По просьбам телезрителей!
По мотивам этого:
http://triangulum.nl/Werkgroepen/documentatie%20werkgroepen/Snaartheorie/GPS%20essay.pdf И этого:
http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.htmlТаблица с расчётами тут:
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0Ai8pZ9a2478YdGcySkNua0lpZzRfNzBlQ2FMQWMyUkE1) Гравитационная поправка
а) Гравитация в ОТО описывается метрическим тензором, в котором 16 компонентов, из которых 10 являются независимыми (остальные повторяются).
Из этих 10 только один компонент
\[ g_{00} \]
сушественен в слабых гравитационных полях, таких, как гравитационное поле Земли. Эта величина очень близка к 1, но меньше её. Например, для поверхности Земли она равна примерно 0.9999999986. Чем больше гравитационное поле, тем меньше эта величина.
Эта величина определяет скорость хода времени, следующим образом
\[ dt = \sqrt{g_{00}} dt' \]
где dt' -- промежуток времени между событиями по часам далеко от источников гравитации, где её почти нет, dt -- промежуток времени между теми же событиями, но по часам, находящимся в поле тяготения. Иными словами, чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее течёт время, а слабое гравитационное поле есть ни что иное, как локальное замедление хода времени.
Скорость хода времени определяется, таким образом, величиной
\[ \sqrt{g_{00}} \]
которая так же меньше единицы, близка к ней, и тем меньше, чем сильнее поле.
б) В Ньютоновской механике гравитационное поле описывается так называемым гравитационным потенциалом. Гравитационный потенциал -- это такая величина, что гравитационное ускорение направлено в сторону её убывания и тем больше, чем быстрее убывает потенциал (то есть, каждое тело как бы стремится упасть в гравитационную яму).
Потенциал задаётся формулой
\[ \phi = -\frac{m G}{r} \],
где G -- гравитационная постоянная, m -- масса источника гравитации (например, Земли), а r -- расстояние между центром источника гравитации (центра Земли) и рассматриваемой точкой пространства, в которой мы вычисляем гравитационный потенциал.
Например, на высоте 6378100 метров над центром Земли (поверхность) потенциал равен -62 504 251,42, а на высоте 6378101 (1 метр над поверхностью) , потенциал равен -62 504 241,62. Разница составляет 9,8 -- ускорение свободного падения на уровне поверхности.
в) Между нулевым компонентом метрического тензора и Ньютоновским гравитационным потенциалом существует связь
\[ g_{00} = 1 + \frac{2 \phi }{c^2} \]
что позволяет нам рассчитать замедление времени на поверхности Земли по сравнению с высотой орбиты спутника GPS, которая составляет 25512400 метров от центра Земли (4 радиуса Земли).
г) У меня получилось, что на высоте поверхности скорость хода времени составляет
0,999999999305
а на высоте орбиты GPS
0,999999999826
Отношение этих величин составило
1,00000000052
что в пересчёте на сутки даёт 45 микросекунд. То есть, часы на спутнике должны идти быстрее часов на Земли таким образом, что к концу суток они будут спешить на эту величину
2) Лоренцева поправка
Лоренцево замедление времени определяется относительной скоростью через так называемый лоренц-фактор гамма, выражаемый формулой
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]
Скорость всегда меньше скорости света, поэтому второй член под корнем всегда меньше единицы. Для классических скоростей этот член не просто меньше единицы, а намного меньше её. Поэтому, само подкоренное выражение чуть-чуть меньше единицы. Весь лоренц-фактор, таким образом, чуть-чуть больше единицы, потому что корень находится в знаменателе.
Формула замедления такова
\[ dt = dt'/\gamma \]
где dt' -- время по часам неподвижного наблюдателя, а dt -- время по часам движущегося. Иными словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных.
Иными словам, скорость хода времени на движущемся спутнике определяется величиной
\[ 1/\gamma \]
Скорость движения тела по круговой орбите определяется выражением
\[ v = \sqrt{ Gm/r } \]
Для радиуса 25512400 у меня получилось 3 952,98 м/с.
Для этой скорости фактор замедления составил
0,99999999991307
Что в пересчёте на сутки дало 7 микросекунд в другую сторону.
