Бесконечность,что это?

[Whale]

Кажется я понял, в чем загвоздка!
В математике рассматриваются множества, а когда я говорил, что бесконечность не может быть больше или меньше - я имел ввиду, что данная конкретная бесконечность не может стать больше или меньше.
Сколько к ней ни прибавляй или сколько ни отнимай от нее конечных величин - она не станет ни больше, ни меньше!

[olenellus]

Что доказывает, что оно является своим же собственным подмножеством. Что значит, что оно бесконечно

И, любые множества сравнимы по мощности. Есть такая теорема (по терминологии Дрюши (которая, на самом деле, есть неформальное описание формальных систем) это означает ещё одно правило, которое получается из правил, которыми являются аксиомы теории множеств (Цермелло-Френкеля с аксиомой выбора) путём конечного числа операций).

[Aquarius]

Бесконечность - понятие, не применимое к материальным объектам и величинам. Бесконечны не тела, их количества и расстояния. Бесконечно их взаимодействие, изменение и развитие.

[Дрюша]

А я, вот, чесгря, как-то (не сегодня) засомневался в факте существования действительных чисел. И вообще множеств мощности континуум. А там и гиперконтинуума, и так далее. Тогда,выходит дело,алеф-нуль - это самая маленькая и самая большая, короче, - единственная бесконечность,имеющая смысл.

Соображения такие. Ну, во-первых, све мы знаем,что множество рациональных чисел - счётно. То есть,можно указать (и даже не одно,но хотя бы одного - уже достаточно) правило взаимно однозначного сопоставления любого рационального числа числу натуральному. Ладно, проехали. Дальше. Рациональные числа выражаются конечной или периодической дробью в любой системе счисления (двоичной, десятичной, тридцатишестиричной - не важно). Конечная дробь - это разновидность периодической, у которой с некоторых пор в периоде оказывается один ноль. Иррациональные числа выражаются непериодическими дробями (тоже в некой любой системе счисления). Есть примеры конкретных последовательностей цифр, которые зваедомо не периодические. Но. Любая такая последовательность на самом деле задаётся неким ПРАВИЛОМ. И вычисление корня любой степени (кстати, из корней получаются алгебраические числа, а их множество - тоже счётно), и такие трансцендентные числа как e, pi и ижес ними - тоже могут вычисляться (до какой угодно точности) по некоторому правилу, сиречь, - алгоритму. Вообще, заявляется, что при переходе к действительным числам постулируется, что любая сходящаяся последовательность имеет предел. То есть, множество действительных чисел замкнуто относительно операции предельного перехода. Оно, собственно-то, и строится как замыкание множества рациональных (алгебраических) чисел относительнооперации предельного перехода. И тут неявно считается, что допустимы ЛЮБЫЕ сходящиеся последовательность.Но я говорю: А ВОТ - НИ ФИГА! На самом деле все мыслимые и немыслимые последовательности каких-либо чисел (из конечного набора, то есть, цифр, натуральных, целых, рациональных, алгебраических,...) на самом деле могут быть не абы какими, а задаются некими ПРАВИЛАМИ, сиречь, - алкогоритмами. Сами эти алкогоритмы могут быть рекурсивными, и даже общерекурсивными, то есть, исходить из предположения о возможности их бесконечного применения, а так же автоаппликативными, чёр-те какими ещё... Не суть. А суть в том, что все они - по своей сути - конечны. А коль скоро так, то любой такой алкогоритм можно закодировать конечным количеством информации (слов русского языка, английского, китайского, суахили, букавок, циферок, машинных команд, символов какого-то алфавита произвольного, байтов, битов, тритов...) и пересчитать. То есть, взаимно однозначно сопоставить множеству натуральных чисел. Всё. Приехали. Значит любая МЫСЛИМАЯ последовательность, будь она хоть трижды апериодической, на самом деле может быть идентифицирована неким алкогоритмом,множество коих - счётно.

А таких последовательностей, которые не описываются конечным количеством чего-то, - просто НЕ БЫВАЕТ! Вот, приведите хотя бы один пример! Если смогёте, то это уже и будет таким, вот, описанием, стало быть, - не годится.  А коль скоро - так, то так называемых "действительных" (то есть, - трансцендентных) чисел - просто не бывает. Все какие бывают, - так это только ВЫЧИСЛИМЫЕ числа. Хотя бы в классе общерекурсивных функций, - это уже мелочи. И по-любому, выходит дело, их множество - счётно. Вернее сказать, - не более чем счётно. И, что интересно, оно - замкнуто относительно операции предельного перехода. Потому что в понятиях общерекурсивных функций предельный переход - это такая же банальная операция как сложение или вычитание. Если угодно, - одна машинная команда для достаточно развитого процессора (в котором она может быть реализована аппаратно).

Отсюда - вывод. Что континуума на самом деле - не бывает, и гиперконтинуума - тоже, и начитая с этого места вся современная математика - это бред сивой кобылы.

[olenellus]

А коль скоро - так, то так называемых "действительных" (то есть, - трансцендентных) чисел - просто не бывает. Все какие бывают, - так это только ВЫЧИСЛИМЫЕ числа.

Маленькая поправочка опечатки. Трансцендентные числа это NOT(алгебраические), но не NOT(вычислимые). Контрпример: p.

А так... Да Вы латентный конструктивист, батенька!

А я, вот, люблю аксиому выбора, и не скрываю.

[Эркин]

А я люблю континуум-гипотезу!

[Дрюша]

Маленькая поправочка опечатки. Трансцендентные числа это NOT(алгебраические), но не NOT(вычислимые). Контрпример: p.

Ладно. С "трансцендентными" - маху дал. Действительно, числа e и pi - считаются "трансцендентными", но они вполне себе вычислимые в классе общерекурсивных функций. То есть, можно указать алгоритм, который, по идее, будет их вычислять со сколь угодно высокой точностью (в зависимости от количества итераций). Он же годится для того, чтобы указать последовательность приближений, сходящихся к ним... Аналогично, любая трансцендентная функция (синус, косинус, экспонента, логарифм) от вычислимого аргумента может быть объявлена как дающая вычислимый результат. Опять же, в классе общерекурсивных функций, ну да ладно. Дело в том, что любое такое значение (то есть, - число) может быть однозначно идентифицировано этим самым алкогоритмом. А он имеет - конечную запись. То есть, множество таких объектов - не более чем счётно.

А так... Да Вы латентный конструктивист, батенька!

"Латентный"... Звучит как будто сексуальный маньяк какой-то... Только латентный... Затаившийся.

А это - плохо, быть "конструктивистом"?
Это про вот это?

[olenellus]

То есть, множество таких объектов - не более чем счётно.

Полностью с этим согласен. Просто поправил опечатку.

"Латентный"... Звучит как будто сексуальный маньяк какой-то... Только латентный... Затаившийся.

А это - плохо, быть "конструктивистом"?
Это про вот это?

Это про это и это.

Как бы, не то, чтобы плохо... Просто, это люди нетрадиционной математической ориентации. Вы только не подумайте, что я конструктофоб, но, цитируя одного математика, слишком известного, чтобы я называл его имя:

Никто не изгонет нас из рая, который построил нам Кантор

и ещё, его же:

Убрать из математеки принцип исключения третьего - это как запретить астроному пользоваться телекопом, а боксёру - кулаками

[Дрюша]

Ну, принциписключённого третьего - это вообще отдельная песня... И ведь ничему в реальной жизни он по-хорошему - не соответствует! В жизни... Если девушка говорит "может быть", то какой она, к чёрту, военный... А на самом деле - кругом только "может быть" в той или иной степени.

А если конструктивная математика - такая нетрадищионная, то какаяже тогда - традиционная? Деструктивная, что ли?

[olenellus]

А если конструктивная математика - такая нетрадищионная, то какаяже тогда - традиционная? Деструктивная, что ли?

Очевидно, неконструктивная 

[Дрюша]

Ну ладно, а что ж мф тут в реале-то имеем?
А имеем мы то, что мы условились называть "бесконечными" такие-то и такие-то множества. Проходящие по некоторому критерию, то есть, - правилу. Например, если множество равномощно некоторому своему подмножеству, то оно - "бесконечно". Это просто - такое правило, которое мы условились принять. И, опять же, как мы можем определить, что два множества - равномощны? Мы ж не будем пересчслять все их элементы (их же - бесконечность!). А, опять же, согласно некоторому правилу: что если мы сумеем подобрать хотя бы одно такое правило, по которому любому наперёд заданному элементу одного множества взаимно однозначно сопоставляется элемент другого множества, то они - равномощны. Это, конечно, - такая условность. Потому что кроме этого можно назвать чёртову уйму других правил сопоставления, для которых это - не так. Но мы условились считать, что если сможем указать хотя бы одно правило сопоставления, по которому выходит именно так (то есть, соответствие - взаимно однозначное), то будем считать множества - "равномощными". И - баста. Это примерно как "принцип презумпции невиновности" в юриспруденции. То есть, тоже, хотя всяких вариантов для разных предположений - чёртова уйма, но тут, вот, такое - протолкнуто, буквально, - ногами. Хотя, в данном случае, именно такому, а не какому-нибудь другому выбору варианта соглашений и условностей, способствует принцип, вернее, - просто добрый совет, сформулированный Дж. К. Максвеллом: "Из всех гипотез выбирайте ту, которая не пресекает дальнейшего мышления об исследуемых вещах". То есть, да, можно было сказать, что, дескать, - баста, всякие рассуждения о "бесконечностях" - полная ерунда, и ничему реальному по жизни - не соответствуют. И всё тут. И тем самым было бы пресечено всякое дальнейшее мышление на эту тему. Ыыыы... А можно допустить и бесконечности, и не просто, а - разные (алеф-нуль, континуум, гиперконтинуум), и выбрать такие правила, по которым их можно было бы как-то сравнивать, какая из них "больше", а какая - "меньше". А ещё можно придумать такую игрушку как "трансфинитные числа", тоже, опять же, на основе специальной подборки правил, по которым мы будем играть в эту игру. Игра оказалась нетривиальной. То есть, - целым разделом математики.

Вообще же, " Математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах." (Ю. П. Вигнер)

И ещё: "Математика - это единственный совершенный метод водить самого себя за нос". (Альберт Эйнштейн)

Прошу ещё заметить вот что. Из того предположения (или соглашения так считать), что бывают - бесконечности, и они - разные, что бывает - континуум (и гиперконтинуум, и так далее), что "мощности" тех или иных множеств соответствуют тому-то и тому-то, короче, - из всего этого абсолютно ничего и никак не используется в прикладной части математики. То есть в тех её разделах нет ничего такого, на основе чего можно было бы делать какие-то выводы касаемо свойств или поведения каких-либо реальных объектов. Обычно с помощью математики и принятых в её рамках понятий, соглашений и правил - строятся математические модели, претендующие на соответствие каким-то реальным объектам, процессам, их свойства математическихм и т.п. С помощью этих математических моделей, по идее, строятся какие-то предположения о дальнейшем поведении, новых свойствах или отношениях для реальных объектов, которые мы пытаемся описать и представить для себя этими математическими моделями.

Но из тех понятий, правил и соглашений, которые касаются чего-то "бесконечного" все выводы и умозаключения всегда оставались сугубо в рамках этих, вот, абстрактных и умозрительных понятий. Напротив, если в математической конструкции, которая построена как математическая модель чего-то реального (физической системы, процесса, явления), вдруг что-то обращается в бесконесность, это означает только то, что данная математическая модель уткнулась в границу своей области применимости, точности и адекватности. То есть, за пределами которой она уже не является сколько-нибудь соответствующей тому реальному объекту (процессу, явлению, закономерности), который(-ое,-ую) она, по идее, призвана моделировать.

Так что, даже не важно, конструктивист я или кто, но на самом деле всё что не согласуется с моим конструктивизмом или выходит за его рамки, относится только к так называемой "чистой", сугубо умозрительной, и никаким боком не прикладной математике. Которая ни к чему реально-физическому никогда никакого отношения не имела, и иметь не будет.

[postoronim]

Бесконечность - это Ничто или Нечто?

[Дрюша]

Бесконечность - это правила и соглашения о том, что мы условились для себя так называть.

[postoronim]

Бесконечность - это правила и соглашения о том, что мы условились для себя так называть.

Значит это Ничто! Потому что при виде этого спора, я прихожу к мнению, что никто ни к чему не согласился и не условился. Грустно!

[Дрюша]

Если лично Вы не условились и не согласились, то лично для Вас - "ничто", и потому Вам - грусно. А, вот, лично я - всё же условился (и, надеюсь, - не один только я). Если найдётся хоть один, кто согласен принять некие общие правила игры, то для нас это будет "что", и потому нам - весело! А кому тут стало грустно, - то это его личный выбор, и его ответственность. Никто тут специально веселить его не будет. И не обязан. Грустить или веселиться - это личное право каждого.