагонального зеркала.
Из теоремы синусов получены формулы, дающие точные значения параметров а1 и а2

[INPan]

Здесь мы видим два дополнительных параметра, d1 - диаметр конуса в точке перелома оптической оси и и угол альфа - угловой радиус конуса. Вычисляются они следующим образом.

[INPan]

Таким образом, путём непродолжительных математических умоизвращений (только так можно назвать процесс, при помощи которого я их вывел ) получаем две формулы для расчёта составляющих большой оси диагональноего зеркала. Сложив а1 и а2 получим искомую величину а - длину большой оси диагонального зеркала.
Вот эти два монстра

[INPan]

А вот теперь обращаюсь к математикам.
Может быть как-то можно эти формулы упростить? Я в этом деле не силён. И даже мой домашний математик - сын Алексей не смог помочь.

Но... нам ведь нужно несколько другое... Мы имеем уже диагоналное зеркало с известными размерами, есть у нас и главное зеркало известного диаметра с известным фокусным расстоянием. Теперь, имея всю готовую оптику и определившись с выносом фокальной плоскости, нам нужно из вышеприведённых формул получить значение d - диаметр невиньетированного поля зрения, т.е. вывести за знак равенства значение d. При этом нужно учитывать, что мы знаем только значение а и не знаем его составляющие а1 и а2. Но знаем, что а=а1+а2.
Помогите!

[Astrocaster]

Хммм, я всегда пользовался чисто геометрическим расчетом, исходя из выноса фокуса и зная размер главного зеркала находил малую ось, потом прибавлял линейный размер невиньетированного поля и после сложения двух последних и умножения их на 1,4 вычислял большую ось диагонального.

 

[INPan]

Павел, это всё приблизительно. У Навашина и Сикорука есть для этого упрощённая формула. А мне надо точно. 

[INPan]

Вот окончательная формула. Вот из неё-то и нужно вытащить за знак равенства переменную d.

[Alex_6619]

Вот окончательная формула. Вот из неё-то и нужно вытащить за знак равенства переменную d.

А зачем,ведь компьютеру без разницы длина формулы.

[INPan]

Да дело-то не столько в длине формулы, сколько в том, что она даёт длину большой оси ДЗ, а мне нужна теперь другая формула, которая по заданной длине большой оси ДЗ выдаст линейный диамеетр поля зрения - d

[MS_61]

Вот окончательная формула. Вот из неё-то и нужно вытащить за знак равенства переменную d.

Если воспользоваться формуми
    sin(90-x)=sin(90+x)=cos(x), 
    cos(x)=sqrt(1/(1+[tg(x)]^2)),
    sin(45+x)=cos(x)*(1+tg(x)/sqrt(2),
    sin(45-x)=cos(x)*(1-tg(x)/sqrt(2),
    tg(arctg(x))=x,
то можно попробовать избавиться от тригонометрии
и перейти к алгебраическому уравнению.
Но возникает вопрос: нельзя ли при выводе где-то использовать подобие треугольников?
Другой путь решать численно.

[Astrocaster]

А куда уж проще то? То чем я пользовался для расчета давало всегда точный результат.
Ну а компьютеру, согласен, все равно какую формулу считать

Подобие треугольников выдаст наиболее красивое решение вплане уравнения.

Можно и к малой оси привязаться, они все равно зависимые величины, а что касается размера диагонали и поля зрения - это разве не линейная зависимость? Это же не катадиоптрик где увеличение вторички на 2мм дает увеличение поля на 5 - 7мм, чуть позже в земаксе проверю свою догадку 

[stepan]

это все прекрасно, а на практике как наиболее точно этот самый эллипс диагоналки поставить в нужное место?   Ведь все проблемы юстировки ньютоновских систем именно от диагоналки и исходят.

[INPan]

это все прекрасно, а на практике как наиболее точно этот самый эллипс диагоналки поставить в нужное место?

Как поставить - это уже другая тема. Мы тут сейчас о том, куда её поставить. Приведённая формула как раз и указывает её абсолютно точное местоположение и необходимый размер для выбранного нами поля зрения и выноса фокуса. Но нам-то нужно другое, у нас уже есть готовая диагоналка нужно просто посчитать, какое с ней будет поле. Вот и всё.

[INPan]

А куда уж проще то? То чем я пользовался для расчета давало всегда точный результат.

А чем? Что давало этот точный результат? Приведённая формула даёт абсолютно точный результат. Я проверял её при помощи моделирования ситуации в 3D Studio MAX. Там есть возможность измерять размеры объектов с точностью до тысячной доли миллиметра.

Ну а компьютеру, согласен, все равно какую формулу считать

Да я согласен. Он тоже не против, считает и не возмущается, но мне нужно не то, что он выдаёт. Мне не нужы от него размеры диагоналки, мне нужны размеры поля зрения. Для этого нужно просто вытащить из формулы за знак равенства переменную d, запихнув в неё переменную a.

Подобие треугольников выдаст наиболее красивое решение вплане уравнения.

Да, но только параметры треугольников нам не известны. Я хотел избавиться от тригонометрии. Не получилось. Может быть это у меня не получилось? Если бы была возможность точно определить d1 не зная d, а зная только a, то тогда проблема была бы решена.

Можно и к малой оси привязаться, они все равно зависимые величины, а что касается размера диагонали и поля зрения - это разве не линейная зависимость? Это же не катадиоптрик где увеличение вторички на 2мм дает увеличение поля на 5 - 7мм, чуть позже в земаксе проверю свою догадку 

К малой оси можно привязаться, если знать оффсет ДЗ. Ведь нам нужно знать диаметр сечения конуса в точке пересечения его с осью конуса, а этот диаметр всегда меньше малой оси эллипса ДЗ. Всё из-за того же окаянного оффсета, который нам тоже не известен.

[INPan]

Если воспользоваться формуми
    sin(90-x)=sin(90+x)=cos(x), 
    cos(x)=sqrt(1/(1+[tg(x)]^2)),
    sin(45+x)=cos(x)*(1+tg(x)/sqrt(2),
    sin(45-x)=cos(x)*(1-tg(x)/sqrt(2),
    tg(arctg(x))=x,
то можно попробовать избавиться от тригонометрии
и перейти к алгебраическому уравнению.

Спасибо! Буду думать.

Но возникает вопрос: нельзя ли при выводе где-то использовать подобие треугольников?

Вот не знаю.

Другой путь решать численно.

Нет, мне не нужно посчитать один раз и забыть. Мне нужна точное уравнение зависимости поля зрения от размера ДЗ, ГЗ, его фокусного расстояния и выноса фокальной плоскости. При помощи моего ISAAC-а можно подогнать параметры D,F,d,H так, что он выдаст размер имеющегося в наличии ДЗ, но это не удобно.

[INPan]

Я так думаю: если есть формула, содержащая переменные связанные определённой, заложенной в неё зависимостью, то из неё за знак равенства можно вынести любую из этих переменных. Или не всегда это возможно? 

[MS_61]

Я так думаю: если есть формула, содержащая переменные связанные определённой, заложенной в неё зависимостью, то из неё за знак равенства можно вынести любую из этих переменных. Или не всегда это возможно? 

Уже простые алгебраические уравнения 5-го порядка не всегда разрешаются в радикалах. Но можно найти приближенное решение с любой степенью точности.

[Грехов Михаил]

Как всё сложно.... Всё-равно при конструировании телескопа его целиком где-то прочерчивать 1:1 (например в Автокаде). А там уж можно определить все конструктивные параметры без всяких формул.